基于自適應階次邊界元法的列車車輪聲輻射高效計算

摘要：【目的】車輪是產生輪軌滾動噪聲的主要噪聲源之一，對其聲輻射特性的數值仿真涉及大規模聲學計算。【方法】為提高車輪聲輻射的計算效率，引入了自適應階次邊界元法。通過有限元法和邊界元法相結合，以自由場中的車輪聲輻射為研究對象，采用自適應階次邊界元法計算了車輪振動輻射聲功率、標準測量點的聲壓以及車輪聲輻射指向性，并與傳統邊界元法和快速多極子邊界元法的計算結果及計算時間進行了對比。【結果】不同邊界元法得到的聲輻射結果基本一致，而自適應階次邊界元法的計算速度約為傳統邊界元法的36倍、快速多極子邊界元法的11倍。【結論】自適應階次邊界元法計算效率遠高于其他邊界元方法，在對車輪高頻聲輻射的研究中具有顯著優勢以及良好的適用性。研究結果可為大規模聲學計算提供參考。

關鍵詞：車輪聲輻射；大規模聲學計算；自適應階次邊界元法；計算效率。

中圖分類號：U270.16 文獻標志碼：A

本文引用格式：白栩波，張獻英，LI Yue. 基于自適應階次邊界元法的列車車輪聲輻射高效計算[J]. 華東交通大學學報，2024，41（5）：48-55.

Efficient Calculating of the Vibro-acoustic Behavior of Train Wheel Based on Boundary Element Method with Adaptive Order

Bai Xubo1，2， Zhang Xianying1，2， Li Yue3

（1. Key Laboratory of Road and Traffic Engineering of the Ministry of Education， Tongji University， Shanghai 201804， China；

2. Shanghai Key Laboratory of Rail Infrastructure Durability and System Safety， Tongji University， Shanghai 201804， China;

3. Siemens Digital Industries Software， Leuven 3001， Belgium）

Abstract： 【Objective】 Train wheel is a significant noise source in the rolling noise， and predicting its vibroacoustic behavior involves calculating the large scale acoustic problems. To improve the computational efficiency of wheel sound radiation， this paper introduces the Boundary Element Method with Adaptive Order （BEMAO）. 【Method】 The sound radiation of the wheel in free space was studied by using the combination of the finite element method and the boundary element method. The BEMAO was used to calculate the sound power radiated by the wheel， the sound pressure at standard measurement point， and the directivity of the wheel acoustic radiation. Comparison was then made with the corresponding results obtained by the conventional boundary element method （CBEM） and the fast multipole boundary element method （FMBEM） as well as the computational time. 【Result】 The sound radiation obtained by three different boundary element methods are basically consistent， but the BEMAO is about 36 times faster than the CBEM， and 11 times than the FMBEM. 【Conclusion】 The calculation efficiency of the BEMAO is obviously higher than that of other boundary element methods， and remarkable advantages and good applicability are shown in studying the sound radiation from the wheel at high frequency. The outcomes of this paper can provide reference for calculations of large scale acoustic problems.

Key words： sound radiation of the wheel; large scale acoustic calculations; boundary element method with adaptive order; calculation efficiency

Citation format： BAI X B， ZHANG X Y， LI Y. Efficient calculating of the vibro-acoustic behavior of train wheel based on boundary element method with adaptive order[J]. Journal of East China Jiaotong University， 2024， 41（5）： 48-55.

【研究意義】輪軌滾動噪聲是列車行車中的主要噪聲源之一[1]，它是由輪軌表面粗糙度誘導車輪和軌道結構向多個方向的振動產生。在輪軌滾動噪聲中，鋼軌主導的頻率域為中高頻，而車輪主要在高頻域輻射噪聲[2]，且車輪噪聲的重要性隨車速增加而增加[3]。因此，為提出經濟有效的軌道交通降噪措施，有必要對車輪這一重要噪聲源的振動和聲輻射特性進行研究。然而，對車輪聲輻射特性的仿真分析涉及大規模聲學計算問題。目前研究通常采用傳統的三維邊界元法[4]，需要的計算時間較長，本文所采用的自適應階次邊界元法（boundary element method with adaptive order， BEMAO）是解決此問題的一種新方法。

