指數權的加權Lebesgue空間中擬齊次核最優Hilbert型積分不等式的參數條件及應用

摘要： 首先， 引入擬齊次核的概念， 討論權函數為指數函數的加權Lebesgue空間中具有擬齊次核的Hilbert型積分不等式； 其次， 利用權系數方法及若干分析技巧， 給出最優Hilbert型積分不等式的等價參數條件， 并獲得了最佳常數因子的計算公式； 最后， 討論其在算子理論中的應用.

關鍵詞： 加權Lebesgue空間; 擬齊次核; Hilbert型積分不等式; 最佳搭配參數; 等價條件; 有界算子; 算子范數

中圖分類號： O178""文獻標志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1325-09

Parameter Conditions of Optimal Hilbert-Type Integral Inequalitieswith Quasi-homogeneous Kernel in Weighted Lebesgue Spaceswith Exponential Weight and Applications

ZHAO Qian1， HONG Yong1， KONG Yinying2

（1. College of Artificial Intelligence， Guangzhou Huashang College， Guangzhou 511300， China; 2. College of Statistics and Mathematics， Guangdong University of Finance and Ec

onomics， Guangzhou 510320， China）

Abstract： Firstly， the concept of quasi-homogeneous kernel was introduced to discuss Hilbert-type integral inequalities with quasi-homogeneous kernel

in weighted Lebesgue spaces with exponential functions. Secondly， by using the weight coefficient method and several "analysis techniques， equivalent parameter conditio

n for optimal Hilbert-type integral inequalities was given， and the calculation formula for the best constant factor was obtained. Finally， its applications in operator theory were discussed.

Keywords： weighted Lebesgue space; quasi-homogeneous kernel; Hilbert-type integral inequality; optimal matching parameter; equivalent condition; bounded operator; operator norm

0"引"言

設1p+1q=1（pgt;1）， f（x）∈Lp（0，+∞）， g（y）∈Lq（0，+∞）， 則Hilbert積分不等式^［1］為

∫^+∞0∫^+∞01x+yf（x）g（y）dxdy≤πsin（π/p）‖f‖p‖g‖q，（1）

其中常數因子πsin（π/p）是最佳值. 定義積分算子

T（f）（y）=∫^+∞01x+yf（x）dx，""f（x）∈Lp（0，+∞），

則式（1）可等價地表示為如下算子T的不等式：

‖T（f）‖p≤πsin（π/p）‖f‖p.

因此T是Lp（0，+∞）中的有界算子， 且算子范數‖T‖=πsin（π/p）.

設φ（x）gt;0， 引入加權Lebesgue空間：

L^φ（x）p（a，b）=f（x）： ‖f‖p，φ（x）=∫baφ（x）f（x）pdx^1/plt;+∞.

一般地， 若1p+1q=1（pgt;1）， φ1（x）gt;0， φ2（y）gt;0， 則以K（x，y）為核的不等式

∫ba∫baK（x，y）f（x）g（y）dxdy≤M‖f‖p，φ1（x）‖g‖q，φ2（y）（2）

稱為Hilbert型積分不等式， 若其常數因子M為最佳值， 則式（2）稱為最優不等式.

目前， 關于Hilbert型不等式的研究已有很多成果^［2-24］. 例如： 文獻［2］考慮指數權函數的加權Lebesgue空間， 得到了一個具有最佳常數因子的Hilbert型不等式：

∫^+∞-∞∫^+∞-∞f（x）g（y）（1+exey）λdxdy≤Bλ2，λ2‖f‖2，e^-λx‖g‖2，e^-λy，

其中λgt;0， B（u，v）是Beta函數； 文獻［3］在文獻［2］的基礎上引入獨立參數σ和σ1， 討論了核為H（e^axe^by）的Hilbert型積分不等式：

∫^+∞-∞∫^+∞-∞H（e^axe^by）f（x）g（y）dxdy≤

M‖f‖p，exp{σapx}‖g‖q，exp{σ1bqy}，

并得到了最佳常數因子的等價條件. 本文引入一類廣義齊次核：

K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y），

其中G（u，v）是λ階齊次非負函數， 討論指數函數加權Lebesgue空間中最優Hilbert型不等式的等價參數條件.

1"引"理

引理1"設G（u，v）是λ階齊次非負函數， λ1λ2gt;0， K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y）， 則

K（x，y）=e^λλ1xK0，y-λ1λ2x=e^λλ2yKx-λ2λ1y，0.

