基于二維有偏距離插值的雙層嵌入可逆信息隱藏算法

摘 要：針對目前可逆信息隱藏技術(shù)存在載密圖像嵌入率與失真度無法兼顧的問題，提出一種基于二維有偏距離插值的雙層嵌入可逆信息隱藏方案。第一層嵌入將圖像像素按棋盤式劃分為兩組，采用改進(jìn)的全向梯度參數(shù)結(jié)合二維有偏距離插值算法，用其中一組像素預(yù)測另一組像素，再按照預(yù)測誤差擴(kuò)展方式嵌入秘密信息。第二層嵌入將剩余一組像素作為目標(biāo)像素，再進(jìn)行預(yù)測和嵌入，進(jìn)一步提高嵌入率。本文從算法可逆性、預(yù)測精度、嵌入容量和載密圖像失真度等多方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，結(jié)果表明，雙層嵌入恢復(fù)后圖像峰值信噪比為∞ ，不同種類隱藏圖像像素和恢復(fù)圖像像素均方誤差均為0，表明算法可實(shí)現(xiàn)完全可逆隱藏;對不同種類載體圖像進(jìn)行測試，測試圖像平均預(yù)測誤差絕對值小于4的比例為79%，表明算法預(yù)測精度高;嵌入率對比實(shí)驗(yàn)表明，與其他算法相比，本算法均為最高，且雙層嵌入較單層嵌入率平均提升30%以上，充分利用了像素冗余性;嵌入率為0. 7 bit/ pixel時(shí)，本算法載密圖像和原始圖像的峰值信噪比平均為39. 854 dB，高于同類算法3～5 dB，表明載密圖像失真度更低。本文還對閾值與嵌入率、結(jié)構(gòu)相似性與嵌入率之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行分析和對比實(shí)驗(yàn)，深入探討了高嵌入率的獲得條件。本算法可較好解決載密圖像嵌入率和嵌入失真不平衡的矛盾，綜合性能更優(yōu)。

關(guān)鍵詞：可逆信息隱藏;預(yù)測誤差擴(kuò)展;二維有偏距離插值;全向梯度;雙層嵌入

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10. 3969/ j. issn. 1007-791X. 2024. 05. 005

0 引言

信息隱藏技術(shù)最早被提出用來應(yīng)對信息傳輸安全的問題，其是指將秘密信息嵌入進(jìn)載體中但不損害載體的有意義性[1]。但在醫(yī)療圖像、法律取證、版權(quán)認(rèn)證、軍事等領(lǐng)域，要求隱藏技術(shù)在提取秘密信息后須無損恢復(fù)載體數(shù)據(jù)，于是可逆信息隱藏技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生[2]。

可逆信息隱藏技術(shù)是一種有效的將信息嵌入進(jìn)載體圖像的隱寫方案，且無損恢復(fù)載體的特性使其用途廣泛[3]。按不同場景可分為明文域[4]和密文域[5]。按不同空間嵌入可分為基于空間域[6]、基于頻域[7]、針對壓縮圖像[8]以及基于加密域[9]等。按不同嵌入方法可分為像素預(yù)測[10]、像素對差值擴(kuò)展[ 11-12]、直方圖平移[13]、面向位平面嵌入[14-16]、基于DNA編碼圖像隱寫[17]、變換頻率域[18]、像素分類[19]等。

針對可逆信息隱藏技術(shù)在嵌入率和失真度之間無法取得平衡的問題，Wang等[20]利用整數(shù)變換嵌入信息，該算法預(yù)先對圖像進(jìn)行分塊，通過預(yù)估塊的嵌入失真選擇失真較小的塊進(jìn)行嵌入，失真度得到控制，但嵌入率沒有得到提升。 Yi等人[21]提出一種自適應(yīng)預(yù)測誤差策略，有選擇地嵌入對圖像失真影響較小的像素塊，失真度得到改善，但由于預(yù)測算法本身使用的是簡單的中值預(yù)測器，所以嵌入率較低。馬文靜等人[22]提出一種自適應(yīng)嵌入方案，利用平滑度區(qū)分不同像素塊，有選擇地嵌入信息，但問題是被利用的像素較少，嵌入率較低。