【研究進展】圣小珍等[5]總結了車輪噪聲預測模型的發展，這些預測模型均基于車輪聲振特性，通常采用試驗或者仿真方法得到。在早期研究中，車輪振動被視為剛性質量塊或者彈性圓環，而車輪聲輻射依據試驗結果被視為自由場中的一個點聲源[6，7]。隨著數值仿真方法的發展，車輪振動和聲輻射預測開始變得更為準確，如Schneider采用環單元建立了車輪的振動有限元模型，然后采用瑞利積分方法計算車輪的聲輻射[8]。隨后有限元法結合邊界元法成為計算車輪聲輻射的最主要方法，如Thompson利用車輪的軸對稱性，結合2D有限元法和2D邊界元法建立了車輪的振動和聲輻射模型[9]。隨著計算機計算能力的進一步提升，目前一般采用3D有限元法結合3D邊界元法。在預測車輪聲輻射的計算中，車輪聲學邊界元模型通常需要滿足每波長至少6個單元的工程精度要求，導致高頻時計算模型較大，因此所需的計算時間較長。文永蓬在進行車輪結構振動-聲輻射一體化優化時采用關鍵點以及車輪模態來表征車輪輻射聲功率[10]，但此方法只適用于不同廓形車輪的聲輻射比較，不能得到準確的結果。圣小珍課題組開發的2.5D有限元法結合2.5D邊界元法在計算效率上優于常規3D方法[4]，但在模型中僅能考慮車輪結構，若需要分析其他結構邊界如車體、車輪下的鋼軌對車輪聲輻射的影響[11]，此方法不再適用，需要一種新的算法來提高計算效率。

【創新特色】針對傳統邊界元法計算車輪高頻聲輻射效率低的問題，本文采用了一種新的高效數值算法——自適應階次邊界元法，即BEMAO[12-13]。該方法主要在以下兩個方面對傳統邊界元法進行了優化：一是在間接邊界元積分公式的離散化中使用高階多項式形函數，顯著減少了模型自由度；二是在系統矩陣的組裝中使用多層對角快速多極近似[14]，顯著減少了模型復雜度。HAMICHE[13]等將其應用于飛機和潛艇等結構的中低頻噪聲輻射計算，結果表明BEMAO的計算速度至少是傳統邊界元法的數十倍，其他快速算法的數倍。本文將BEMAO應用于車輪高頻聲輻射的求解，研究BEMAO算法求解大型結構高頻聲輻射的計算效率和計算精度。

【關鍵問題】本文以自由場中車輪在單位垂向力作用下的聲輻射為研究對象，對比分別采用傳統邊界元法（conventional boundary element method， CBEM）、快速多極子邊界元法（fast multipole boundary element method， FMBEM）和BEMAO的計算結果和計算耗時，展示BEMAO的準確性和高效性。對大規模聲學問題的研究需要先進的數值仿真方法，本文將為其他學者的相關研究提供一種新的思路或參考。

1 BEMAO

ATAK等[12]對BEMAO的基本原理進行了詳細說明，本文在此進行簡要介紹。

1.1 非等參方法

對于三維問題，邊界元法只需對結構表面進行離散化，其積分為曲面積分，在求解過程中存在兩種形函數：一種是幾何形函數，用于將正交點映射到曲面上，即建立一個坐標變換，將局部坐標中幾何形狀規則的標準單元轉換為總體坐標中幾何形狀扭曲的實際單元；另一種是插值形函數，用于對系統的主要未知量進行插值。通常邊界元方法采用的幾何形函數和插值形函數相同，稱為等參方法，對應的網格單元稱為等參元。等參元的幾何形狀與未知量插值之間具有較高的匹配度，有利于保證計算精度，并且其形函數構造簡單，易于實現，是目前有限元和邊界元中應用最廣泛的單元。

傳統邊界元法為等參方法，為保證計算結果達到工程精度，在進行結構網格劃分時每波長至少含有6個線性單元。在頻域分析中，如果只使用一個網格，即只進行一次網格劃分，那么最大網格尺寸為最高頻率對應波長的1/6，這會導致模型在低頻下過度離散，極大地增加了計算時間和計算成本；如果使用多個網格，即分頻段進行網格劃分，也會增加前處理的時間。另外，如果網格劃分不均勻，部分單元尺寸過大導致在高頻下離散不足、達不到所需精度，或者部分單元尺寸過小導致在低頻下過度離散、額外增加計算時間，模型也無法進行自動修正。