特別地， 有

K（0，t）=e^λλ2tK-λ2λ1t，0，""K（t，0）=e^λλ1tK0，-λ1λ2t.

證明： 根據G（u，v）是λ階齊次函數， 有

K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y）=e^λλ1xG（1，e^λ2y-λ1x）e^λλ1xGe^0λ1，e^λ2＼=e^λλ1xK0，y-λ1λ2x.

同理可證K（x，y）=e^λλ2yKx-λ2λ1y，0.

引理2"設1p+1q=1（pgt;1）， λ1λ2gt;0， a，b∈， G（u，v）是λ階齊次非負函數，

K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y）， 記

W1（s）=∫^+∞-∞K（0，t）e^stdt，""W2（s）=∫^+∞-∞K（t，0）e^stdt，

則有

ω1（b，p，x）=∫^+∞-∞K（x，y）e^-bpydy=e^λ1＼1λ1aq+1λ2bp=λ， 則1λ1W1（-bp）=1λ2W2（-aq）.

證明： 根據引理1， 有

ω1（b，p，x）= "e^λλ1x∫^+∞-∞K0，y-λ1λ2xe^-bpydy

=e^λλ1x∫^+∞-∞K（0，t）e^-bp＼"e^λ1＼

類似可證ω2（a，q，y）=e^λ2＼1λ1aq+1λ2bp=λ， 則

W1（-bp）= "∫^+∞-∞K（0，t）e^-bptdt=∫^+∞-∞K-λ2λ1t，0e

^{（λλ2-bp）t}dt= "λ1λ2∫^+∞-∞K（u，0）e^＼"λ1λ2∫^+∞-∞K（u，0）e^-aqudu=λ1λ2W2（-aq），

故1λ1W1（-bp）=1λ2W2（-aq）.

引理3"設1p+1q=1（pgt;1）， K（x，y）≥0， φ1（x）gt;0， φ2（y）gt;0， Ω是一個可測集， 積分算子T為

T（f）（y）=∫ΩK（x，y）f（x）dx，

則Hilbert型不等式

∫Ω∫ΩK（x，y）f（x）g（y）dxdy≤M‖f‖p，φ1（x）‖g‖q，φ2（y）（3）

等價于算子不等式

‖T（f）‖p，φ^1-p2（y）≤M‖f‖p，φ1（x）.（4）

證明： 若式（4）成立， 則根據H?lder不等式， 有

∫Ω∫ΩK（x，y）f（x）g（y）dxdy= "∫Ωg（y）T（f）（y）dy= "∫Ωφ^1/q2（y）g（y）φ^-1/q2（y）T（f）（y）dy

≤ "∫Ωφ2（y）g（y）qdy^1/q∫Ωφ^-p/q2（y）T（f）（y）pdy^1/p

= "‖g‖q，φ2（y）∫Ωφ^1-p2（y）T（f）（y）pdy^1/p

= "‖g‖q，φ2（y）‖T（f）‖p，φ^1-p2（y）≤M‖f‖p，φ1（x）‖g‖q，φ2（y），

故式（4）成立.

反之， 若式（3）成立， 則

‖T（f）‖pp，φ^1-p2（y）= "∫Ωφ^1-p2（y）T（f）（y）pdy= "∫Ωφ^1-p2（y）∫ΩK（x，y）f（x）dxpdy

≤ "∫Ωφ^1-p2（y）∫ΩK（x，y）f（x）dx^p-1∫ΩK（x，y）f（x）dxdy.

令g（y）=φ^1-p2（y）∫ΩK（x，y）f（x）dx^p-1， 則

‖T（f）‖pp，φ^1-p2（y）≤ "∫Ωg（y）∫ΩK（x，y）f（x）dxdy= "∫Ω∫ΩK（x，y）f（x）g（y）dxdy

≤ "M‖f‖p，φ1（x）‖g‖q，φ2（y）=M‖f‖p，φ1（x）‖g‖q，φ2（y）= "M‖f‖p，φ1（x）∫Ωφ2（y）

φ^1-p2（y）∫ΩK（x，y）f（x）dx^p-1qdy^1/q=

M‖f‖p，φ1（x）∫Ωφ^1-p2（y）∫ΩK（x，y）f（x）dxpdy^1/q

= "M‖f‖p，φ1（x）∫Ωφ^1-p2（y）T（f）（y）pdy^1/q= "M‖f‖p，φ1（x）‖T（f）‖^p-1

p，φ^1-p2（y），

從而可得式（4）.

