高中物理教學中動生電動勢與感生電動勢的深度探究

福建省教育科學“十四五”規劃2023年度課題：新課程背景下高中物理情境教學教考評研究（FJJKZX23-549）研究成果

摘" "要：通過創設金屬框架切割長直導線產生的磁場的物理情境定量計算在不同參考系中觀測到的感應電動勢，發現在不同參考系觀察，兩種感應電動勢具有相對性且存在可以同時觀測到兩種電動勢的參考系。對比研究金屬桿切割磁感應強度隨時間變化和隨空間變化的磁場，發現在對地面參考系看來隨空間變化的磁感應強度因為=0，所以只有動生電動勢，而沒有感生電動勢。因此建議高中物理教學中將金屬桿切割隨空間變化的磁場問題處理成在地面參考系觀察，從切割非勻強磁場產生動生電動勢的角度解決問題。

關鍵詞：動生電動勢；感生電動勢；參考系；高中物理教學

高二物理課堂上，學生提出這樣的問題：條形磁鐵插入螺線管的實驗（見圖1），在插入磁鐵和拔出磁鐵的過程中，閉合回路都可以產生感應電流，那么該實驗現象背后的電源電動勢是歸類為動生電動勢還是感生電動勢呢？還是二者都有呢？

產生電流的條件需要電源在閉合回路提供持續電勢差，電磁感應中感應電流只是現象，感應電動勢才是本質。趙凱華、 張維善主編的《新概念高中物理讀本》中提到：導致磁通量變化可歸納為兩種類型[ 1 ]：一類是導體在恒定磁場中運動，回路面積變化，帶來磁通量的變化，稱為動生電動勢。該類型電動勢的本質從受力角度看導體棒中的自由電子受到洛倫茲力的作用向b端聚集，a端留下正電荷，電子在洛倫茲力（非靜電力）作用下從a搬運到b，導致ab兩端形成電勢差（如圖2）。從做功與能量轉化角度看非靜電力做功將其他形式能量轉化為電能，而豎直方向洛倫茲力做功與水平方向分力做功之和為零，故此克服水平方向安培力做功等于生成的電能，也就是說該類電動勢的非靜電力是洛倫茲力，電路斷開時，當非靜電力等于靜電力時，ab兩端形成穩定電勢差，此時Uab=E，設導體棒長L，則有q=qvB？圯E=BLv，該結果與法拉第電磁感應定律推導結果一致。

第二類是導體棒不動，閉合回路面積不變，回路內磁場隨時間變化，帶來磁通量的變化，產生感應電流，對應的電源電動勢，稱為感生電動勢。麥克斯韋認為感生電動勢的本質是變化的磁場產生渦旋電場，回路中的自由電子在渦旋電場力的作用下，定向移動，聚焦于某端，導致回路形成電勢差。可以認為感生電動勢的非靜電力是渦旋電場力，生成的電能來源于磁場能。從非靜電力來源和能量轉化上看，此二類電動勢的本質是完全不一樣的。

回到課堂上學生提出的問題，圖1屬于哪一類電動勢呢？有學生提出以螺線管為參考系，閉合回路沒有運動，回路面積沒有變化，磁通量的變化可認為是回路內部磁場隨時間發生變化，所以產生的電動勢當屬于感生電動勢。轉換以條形磁鐵為參考系，條形磁鐵看成不動，那么就相當于閉合回路切割磁感線，從這個角度分析可以說是動生電動勢。這是否有矛盾呢？趙凱華、 陳熙謀在《電磁學》中提出：如果以線圈為參考系，導體棒的運動引起空間的磁場變化，回路內的電動勢是感生的；但如果我們在隨磁棒一起運動的參考系內觀察，則磁體是靜止的，空間磁場未隨時間發生變化，而線圈在運動，認為線圈內的電動勢是動生的。所以由于運動是相對的，就發生了這樣的情況，同一感應電動勢在某一參考系內看是感生的，在另一參考系內看則是動生的[ 2 ]。

學生進一步思考，存在兩個待解決的問題，第一以磁體為參考系，條形磁鐵看成不動，回路內磁場變化，同時回路在切割磁感線，所以動生和感生都有嗎？第二是否存在磁體和回路以外的某個參考系，在該參考系上能夠同時觀察到兩種電動勢。關于這兩個問題筆者認為，從切割角度研究可以認為是閉合回路切割一個隨空間變化的磁場，此時磁場分布隨時間并未發生變化，其本質就是切割一個隨空間分布非勻強的磁場。文章通過創設一個切割隨空間分布的非勻強磁場的物理情境來進行定量計算，研究是否存在某個參考系兩種電動勢同時存在并在同一參考系下對比研究磁感應強度隨空間變化和隨時間變化。