為了避開以上所述的缺陷，BEMAO采用了非等參方法，對應的網格單元稱為非等參元。對于非等參元的求解，幾何形函數和插值形函數是分開的。在整個頻域分析中，每個網格單元的幾何形函數保持不變，而插值形函數的階次根據求解頻率自動調整。這種只改變單元內形函數階次而不改變單元數量和節點位置的方法也被稱為p-自適應方法。相比于傳統邊界元法使用的一階或二階形函數，BEMAO使用的高階形函數在每個自由度上能攜帶更多信息，可以更高效地捕捉單元內的聲壓場。對于同一個聲學問題，要達到相同的計算精度，BEMAO所需的模型自由度數要遠低于傳統邊界元法，從而極大地減少了計算量。

BEMAO在高頻或大尺寸單元使用高階形函數以保證精度，在低頻或小尺寸單元使用低階形函數以保證計算效率，在每個頻率處能得到一個最優的模型大小。同時，BEMAO不需要均勻的網格，不會出現傳統邊界元中高頻離散不足、低頻過度離散的問題，采用粗糙的網格就能滿足整個頻域分析。

1.2 高階形函數和先驗誤差估計

在插值形函數的選擇上，BEMAO采用由節點函數、邊函數和面函數組成的分層Lobatto函數（稱為勒讓德函數）。Lobatto高階形函數中包含了更低階的形函數，這意味著使用不同階次的相鄰單元可以共存，且可以直接從高階的系數矩陣中提取出更低階的系數矩陣，而無需重新生成矩陣，這也減少了計算時間。Lobatto函數具有層次性和正交性，有利于系統調節，在西門子此前開發的自適應階次有限元法（finite element method with adaptive order， FEMAO）[15]中得到過應用。

BEMAO支持最高6階的形函數，此時每個波長半個單元即可達到標準工程精度，無需再遵循每波長至少6個單元的傳統經驗法則。因此使用粗糙的網格可以解決高頻問題，有效地壓縮了模型大小。在實際應用中，為準確表示幾何結構以及確保單元階次的良好分布，每個聲波波長建議使用1個單元。

為了快速方便地確定每個單元在每個頻率下所需的形函數階次，BEMAO采用了先驗誤差估計。通過各種配置實驗得到單元形函數階次表，求解時自適應規則會自動根據單元大小、求解頻率、聲速和所需精度掃描表中的值，來選擇每個單元中合適的多項式階次，得到模型在每個頻率下的最優階次分布。這種先驗誤差估計可以高效地控制實際數值誤差，比后驗誤差估計更適合應用于工程問題。

1.3 矩陣組裝加速

對于自由度數為N的模型，在傳統邊界元法中，所有網格單元之間相互作用形成的系數矩陣為滿秩矩陣，在矩陣組裝過程中會產生O（N2）的復雜度，這是傳統邊界元法的主要計算成本。BEMAO采用高階形函數極大地減少了模型自由度，但在系統矩陣組裝上的耗時仍是比較長的。為了加速這個過程，BEMAO吸收了快速多極子邊界元的主要思想，通過中間變換和傳遞分解，在邊界元的遠場計算中，將“點對點”的直接運算轉換為“點集對點集”的間接運算[16]，極大地減少了矩陣組裝的復雜度。另外，不同于FMBEM采用的遠場項隱式存儲和迭代求解，BEMAO采用了遠場項顯示存儲和直接求解，這種操作與高階形函數能夠很好的配合。

2 自由場中的車輪聲輻射

在車輪聲輻射特性的研究中，通常假設車輪位于自由場，即位于無限大的自由空間。本文也基于此種情形來比較BEMAO，CBEM和FMBEM的計算結果和計算效率。以下所有計算均在配置為Intel（R） Xeon（R） Platinum 8383C CPU @ 2.70 GHz和RAM 1 024 GB的工作站上完成。

2.1 車輪振動

本文所用車輪為國內某高速動車車輪，其橫截面如圖1所示，車輪直徑為0.92 m，車軸部分直徑為0.2 m。

使用Simcenter 3D軟件求解車輪的振動，建立的車輪有限元模型如圖2所示，其中網格單元類型為CHEXA20單元（包括二十節點六面體單元和十五節點五面體單元），單元特征尺寸約為45 mm，單元數為4 268個，節點數為22 133個。本文不對車輪進行約束，只增大車軸部分的密度和彈性模量，使整個車輪的質量等同于輪對質量的一半[17]，即656 kg。相比于對輪轂內邊緣進行固定約束，本文在車輪的模態分析中考慮車軸和車輪的耦合，能更好地模擬節徑數小于2的模態，同時可以在車輪的諧響應分析中考慮剛體模態的影響，更加接近于實際情況[3]，表1給出了車輪各部分的材料參數。