2"主要結果

定理1"設1p+1q=1（pgt;1）， a，b∈， λ1λ2gt;0， G（u，v）是λ階齊次非負函數，

K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y）， 則下列結論成立：

1） 記φ1（x）=expλ1paλ1-bλ2+λx，

φ2（y）=expλ2qbλ2-aλ1+λy， 則

A（K，f，g）=∶ "∫^+∞-∞∫^+∞-∞K（x，y）f（x）g（y）dxdy

≤ "W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）‖f‖p，φ1（x）‖g‖q，φ2（y），（5）

其中f（x）∈L^φ1（x）p（-∞，+∞）， g（y）∈L^φ2（y）q（-∞，+∞）.

2） 若W1（-bp）lt;+∞， W2（-aq）lt;+∞， 則W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）是式（5）最佳常數因子的充分必要條件是1λ1aq+1λ2bp=λ， 且當1λ1aq+1λ2bp=λ時， 式（5）化為

A（K，f，g）≤λ2λ1^1/qW1（-bp）‖f‖p，exp{apqx}‖g‖q，exp{bpqy}，（6）

其中λ2λ1^1/qW1（-bp）是最佳常數因子.

證明： 1） 選取a，b為搭配參數， 利用H?lder不等式及引理2， 有

A（K，f，g）= "∫^+∞-∞∫^+∞-∞（e^ax-byf（x））（e^by-axg（y））K（x，y）dxdy≤

∫^+∞-∞∫^+∞-∞e^（ax-by）pf（x）pK（x，y）dxdy^1/p

× "∫^+∞-∞∫^+∞-∞e^（by-ax）qg（y）qK（x，y）dxdy^1/q

= "∫^+∞-∞e^apxf（x）pω1（b，p，x）dx^1/p

∫^+∞-∞e^bqyg（y）qω2（a，q，y）dy^1/q= "W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）

∫^+∞-∞expλ1paλ1-bλ2+λxf（x）pdx^1/p× "∫^+∞-∞expλ2qbλ2-

aλ1+λyg（y）qdx^1/q= "W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）‖f‖p，φ1（x）‖g‖q，φ2（y）.

故式（5）成立.

2） 充分性. 設1λ1aq+1λ2bp=λ， 則計算可得φ1（x）=exp{apqx}， φ2（y）=exp{bpqy}.

又根據引理2， 有1λ1W1（-bp）=1λ2W2（-aq）， 于是式（5）可化為式（6）. 從而只需證明式（6）的常數因子最佳即可.

若式（6）的常數因子不是最佳的， 則存在常數M0lt;λ2λ1^1/qW1（-bp）， 使得

A（K，f，g）≤M0‖f‖p，exp{apqx}‖g‖q，exp{bpqy}.

取充分小的εgt;0及足夠大的正數N， 令

f（x）=exp{（-apq-λ1ε）x/p}，x≥N，0，xlt;N，

g（y）=exp{（-bpq-λ2ε）y/q}，y≥0，0，ylt;0，

則有

‖f‖p，exp{apqx}‖g‖q，exp{bpqy}= "∫^+∞Ne^-λ1εxdx^1/p

∫^+∞0e^-λ2εydy^1/q= "1λ1εe^-λ1εN1/p1λ2ε^1/q= "1ελ1^1/pλ2^1/q

e^-λ1εN/p.

根據引理1， 有

A（K，f，g）= "∫^+∞Nexp-aq-λ1εpx

∫^+∞0K（x，y）exp-bp-λ2εqydydx

= "∫^+∞Nexp-aq-λ1εpx×

∫^+∞0K0，y-λ1λ2xe

λλ1xexp-bp-λ2εqydydx=

∫^+∞Nexpλλ1-aq-λ1εpx×

∫^+∞-（λ1/λ2）xK（0，t）exp-bp-λ2εqt+λ1λ2xdtdx

= "∫^+∞Nexpλλ1-aq-λ1εp-λ1λ2bp+

λ1εqx× "∫^+∞-（λ1/λ2）xK（0，t）exp-bp-λ2εqtdtdx= "∫^+∞Ne^λ1εx

∫^+∞-（λ1/λ2）xK（0，t）exp-bp-λ2εqtdtdx

≥ "∫^+∞Ne^λ1εxdx∫^+∞-（λ1/λ2）NK（0，t）exp-bp-λ

2εqtdt= "1ελ1e^-λ1εN

∫^+∞-（λ1/λ2）NK（0，t）exp-bp-λ2εqtdt.