為解決預(yù)測誤差擴(kuò)展算法在嵌入率和失真度之間無法兼顧的問題，本文提出一種新的預(yù)測方案進(jìn)行秘密信息嵌入，通過引入二維有偏距離插值并結(jié)合改進(jìn)的全向梯度參數(shù)預(yù)測目標(biāo)像素，以此提高預(yù)測準(zhǔn)確率。因?yàn)轭A(yù)測準(zhǔn)確率的提高即會提升嵌入率，又會降低嵌入失真。在嵌入第一層秘密信息后，對圖像剩余像素再次預(yù)測，充分利用圖像像素冗余性，進(jìn)行第二層秘密信息嵌入。經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)分析，本算法不僅嵌入率得到提升，圖像失真也得到降低，綜合性能更優(yōu)。

1 基本原理

1. 1 預(yù)測誤差擴(kuò)展

預(yù)測誤差擴(kuò)展方案是將待嵌入信息的像素選定為目標(biāo)像素，設(shè)為Xi，j，通過某種預(yù)測方法得到目標(biāo)像素預(yù)測值X′i，j，則預(yù)測誤差d=Xi，j-X′i，j。

設(shè)定閾值T，若|d|≤T，則目標(biāo)像素Pi，j=X′i，j+2d+b。其中，b為被嵌入的秘密信息比特。

若dgt;T，則表明該目標(biāo)像素不能用于嵌入信息。則目標(biāo)像素值Pi，j可逆。

在信息提取及圖像恢復(fù)階段，預(yù)測誤差d=P -X′ i，j i，j

1. 2 二維有偏距離插值與全向梯度

二維有偏距離插值是Ramponi提出的在單線性插值基礎(chǔ)上結(jié)合幾何相似性參數(shù)，利用目標(biāo)值與周圍值的相關(guān)性以獲得更好的預(yù)測效果的計(jì)算插值的算法[23]。圖1為目標(biāo)像素Xi，j及周圍像素。Xi，j周圍四個方向的幾何相似性參數(shù)計(jì)算公式為

其中，A為右上方向的相似性參數(shù)，A左下方1 2 向的相似性參數(shù)，A3為左上方向的相似性參數(shù)，A4為右下方向的幾何相似性參數(shù)，L為像素值的范圍[0，255]。

在得到4個相似性參數(shù)后，將其代入式（2），計(jì)算權(quán)重參數(shù)

其中，s為1/ 2，因?yàn)槟繕?biāo)像素位于參考像素的正中間。 k為修正因子，通常取1或2，作用是控制有偏距離的強(qiáng)度，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)對比，當(dāng)k的取值大于2時(shí)，有偏距離誤差會增大乃至無法恢復(fù)，所以本文設(shè)k值為1。

最后將幾何相似性參數(shù)結(jié)合二維有偏距離插值計(jì)算得到插值參數(shù)s′，t′：

為了得到預(yù)測準(zhǔn)確度更高的預(yù)測值，本文繼續(xù)引入梯度算子和插值參數(shù)結(jié)合，梯度算子為函數(shù)某個方向的方向?qū)?shù)的最大值，通過將梯度算子與插值參數(shù)的結(jié)合以計(jì)算出更準(zhǔn)確的預(yù)測值。并且傳統(tǒng)的全向梯度為四個方向，為提高精度，本文擬新增四個方向，如圖2所示，其中虛線箭頭為新增方向梯度。

按式（4）計(jì)算各個方向的梯度參數(shù)：

其中，α為銳度參數(shù)，取值范圍為[0，1]，即取值越接近0，相當(dāng)于有偏距離插值的作用越小，取值越接近1時(shí)，圖像銳度越高，但預(yù)測誤差會增大。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)表明，在高細(xì)節(jié)圖像中α越小，預(yù)測準(zhǔn)確率越高，一般圖像下，參數(shù)在0. 1～0. 7之間差別極其微小，所以本文將α設(shè)為0. 5。再根據(jù)式（1） ～（3）計(jì)算得到的二維有偏距離插值參數(shù)s′、t′結(jié)合全向梯度參數(shù)得到相鄰像素的權(quán)重系數(shù)：

