例談多面體截面的作法

在立體幾何的問題解決中，經常需要用一個平面去截多面體，然后借助所得到截面的形狀，求截面的周長、面積等．由于高中數學教材沒有明確給出截面的定義，多數學生也就沒能很好地理解截面的概念．這就導致與截面相關的問題幾乎多會成為學生心目中的難題．本文擬以一些具體的案例探討多面體截面的作法，亦能幫助學生掌握多面體截面的作法，從而為相關問題的解決奠定基礎．

1 多面體的截面的定義

在立體幾何中，學生最初接觸的截面的相關知識是臺體的形成過程——用一個平行于底面的平面去截錐體，截面和底面之間的部分稱為臺體．其次就是旋轉體的軸截面．這里面并沒有涉及到截面的定義．如果教師沒有進行解釋，學生對截面的概念模糊不清．比如，圖1-1的正方體ABCDEFGH?，JI，為棱AE和EH的中點，求過GIJ，，三點的截面面積．此題學生往往求成是GIJΔ的面積，錯誤的根本原因就是不理解截面的定義．

基于上述理解，本文借鑒相關文獻，給出截面的定義：用一個平面去截一個幾何體，截得的平面圖形叫截面．

從上述定義可以看出，截面其實就是平面和幾何體表面的交線圍成的圖形．如果幾何體是多面體，平面和多面體的幾個面相交，就會有幾條交線，就叫幾邊形．比如，一個平面和多面體的四個面相交，就有四條交線，圍成的就是四邊形．

2 多面體截面的作法

由于交線是在幾何體的表面，所以，只要找到平面和幾何體表面的交線，就可以確定截面的形狀．基于這樣的理解，多面體被一個平面所截得的截面的常用作法有直接法、平行線法、延長線法和投影相交法．

2.1 直接法

圖2-1中的正方體ABCDEFGH?，作過ACH，，三點的截面．由于不共線的三點確定一個平面，于是只要連接這三點，發現三條連線均在正方體的表面，它們就剛好是平面與正方體的交線．顯然，平面ACH截正方體所得的截面圖形就是ACHΔ（圖2-2）．同理，圖2-3中過KLM，，三點的平面去截三棱錐所得的截面就是KLMΔ（圖2-4）．像這樣，所給點的連線均在幾何體的表面，直接連接這些點就可以得到所要的截面形狀．

上述作法表明：若給定的點的連線均在多面體的表面，直接連就得到截面的形狀．

2.2 平行線法

顯然，圖1-1中GIJΔ的邊GJ沒有在幾何體的表面，而是在幾何體的內部．由于平面具有延展性，只要作出這個平面延展出來以后和正方體表面的交線，就可以得到截面的形狀．

由于平面//ADHE平面BCGF得到//IJ平面BCGF，再由線面平行的性質定理可知//IJ交線，平面GIJ與平面BCGF有一個公共點，根據公理“兩個平面有一個公共點，則有且僅有一條公共直線過該點”可知，過G在平面BCGF內作IJ的平行線，即兩平面的交線BG，如圖1-2．連接BJ，由公理“直線的兩個點在一個平面內，則整條直線在這個平面內”，會發現BJ也是平面GIJ和幾何體的外表面的交線．所求截面即等腰梯形BGIJ，如圖1-3．

對于圖3-1三棱錐ABCD?，點EFG，，分別是棱AB，AC，CD的中點，過EFG，，三點做三棱錐的截面．可以看到圖3-2中EF和FG均在錐體的表面，但是EG在多面體的內部，所以需要將平面進行延展．

同樣根據上述過程，只要在平面BCD中作過G點與EF的平行線即可．取BD的中點H，連接GH和EH，就得到截面即平行四邊形EFGH，如圖3-3．

上述作法表明：若兩點連線平行于另一點所在平面，可以過該點在此平面內作連線的平行線構造截面．

2.3 延長線法

圖4-1的正方體ABCDABCD′′′′?中，EF，是棱AD′′和棱CD′′的三等分點，求過BEF，，三點的截面形狀．

如圖4-2過這三點的連線只有EF在正方體的表面，其余兩條都在正方體的內部，要得到截面的完整形狀，需要延展平面，如何延展呢？作平行線可行嗎？

由公理“兩個平面有一個公共點，則有且僅有一條公共直線過該點”知道B為平面BEF與平面ABCD的公共點，則B一定在兩個平面的交線上．

假設交線為m，因為//EFAC，所以//EF平面ABCD，根據線面平行的性質定理，//EFm．過B點作EF的平行線m，平面BEF和底面ABCD的交線出來了．雖然m不在正方體的表面上．但不難發現m會與底面ABCD的棱DA和DC相交，不妨設交點為GH，，如圖4-3．由于EG，都在平面ADDA′′和平面ABCD上，根據公理，連接EG，EG就是兩個平面的交線．EG與棱AA′交于一點，設為P，連接BP，則BP就是平面ABBA′′與平面BEF的交線，如圖4-4．同理連接FH，FH與棱CC′交于點Q，連接BQ，就把平面BEF和正方體外表面的交線全部做出來了，截面是五邊形BPEFQ，如圖4-5．

像上面這種構造截面，既需要平行線，也需要延長線．

當然，也可以只做延長線也能作出截面．首先，延長EF交棱BA′′于點M，交BC′′于點N，即圖5-1；連接BM和BN，分別交AA′和CC′于點P和點Q，即圖5-2；連接EP和FQ，即可得到截面BPEFQ，即圖5-3．

圖6-1，6-2，6-3，6-4四種情況，即點S在棱BC、棱CC′、面ABCD、面ABBA′′上時，均可按照以上方法做出截面．

圖7-1的五棱錐ABCDEF?中，OGH，，分別是棱ACAFAE，，上的點，滿足：AOOC=，AG= 2GF，2HEAH=，求過OGH，，三點的截面形狀．

容易發現，延長CB和CD與直線EF分別交于PQ，兩點．連接APAQ，，如圖7-2；作直線GH，交PQ和AQ于MN，兩點，如圖7-3；再連接NO交AD于R，延長NO交CQ于點U，連MU交BF于S點，交BC于點T，如圖7-4；即可得到截面為六邊形ORHGST，如圖7-5．

2.4 投影相交法

圖8-1的正方體ABCDABCD′′′′?中，EFG，，分別為棱ADABCC′′′，，的中點，求過EFG，，的截面． 發現題中EFG，，三點的連線均在正方體內部，都不在正方體表面，如何作截面呢？如果能找出三條線中的一條EG（為了直觀）與另一點F所在平面的交點，就可以構造截面了．接著，兩條相交直線交于一點，不妨作EG在平面ABCD上的投影EC′（E′為棱AD的中點），則EG和EC′交于點H，H在平面ABCD內，連接FH，交棱DCBCDA，，的延長線分別于MNQ，，，如圖8-2；連接GM并延長交DC′′于點S，連接EQ交棱AA′于點P，如圖8-3；則作出截面正六邊形EPFNGS，即圖8-4．

我們也可以改變EFG，，三點的位置，不一定都在棱上，也可以在面上，同樣用此法也能做出來．

3 結束語

從作圖過程不難發現，作過三點的平面和截幾何體的截面，不僅需要理解截面的定義、特征，還需要應用公理化思想和線面位置關系的性質定理等，這不僅僅是簡單的作圖，還是對立體幾何內容的融會貫通和實際應用．

本文探討、總結了過三點作截面的四種方法：直接法、平行線法、延長線法、投影相交法．這四種方法對應截面和幾何體表面相交的交線數量從多到少的過程，截面的作法難度也是層層加碼．