綜上可得

1λ1e^-λ1εN∫^+∞-（λ1/λ2）NK（0，t）exp-bp-λ

2εqtdt≤M01λ1^1/pλ2^1/qe^-λ1εN/p.

令ε→0+， 利用Fatou引理^［25］， 有

1λ1∫^+∞-（λ1/λ2）NK（0，t）e^-bptdt≤M01λ1^1/pλ2^1/q，

再令N→+∞， 得

1λ1W1（-bp）=1λ1∫^+∞-∞K（0，t）e^-bptdt

≤M01λ1^1/pλ2^1/q，

于是有λ2λ1^1/qW1（-bp）≤M0， 與M0lt;λ2λ1^1/qW1（-bp）矛盾，

故λ2λ1^1/qW1（-bp）是式（6）的最佳常數因子.

必要性. 設W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）是式（5）的最佳常數因子， 記1λ1aq+1λ2bp-λ=c， a1=a-λ1cpq，

b1=b-λ2cpq， 則

1λ1a1q+1λ2b1p=1λ1aq+1λ2bp-cp-cq=λ+c-c=λ，

φ1（x）=expλ1paλ1-bλ2+λx

=expλ1pa1λ1-b1λ2+λx=exp{a1pqx}，

φ2（y）=expλ2qbλ2-aλ1+λy

=expλ2qb1λ2-a1λ1+λy=exp{b1pqy}，

W2（-aq）= "∫^+∞-∞K（t，0）e^-aqtdt=∫^+∞-∞K0，-λ1λ2te^（

^λλ1-aq）tdt= "λ2λ1∫^+∞-∞K（0，u）e^{（-bp+λ2c）u}du=λ2λ1∫^+∞-∞K（0，t）e^{（-bp+λ2c）t}dt，

于是式（5）可化為

A（K，f，g）=W^1/p1（-bp）λ2λ1∫^+∞-∞K（0，t）e^{（-bp+λ2c）t}dt^1/q

‖f‖p，exp{a1pqx}‖g‖q，exp{b1pqy}.（7）

由于式（5）的常數因子是最佳的， 故式（7）的常數因子為

λ2λ1^1/qW^1/p1（-bp）∫^+∞-∞K（0，t）e^{（-bp+λ2c）t}dt^1/q，

因為1λ1a1q+1λ2b1p=λ， 故根據充分條件的證明可知， 式（7）的最佳常數因子應為

λ2λ1^1/qW1（-bp）=λ2λ1^1/q

∫^+∞-∞K（0，t）exp-bpt+λ2cqtdt.

于是

∫^+∞-∞K（0，t）exp-bpt+λ2cqtdt=W^1/p1（-bp）∫^+∞-∞K（0，t）exp{（-bp+λ2c）t}d

t^1/q.（8）

利用H?lder不等式， 有

∫^+∞-∞K（0，t）exp-bp+λ2cqtdt= "∫^+∞-∞1·

expλ2cqtK（0，t）e^-bptdt≤

∫^+∞-∞1pK（0，t）e^-bptdt^1/p∫^+∞-∞e^λ2ctK（0，t）e^-bptdt^1/q

= "W^1/p1（-bp）∫^+∞-∞K（0，t）e^{（-bp+λ2c）t}dt^1/q.（9）

由式（8）知式（9）取等號， 再根據H?lder不等式取等號的條件， 可得e^λ2ct=常數， 從而c=0， 即1λ1aq+1λ2bp=λ.

3"應"用

根據引理3和定理1， 可得下面關于算子理論的定理.

定理2"設1p+1q=1（pgt;1）， a，b∈， λ1λ2gt;0， G（u，v）是λ階齊次非負可測函數，

K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y）， W1（-bp）lt;+∞， W2（-aq）lt;+∞， 積分算子T為

T（f）（y）=∫^+∞-∞K（x，y）f（x）dx.

1） 記φ1（x）=expλ1paλ1-bλ2+λx，

φ2（y）=expλ2qbλ2-aλ1+λy，

則T是從L^φ1（x）p（-∞，+∞）到L^φ1-p2（y）p（-∞，+∞）的有界算子， 且T的算子范數‖T‖≤W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）.