其中，D=H1（1-s′）+s′H2+V1（1-t′）+t′V2。最后，目標(biāo)像素預(yù)測值為

X′ = w X + w X + w X + w X 。i，j 1 i，j-1 2 i，j+1 3 i-1，j 4 i+1，j

2 算法設(shè)計(jì)

2. 1 算法描述

如圖3所示，本算法首先對圖像像素棋盤式劃分為兩組，一組像素利用二維有偏距離插值結(jié)合全向梯度參數(shù)預(yù)測另一組像素，得到預(yù)測值后利用預(yù)測誤差擴(kuò)展嵌入信息。對剩余像素進(jìn)行第二層嵌入，利用已被嵌入的像素使用同樣的預(yù)測方式進(jìn)行預(yù)測，閾值T為可嵌入像素誤差值的絕對值范圍，對于|d|≤T的像素進(jìn)行擴(kuò)展嵌入，對于|d| gt;T的像素進(jìn)行特定規(guī)則的修改，以保證可逆。經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)分析，該算法預(yù)測準(zhǔn)確率較高，嵌入率提升并且在相同嵌入率下失真度降低，綜合性能更優(yōu)。

2. 2 算法流程

2. 2. 1 信息嵌入

Step1：讀取載體圖像，將圖像像素棋盤式劃分為兩組。

Step2：第一層嵌入，結(jié)合二維有偏距離插值和全向梯度參數(shù)按式（1） ～（5）計(jì)算目標(biāo)像素的預(yù)測值X′i，j。由于邊界像素值無法計(jì)算完整的幾何相似性參數(shù)，因此從被預(yù)測像素組中選定圖像第3行第3列像素作為起始目標(biāo)像素，按照從左至右，從上至下并間隔一個的順序開始遍歷，每計(jì)算得到一個預(yù)測值即預(yù)測誤差擴(kuò)展方式嵌入秘密信息。由于第一層嵌入只利用了一半的像素值，所以剩余像素可繼續(xù)嵌入。

Step3：對于剩余像素，利用已被嵌入的像素作為參考像素，按照同樣的方式對目標(biāo)像素進(jìn)行預(yù)測，得到預(yù)測值后嵌入信息或修改像素值。

2. 2. 2 信息提取與圖像恢復(fù)

信息提取與圖像恢復(fù)操作和嵌入過程互逆，故按嵌入時(shí)相反順序執(zhí)行即可。

Step1：讀取載密圖像后對圖像進(jìn)行棋盤式分組。

Step2：提取第二層嵌入信息，按上文所提算法計(jì)算像素預(yù)測值，判斷是否被嵌入信息，而后可提取秘密信息并恢復(fù)原始像素值。

Step3：提取第一層嵌入信息，采取相同的算法利用已經(jīng)恢復(fù)的像素計(jì)算預(yù)測值，判斷是否被嵌入信息，后可提取秘密信息并恢復(fù)圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為考察本算法各項(xiàng)性能指標(biāo)，從標(biāo)準(zhǔn)測試圖像庫里選取512× 512的 Lena， Airplane， Girl，Man， House， Barbara。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為： CPU： IntelCore i5-8500 CPU @ 3. 00GHz， RAM： 8G， OS：Windows 10，64位，Programming language： Python。

圖4（a）為原始圖像，圖4（b）為雙層嵌入后圖像，嵌入比特?cái)?shù)量為200 190 bit，此時(shí)PSNR為39. 76 dB。圖4（c）為提取全部信息恢復(fù)后圖像。恢復(fù)后圖像峰值信噪比為∞ ，表明圖像可完全恢復(fù)，即算法可逆。

本節(jié)主要從算法的預(yù)測準(zhǔn)確性，閾值T對嵌入率的影響、嵌入率對于峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似性關(guān)系四個方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。

3. 1 可逆性分析

算法的可逆性是評判算法的重要標(biāo)準(zhǔn)之一，可逆與否決定著算法的適用場景，本文引入均方誤差來判斷恢復(fù)圖像與原圖是否完全一致，均方誤差公式如下：