在實際工程中，車輪受到輪軌力的作用，然而本文重點在于BEMAO的應用，且在分析車輪的速度導納和指向性等振動和聲輻射特性時，需要進行輪軌力的歸一化，同時實際輪軌力下的車輪響應可由單位力下的響應與輪軌力頻譜相乘得到，故本文僅考慮在輪軌接觸點處施加單位垂向力。采用模態疊加法求解車輪的頻率響應，求解頻率設置為100～6 000 Hz，其中100～5 000 Hz的頻率間隔為10 Hz，5 000～6 000 Hz的頻率間隔為50 Hz，共511個頻率點。使用模態疊加法時通常保留2～3倍外載荷頻率范圍內的所有模態，本文取12 000 Hz范圍內的所有車輪模態（包括前6階剛體模態）用于疊加，同時假定各階模態的阻尼比均為0.005。計算得到的輪軌接觸點處的速度導納如圖3所示，可見在垂向力激勵下，車輪主要在垂向和橫向振動，而在縱向上的振動很小，可以忽略。由于在模態疊加時考慮了剛體模態的影響，低頻時車輪的速度導納將由質量控制，在頻率高于反共振點（即頻率響應最低點）后速度導納由剛度控制。圖3中曲線的一系列峰值和車輪的各階模態相對應，其中在低于2 000 Hz時主要激起車輪的軸向模態，在高于2 000 Hz時主要激起車輪的徑向模態。

2.2 車輪聲輻射

快速多極子邊界元是迄今應用較為廣泛的邊界元加速算法[16]，本文將分別應用CBEM、FMBEM以及BEMAO求解車輪聲輻射，對比三者的計算結果和計算時間。這3種邊界元方法的基本原理[12，16]如表2所示，其中CBEM是一種基于邊界積分方程（boundary integral equation）的數值方法，且為等參方法（isoperimetric approach），而FMBEM和BEMAO是在CBEM的基礎上通過優化算法發展而來的，前者主要原理為格林函數的多極子展開（multipole expansion of Green's function），后者主要為自適應高階形函數（high order shape functions and adaptivity）、非等參方法（non-isoparametric approach）以及多層快速多極子算法（multi-level fast multipole algorithms）的應用。

將有限元法計算得到的車輪表面振動響應作為速度邊界條件輸入邊界元模型，以求解車輪聲輻射。模型中空氣密度為1.21 kg/m3，空氣中的聲速為343 m/s。

2.2.1 邊界元模型

對于BEMAO，滿足每波長至少1個單元的要求，使用的車輪網格模型如圖4所示，網格類型為二次三角形和二次四邊形的混合網格，網格特征尺寸為45 mm，單元數為3 364個，節點數為10 070個。對于CBEM和FMBEM，需要滿足每波長至少6個線性網格的要求，使用的車輪網格模型如圖5所示，網格類型為線性三角形網格，網格特征尺寸為9.52 mm，單元數為167 136個，節點數為83 570個。對3種邊界元模型，分別計算車輪的輻射聲功率、聲壓及其指向性。

在Simcenter 3D軟件中，結構輻射聲功率是通過積分遠場球面上的均方聲壓得到的。在與車輪中心相距15 m的遠場建立1個包裹整個聲場的球面網格。為了保證高頻計算結果的準確性，此網格的特征尺寸取為200 mm。

依據國家標準《聲學 軌道機車車輛發射噪聲測量》（GB/T 5111—2011）對鐵路噪聲聲壓測量的位置規定，本文選擇距離軌道中心線7.5 m、鋼軌頂面1.2 m處的位置作為聲壓評價點。

指向性是指聲輻射在特定方向上的比例，用以描述聲場在空間中的分布。對于車輪聲輻射指向性，本文采用如圖6所示的1/4圓弧，計算其上的聲壓分布。具體地，以車輪中心為圓心，半徑為6.79 m，從0°（對應車輪軸向）到90°（對應車輪踏面）每5°設置一個聲壓測量點，同時此圓弧經過選定的標準測量評價點。