2） 當且僅當1λ1aq+1λ2bp=λ時， T的算子范數‖T‖=W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）. 當1λ1aq+

1λ2bp=λ時， 有φ1（x）=exp{apqx}， φ2（y）=exp{bpqy}， 且

‖T‖=W^1/p1（-bp）W^1/q2（-aq）=λ2λ1^1/qW1（-bp）.

推論1"設1p+1q=1（pgt;1）， λgt;0， λ1λ2gt;0， k1gt;0， k2gt;0， 則積分算子

T（f）（y）=∫^+∞-∞f（x）（k1e^λ1x+k2e^λ2y）λdx

是從L^exp{-λλ1x}p（-∞，+∞）到L^{exp{-λλ2（1-p）y}}p（-∞，+∞）的有界算子， 且T的算子范數為

‖T‖=1λ1^1/qλ2^1/pk^λ/p1

k^λ/q2Bλp，λq，

其中B（s，t）是Beta函數.

證明： 令G（u，v）=1（k1u+k2v）λ， 則G（u，v）是-λ階齊次函數， 且

K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y）=1（k1e^λ1x+k2e^λ2y）λ.

取a=-λλ1pq， b=-λλ2pq， 則

1λ1aq+1λ2bp=-λ，"exp{apqx}=exp{-λλ1x}，"exp{bpq（1-p）y}=exp{-λλ2（1-p）y}，

且

W1（-bp）= "∫^+∞-∞K（0，t）e^-bptdt=∫^+∞-∞1（k1+k2e^λ2t）λe

（λλ2/q）tdt= "1kλ1∫^+∞-∞1＼e^{（λλ2/q）t}dt= "1kλ1

∫^+∞-∞1（1+u）λk1k2u^λ/q1λ2u^-1du

= "1λ21k^λ/p1k^λ/q2∫^+∞-∞1（1+u）λu^λ/q-1du=

1λ2k^λ/p1k^λ/q2Bλq，λ-λq

=1λ2k^λ/p1k^λ/q2Bλp，λq.

于是可得

λ2λ1^1/qW1（-bp）=1λ1^1/qλ2^1/pk^λ

^/p1k^λ/q2Bλp，λq.

綜上并根據定理2知結論成立.

推論2"設1p+1q=1（pgt;1）， λ1λ2gt;0， 0lt;σlt;λ， k1gt;0， k2gt;0， 則積分算子

T（f）（y）=∫^+∞-∞f（x）（k1+k2e^λ1x-λ2y）λdx

是從L^{exp{-λ1σpx}}p（-∞，+∞）到L^{exp{-λ2σpy}}p（-∞，+∞）的有界算子， 且T的算子范數為

‖T‖=k^σ-λ1k^-σ2λ1^1/qλ2^1/pB（σ，λ-σ）.

證明： 令G（u，v）=1（k1+k2u/v）λ， 則G（u，v）是0階齊次函數， 且

K（x，y）=G（e^λ1x，e^λ2y）=1（k1+k2e^λ1x-λ2y）λ.

取a=-λ1σq， b=λ2σp， 則

1λ1aq+1λ2bp=0，"exp{apqx}=exp{-λ1σpx}，"exp{bpq（1-p）y}=exp{-λ2σpy}，

且

W1（-bp）= "∫^+∞-∞K（0，t）e^-bptdt=∫^+∞-∞1（k1+k2e^-λ2t）λe

-λ2σtdt= "1kλ1∫^+∞-∞1＼e^-λ2σtdt= "1λ2k^σ-λ1k^-σ2

∫^+∞-∞1（1+u）λu^σ-1du=1λ2k^σ-λ1k^-σ2B（σ，λ-σ），

于是可得

λ2λ1^1/qW1（-bp）=k^σ-λ1k^-σ2λ1^1/qλ

2^1/pB（σ，λ-σ）.

綜上并根據定理2知結論成立.

若在推論2中取σ=1p， λ=1， 則可得：

推論3"設1p+1q=1（pgt;1）， λ1λ2gt;0， k1gt;0， k2gt;0， 則積分算子

T（f）（y）=∫^+∞-∞f（x）k1+k2e^λ1x-λ2ydx

是從L^exp{-λ1x}p（-∞，+∞）到Lp^exp{-λ2y}（-∞，+∞）的有界算子， 且T的算子范數為

‖T‖=k^-1/q1k^-1/p2λ1^1/qλ2^1/pB1p，1-1p

=1λ1^1/qλ2^1/pk^1/q1k^1/p2πsin（π/p）.

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（責任編輯： 趙立芹）