其中，I，J分別表示原始圖像像素和恢復(fù)圖像像素，當(dāng)e=0時(shí)，表示兩幅圖像完全一致。在經(jīng)過大量圖像的測試后，本算法可保證每幅圖像與其原始圖像的e均為0，這證明了算法的可逆性。

3. 2 預(yù)測準(zhǔn)確性分析

算法的預(yù)測準(zhǔn)確率決定了可嵌入信息的多少和載密圖像失真度的高低，準(zhǔn)確率越高，代表可嵌入的信息越多，同時(shí)圖像失真度越低。因此算法的預(yù)測準(zhǔn)確率是整個預(yù)測誤差擴(kuò)展方案的核心。

表1給出在不同圖像中，本算法和對比文獻(xiàn)的預(yù)測精度對比。實(shí)驗(yàn)表明，在Lena中，本文引入二維有偏距離插值結(jié)合改進(jìn)新增四個方向梯度預(yù)測算法的預(yù)測誤差中絕對值小于等于4所占全部誤差的比例達(dá)到0. 769 3，而文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]的預(yù)測誤差分別為0. 520 3和0. 665 2，分別提升47%和16%。在Airplane和Girl等較為平滑的圖像中，本算法在兩幅圖像中的平均預(yù)測準(zhǔn)確率較文獻(xiàn)[10]提高7%，較文獻(xiàn)[19]提高23%，較文獻(xiàn)[20]提高13%，較文獻(xiàn)[21]提高6%。

圖5為在Lena中本算法雙層預(yù)測誤差直方圖，誤差分布集中于0附近，表明預(yù)測準(zhǔn)確率較高，嵌入率和峰值信噪比兩個負(fù)相關(guān)的指標(biāo)同時(shí)得到改善。

3. 3 閾值對于嵌入容量影響分析

嵌入容量是可逆信息隱藏重要的性能指標(biāo)之一，嵌入容量越大，載密圖像攜帶的信息越多。嵌入率的單位為bit/ pixel。

圖6為本算法閾值與嵌入率關(guān)系圖。當(dāng)閾值T=4時(shí)，Airplane嵌入率可達(dá)0. 8 bit/ pixel。當(dāng)閾值Tgt;12時(shí)，Barbara這類較平滑圖像嵌入率開始大于Lena。 Airplane，Girl等較平滑圖像的嵌入率在閾值較小時(shí)，嵌入率增幅較大，但隨著閾值T的增大，嵌入率增幅下降。從圖中可以看出，當(dāng)閾值T= 22時(shí)，平均嵌入率逐漸達(dá)到0. 82 bit/ pixel，Airplane和House的嵌入率可達(dá)0. 9 bit/ pixel。

3. 4 雙層嵌入率分析

由于像素冗余性，僅單層嵌入獲得的嵌入容量有限，并且由于該算法的性質(zhì)，單層嵌入率的上限為0. 5 bit/ pixel，并且由于該算法預(yù)測精度較高，嵌入秘密信息后對圖像失真度影響較小，故雙層嵌入為更優(yōu)選擇。從表2中可以看出，所有測試圖像的雙層嵌入率較單層嵌入率均有提高。

于預(yù)測精度不足，且并未充分利用所有像素，故綜合性能一般。在Lena中，當(dāng)嵌入率0. 6 bit/ pixel時(shí)，本算法較對比文獻(xiàn)平均高7. 5%。當(dāng)嵌入率0. 7 bit/ pixel時(shí)，本算法較對比文獻(xiàn)平均高7. 8%。

圖8中，本算法和對比文獻(xiàn)[10]、[19] ～ [21]在不同嵌入率下的峰值信噪比的對比。在相同嵌入率下，本算法較文獻(xiàn)[10]峰值信噪比平均提高4 dB，較文獻(xiàn)[19]平均提高2. 5 dB，較文獻(xiàn)[20]平均提高3. 5 dB，較文獻(xiàn)[21]平均提高3. 4 dB，由此可見本算法嵌入率-失真度綜合性得到改善。