1" 矩形框架切割恒定電流直導線磁場分析

以矩形線框勻速切割通電直導線周圍的磁場為例，情境設計如下：設通電直導線通恒定電流I，以導線所在處建立直角坐標系，以直導線方向為y軸，x軸垂直直導線。直導線沿著x軸方向分布滿足B=（k=），如圖3所示。矩形線框ABCD長為l，寬為a，以速度v勻速向右切割，如圖4所示。初始AB邊靠著直導線，研究任意位置x處，感應電動勢的大小。

圖 3" B隨x空間分布圖像

圖 4" 線框切割恒定電流直導線磁場

1.1" 根據法拉第電磁感應定律分析

方法1：根據法拉第電磁感應定律結合分離變量法分析如下：

E=-{1}

直線磁場：

B=（k=）{2}

dφ=BdS=l·dx{3}

φ=l·dx=kIlln{4}

由法拉第電磁感應定律加分離變量法，可求得：

E=-=-·=-kIl（）（-）·v

=kIlav{5}

1.2" 以地面為參考系，框架在切割非勻強磁場

方法2：以地面為參考系，可以認為矩形線框在切割非勻強磁場，左右兩邊切割產生的總電動勢為：

E=EAB-ECD{6}

EAB=B1lv=lv{7}

ECD=B2lv=lv{8}

由{6}{7}{8}得

E=lv-lv=kIla··v{9}

在地面參考系中認為線框ABCD切割的隨空間分布的非勻強磁場，只有動生電動勢，沒有感生電動勢。

1.3" 以線框ABCD為參考系研究

方法3：以線框ABCD為參考系，認為閉合回路面積S沒有變化，可以認為其中所圍的磁感應強度B隨時間變化。產生的電動勢理解為感生電動勢。由于磁場隨空間分布不均勻，理論推導利用微元法及分離變量法，取某一微元面積，此微元面積內感生電動勢為：

dE=-dS·{10}

E=-dS=-·ldx=-lvdB

=-lv（-）=kIlv（）{11}

在此參考系中認為線框ABCD不動，閉合回路ABCD內磁場隨時間變化，只有感生電動勢，沒有動生電動勢。

1.4" 在某一參考系中研究

既然動生電動勢與感生電動勢跟參考系的選擇有關，那么有沒可能尋找某一個參考系，能同時觀察到動生和感生兩種電動勢呢？（以下的討論研究均基于vlt;lt; c的經典力學背景下）。

方法4：假設取某個參考系，相對該參考系而言，直導線以v1運動，線框ABCD以v2運動（如圖5）。根據定性分析在此參考系上線框內即有動生電動勢又有感生電動勢。根據經典理論，定量分析如下：

圖 5" 直導線與線框相對某參考系運動

相對靜止參考系中直導線產生磁感應強度：

B={12}

相對運動參考系中直導線產生磁感應強度：

B={13}

其中x'=x-v1t，y'=y，t'=t

對線框ABCD：E=E1+E2

其中：

E1=·d=-dS

=-·ldx'

=-·v1·dx'

=KIlv1（-）{14}

E2=（2×'）·d=KIlv2（-）{15}

E=KIl（v1+v2）（-）

=KIlv{16}

此結果與前面三種計算結果一致。這說明選擇某一參考系如果磁源與閉合回路相對該參考系同時都有相對運動，則在該參考系能同時觀察到動生電動勢與感生共存的現象。

1.5" 對框架切割恒定電流直導線磁場模型計算結果分析

由上述定量計算可知，以上四種方法計算所得結果一致，其中文章中前三種算法，與國內外很多學者計算結果一致。筆者選擇某一參考系，設定磁場源與閉合回路相對該參考系都有相對運動，得到第四種算法，證明課堂上學生的猜測是存在的，存在某一參考系，能同時觀察到動生電動勢和感生電動勢。動生、感生電動勢具有相對性，與參考系的選擇有關，其相對性表明它們是相互聯系，可相互轉化的。兩者的聯系和轉化，源于磁場與電場的聯系和轉化。筆者認為磁場與渦旋電場的統一從量綱上也可以證明。磁感應強度B的量綱為1 T=1 ，電場強度E的量綱為1 =1 ，在四維空間中，m與s的量綱是等價的，從量綱上可以間接說明二者的聯系與統一。

以上四種算法中，在高中物理教學和解題中推薦使用方法1、方法2及方法3，將此類問題處理為閉合回路內磁通變化或者線框切割非勻強磁場。選擇某一參考系解題過程復雜，故不建議使用方法4。

2" 高中物理試題解題方法研究

2.1" 磁感應強度隨時間變化和隨空間變化的對比

為幫助學生理解這個問題，文章創設兩個類似且易混淆的學習探索情境，進行對比研究。

（1）學習探索情境一

如圖6中甲圖所示，一個U形光滑足夠長的金屬導軌固定在水平桌面上，電阻R=10 Ω，其余電阻不計，兩導軌間的間距l=0.2 m，有垂直于桌面向下并隨時間變化的勻強磁場，磁感應強度B隨時間變化規律如圖乙所示。一個電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦的滑動，在滑動過程中保持與導軌兩邊垂直。在t=0時刻，金屬桿緊靠的最左端，桿在外力的作用下以速度v=0.5 m/s向右做勻速運動。