2.2.2 結果對比

車輪聲輻射計算頻率的設置和2.1節中的車輪振動頻率設置相同，并行計算設置為6進程和每進程20線程。

采用不同方法得到的單位垂向激勵下車輪振動輻射聲功率級如圖7所示。由圖可知，BEMAO計算得到的結果和其他方法幾乎相同，差別大多在0.5 dB以內。圖7中聲功率級曲線的峰值頻率和車輪振動峰值頻率相對應，在2 000 Hz以下時對應車輪的軸向模態，在2 000 Hz以上時對應車輪的徑向模態。

相應的標準測量點處的聲壓級對比結果如圖8所示。由圖8可知，3種邊界元方法的結果基本一致，BEMAO和CBEM得到的聲壓級曲線吻合良好，二者差別基本在0.7 dB以內。圖8中聲壓級曲線的整體趨勢和圖7中的聲功率級曲線是比較類似的，只是峰值頻率有所差別，這和測量點在聲場中的位置有關。

圖9給出了車輪在5節徑和3節徑1節圓軸向模態以及5節徑和3節徑徑向模態上的指向性。在圖9（a）中，3種邊界元法計算得到的結果基本一致，各角度聲壓級的差別較小，大多在0.5 dB以內，如表3所示。圖9（b），圖9（c）和圖9（a）的結果類似，而在圖9（d）中，BEMAO也僅在個別角度上（如0°，30°和60°）和其他兩種方法的計算結果差別大一些，但整體吻合良好。可以看到，兩種類型的車輪模態均在0°位置，即車軸方向輻射的聲壓最小，這是由于模態節徑數大于0，車輪關于節徑對稱的部分振動方向相反，模態振型不同區域對車輪聲輻射的貢獻在軸向相互抵消。從整體趨勢來看，車輪軸向模態在車輪踏面區域（90°附近）的聲壓級要低于車軸區域，其聲場分布類似于偶極子，而徑向模態在整個圓弧上的聲壓級基本處于同一水平，其聲場分布類似于單極子，這和文獻[9]得到的車輪聲輻射指向性結論一致。

CBEM，FMBEM和BEMAO 3種邊界元方法所需要的計算時間分別為60.4，18.4 h和1.7 h，BEMAO計算速度最快，約為CBEM的36倍、FMBEM的11倍。可見BEMAO能夠顯著減少大規模聲學問題的求解時間，提高計算效率。

從以上對比可知，在車輪輻射聲功率、標準測量點聲壓以及車輪聲輻射指向性的求解上，BEMAO與CBEM，FMBEM的計算結果吻合良好，3種邊界元方法得到的車輪聲輻射特性基本一致，而BEMAO在計算效率上表現出顯著優勢，極大地縮短了計算時間。因此，相比于其他方法，BEMAO更適合求解車輪高頻聲輻射這類大規模聲學計算問題，是更為高效的求解算法。另外，本文只考慮了自由場的情形，而實際工程中存在更多、更復雜的工況，例如車體邊界下的車輪聲輻射，此時模型計算量更大，BEMAO在計算效率上的優勢將更為顯著。

3 結論

本文介紹了一種新的聲學邊界元法——自適應階次邊界元法，并將其應用于車輪高頻振動聲輻射的求解，通過與傳統邊界元法和快速多極子邊界元法的對比，得到以下結論：

1） 相比于傳統邊界元法，自適應階次邊界元法在算法上的優化主要為使用高階形函數降低模型自由度，以及使用快速多極近似降低系統矩陣組裝的復雜度。

2） 不同邊界元法得到的車輪聲輻射結果基本一致，而自適應階次邊界元法的計算耗時遠低于其他邊界元法，能夠在保證計算結果準確性的同時顯著提高計算效率，在大規模聲學計算方面具有明顯優勢。

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第一作者：白栩波（1998—），男，碩士研究生，研究方向為結構振動與聲輻射。E-mail：2131359@tongji.edu.cn。

通信作者：張獻英（1985—），女，研究員，博士，博士生導師，上海海外高層次人才計劃獲得者，研究方向為噪聲與振動控制、軌道交通動力學與聲學及其控制、軌道結構狀態智能檢測與監測。E-mail：xianyingzhang@tongji.edu.cn。