4 結(jié)論

本文提出的二維有偏距離插值結(jié)合全向梯度參數(shù)并雙層嵌入的可逆信息隱藏方案，實(shí)現(xiàn)了更精確的預(yù)測，且差異化預(yù)測和雙層嵌入的機(jī)制充分利用了像素冗余性和像素間相關(guān)性，有效提升了嵌入容量并減小了載密圖像失真，在信息提取的同時(shí)保證了圖像的無損恢復(fù)，達(dá)到完全可逆。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)對比，算法預(yù)測準(zhǔn)確率均高于現(xiàn)有預(yù)測方案，并且載密圖像失真度較低，有較高的應(yīng)用價(jià)值。未來可從多方面改進(jìn)預(yù)測算法，例如引入深度學(xué)習(xí)，改進(jìn)算法等提高預(yù)測準(zhǔn)確率，并對于載密圖像安全性和秘密信息魯棒性方面進(jìn)行研究，提供更完備的性能。

參考文獻(xiàn)

1 柏森 朱桂斌 曹玉強(qiáng). 信息隱藏算法及應(yīng)用 M . 北京 國防工業(yè)出版社 2015 36.BAI S ZHU G B CAO Y Q. Information hiding algorithms an dapplications M . Beijing National Defense Industry Press 2015 36.

2 NI Z SHI Y Q ANSARI N et al. Reversible data hiding J .IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology 2006 16 3 354-362.

3 柯彥 張敏情 劉佳 等. 密文域可逆信息隱藏綜述 J . 計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2016 36 11 2772-2779.KE Y ZHANG M Q LIU J et al. Overview on reversible dat ahiding in encrypted domai n J . Journa l of Compute rApplications 2016 36 11 2772-2779.

4 RAHMAN A SULTAN K ALDHAFFERI N et al. Reversibleand fragile watermarking for medical images J . Computationa land Mathematical Methods in Medicine" 2018 20 10 1389-1396.

5 CHEN F LIU Y. Reversible data hiding using delauna ytriangulation and selective embedment J . Information Sciences 2015 38 9 2394-2402.

6 FARAGALLAH O S ELASKILY M A ALENEZI A F et al. Quadruple histogram shifting-based reversible information hidingapproach for digital images J . Multimedia Tool s an dApplications 2021 17 8 950-961.

7 YANG C H LIU S S WANG C K et al. Reversible data hidin gand image encryption in frequency domain J . IEEE Access 2018 16 5 465-474.

8 YIN Z JI Y LUO B. Reversible data hiding in JPEG images wit hmulti-objective optimization J . IEEE Transactions on Circuits an dSystems for Video Technology 2020 30 8 2343-2352.

9 PUTEAUX P PUECH W. An efficient MSB prediction-basedmethod for high-capacity reversible data hiding in encrypted images J . IEEE Transactions on Information Forensics and Security 2018 22 3 502-513.

10 熊志勇 王江晴.基于分塊最佳預(yù)測的可逆數(shù)據(jù)隱藏 J .光電子·激光 2015 26 8 1568-1574.XIONG Z Y WANG J Q. Reversible data hiding based onoptimal prediction of block J . Journal of Optoelectronics andLaser 2015 26 8 1568-1574.

11 肖紹章 張正偉 李芬芬 等.基于無損壓縮和差值擴(kuò)展的可逆圖像水印算法 J . 江蘇海洋大學(xué)學(xué)報(bào) 自然科學(xué)版 2020 29 4 817-826.XIAO S Z ZHANG Z W LI F F et al. Reversible imagewatermarking algorithm based on lossless compression anddifference expansion J . Journal of Jiangsu Ocean UniversityScience and Technology 2020 29 4 817-826.

12 OU B LI X WANG J. High-fidelity reversible data hiding basedon pixel-value-ordering and pairwise prediction-error expansion J . Journal of Visual Communication and Image Representation 2016 39 5 1356-1362.

13 JABBARI F. Adaptive multilevel technique based on histogramshifting for reversible data hiding J . Multidimensional Systemsand Signal Processing 2019 30 3 501-509.