圖 6

學習探索情境一中磁場隨空間分布均勻但隨時間變化，桿勻速向右切割，以地面為參考系，回路中既有動生電動勢又有感生電動勢。

則感應電動勢：

E=Blv+Lx{17}

其中B=kt，=k=0.05 T/s

又x=vt，代入數據可求出電動勢E=10-2t V

（2）學習探索情境二

如圖7所示，一個U形光滑足夠長的金屬導軌固定在水平桌面上，電阻R=10 Ω，其余電阻均不計，兩導軌間的距離l=0.2 m，Ox軸平行于金屬導軌，在0≤x≤4 m的空間區域內存在著垂直導軌平面向下的磁場如圖7甲所示，磁感應強度B隨坐標x（以m為單位）的分布規律如圖7乙所示，桿在外力的作用下以速度v=0.5 m/s向右做勻速運動。

甲" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "乙

圖 7

情境二與情境一對比，可以發現這里磁感應強度隨空間變化，以地面為參考系，可以理解為桿切割非勻強磁場，產生動生電動勢E=Blv

B=kx{18}

k=0.05 T/m，

x=vt=0.5 t{19}

代入數據求得E=2.5×10-3t V

與情境一不同的是這里的磁感應強度是隨空間變化而不是隨時間變化，大部分學生仍然誤認為對地面參考系，這里同時存在動生和感生，誤以為電動勢E=Blv+Lx，將此兩種情境放在一起對比教學，在對地面參考系看，在情境二中=0。所以在地面參考系看來只有動生電動勢，而沒有感生電動勢。兩種電動勢雖具有相對性，但在同一個參考系下，二者是嚴格區分的。這兩個情境對比教學可以解開學生的思維誤區，加深對電磁感應電動勢本質的理解。

2.2" 閉合線圈切割隨空間分布的磁場試題分析

【例題】 如圖8所示，空間中有一處于豎直方向的圓柱形磁場區域，取圓柱的豎直軸為為x軸，原點為O，該豎直軸線也是空間磁場的旋轉對稱軸，且磁場大致指向沿x軸正方向，磁感應強度沿x軸分量Bx=C-kx，式子中，C、k為已知常數，且保證足夠大空間范圍內Bxgt;0。一個半徑為r的線圈水平置于O處，其中心軸線與x軸重合，當線圈下降高度h時速度大小為v，不考慮線圈的自感和空氣阻力，重力加速度為g，求線圈下落h過程中產生的熱量Q。

圖 8

試題分析1：將題目情境中的磁場分解為徑向Br和豎直向下Bx（如圖9）。

圖 9

細線圈內產生感應電流可以理解為以地面為參考系，磁場不動，圓環切割徑向磁場Br產生動生電動勢：

E=Br·2πr·v{20}

以圓環為參考系，圓環面積不變，可以理解為所圍Bx隨時間變化變化，產生感生電動勢：

E'=πr2·=πr2··=πr2kv{21}

由E=E'，得：

Br·2πr2·v=πr2kv

解得Br={22}

由閉合電路歐姆定律，可得：

I=={23}

當線圈穩定時，由于平衡，得：

mg=Br·I·2πr2=·2πr·{24}

解得vm=

試題分析2：從能量角度，穩定時，重力功率等于熱功率來求解。

mgvm=I2（2πrλ）=（）22πrλ{25}

解得vm=

該題比較難，要求學生對感應電動勢本質理解透徹。該類題目要求學生懂得切換參考系看電動勢，筆者推薦高中物理教學從地面參考系和閉合回路參考系兩個角度進行分析，結合分離變量的思想，從動生和感生兩個角度理解問題。

3" 結束語

兩種感應電動勢本質不同，但不能絕對區分，在不同參考系觀察，二者具有相對性。課堂教學可以以條形磁鐵插入螺線管這個實驗為例，定性分析，告訴學生這兩種電動勢具有相對性。但對于高中物理教學，筆者建議以磁鐵為參考系理解閉合回路為切割非勻強磁場（如方法2）或以線框為參考系理解為面積不變，磁場隨時間變化，E=S利用分離變量可得E=S=S·。動生電動勢和感生電動勢雖然在不同參考系下可以有不同的描述，但在同一個參考系中，動生和感生是嚴格區分的，因為洛倫茲力與渦旋電場是不同源。高中教學采用文中圖6和圖7的學習探索類情境，可以有效地幫助學生區分這兩個概念。

參考文獻：

［1］ 趙凱華，張維善.新概念高中物理讀本[M].北京：人民教育出版社，2006：137-149.

［2］ 趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程.電磁學[M] .2版.北京：高等教育出版社，2013：183-184．