14 頊聰 王興田 陶永鵬 等.面向位平面的自嵌入式可逆數(shù)據(jù)隱藏方法 J .小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng) 2021 42 5 1061-1065.XU C WANG X T TAO Y P et al. Self-embedded reversibledata hiding method for bit plane J . Journal of ChineseComputer Systems 2021 42 5 1061-1065.

15 CHEN K CHANG C. High-capacity reversible data hiding inencrypted images based on extended run-length coding and block-based MSB plane rearrangement J . Journal of VisualCommunication and Image Representation 2018 58 1 334-344.

16 NGUYEN TUAN D et al. An adaptive multi bit-plane imagesteganography using block data-hiding J . Multimedia Tools andApplications 2016 56 2 831-840.

17 孫樹亮 郭永寧.基于Logistic-正弦映射和雙堿基DNA編碼的圖像隱寫 J .燕山大學(xué)學(xué)報(bào) 2018 42 2 183-188.SUN S L GUO Y N. Image steganography based on improvedDNA and logistic-sine encryption J . Journal of YanshanUniversity 2018 42 2 183-188.

18 GAO G SHI Y Q. Reversible data hiding using controlledcontrast enhancement and integer wavelet transform J . IEEESignal Processing Letters 2015 22 11 2078-2082.

19 李傳目 陳和風(fēng) 曹煦暉.基于像素三元組的差值擴(kuò)展可逆圖像水印算法 J .光電子·激光 2020 31 6 634-640.LI C M CHEN H F CAO X H. R Reversible watermarkingalgorithm using difference expansion based on pixel tern ary J .Journal of Optoelectronics and Laser 2020 31 6 634-640.

20 WANG X LI X YANG B et al. Efficient generalized integetransform for reversible watermarking J . IEEE Signal ProcessingLetters 2010 17 6 567-570.

21 YI S ZHOU Y HUA Z. Reversible data hiding in encrypte dimages using adaptive block-level prediction-error expansion J . Signal Processing Image Communication 2018 2 10 178-188.

22 馬文靜 吳友情 殷趙霞.自適應(yīng)編碼的高容量密文可逆信息隱藏算法 J .軟件學(xué)報(bào) 2022 33 12 4746-4757.MA W J WU Y Q YIN Z X. High-capacity reversible dat ahiding in encrypted images using adaptive encoding J . Journalof Software 2022 33 12 4746-4757.

23 RAMPONI G. Warped distance for space-variant linear imageinterpolation J . IEEE Transactions on Image Processing 1999 8 5 629-639.

24 CHANG Q LI X ZHAO Y et al. Adaptive pairwise prediction-error expansion and multiple histograms modification for reversibl edata hiding J . IEEE Transactions on Circuits and Systems fo rVideo Technology 2021 31 12 2604-2610.

25 何玉芬 湯進(jìn) 殷兆霞.基于多對非對稱直方圖修改的可逆信息隱藏 J .應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào) 2022 40 2 253-265.HE Y F TANG J YIN Z X. Reversible data hiding based onmulti-pair asymmetric histogram modification J . Journal ofApplied Sciences 2022 40 2 253-265.

26 張翔宇 楊陽 馮國徽 等.基于多目標(biāo)優(yōu)化的加密圖像可逆信息隱藏 J .計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2022 42 6 1716-1723.ZHANG X Y YANG Y FENG G. H et al. Reversible datahiding in encrypted image based on multi-objective optimization J . Journal of Computer Applications 2022 42 6 1716-1723.

27 侯思祖 馬紅月 項(xiàng)洪印.基于改進(jìn)PVO自適應(yīng)的加密域圖像可逆信息隱藏方法 J .計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程 2021 49 10 2088-2095.HOU S Z MA H Y XIANG H Y. Reversible information hidingmethod of encrypted image based on improved PVO adaptiveembedding J . Computer amp; Digital Engineering 2021 49 10 2088-2095.

Two-level embedding reversible data hiding algorithm basedon two-dimensional biased distance interpolation

GUO Yuan1 CHAO Heng2

1. School of Computer Science and Technology Heilongjiang University Harbin Heilongjiang 150000 China"2. School of Computer and Control Engineering Qiqihar University Qiqihar Heilongjiang 161003 China

Abstract A double-layer embedding reversible information hiding scheme based on prediction error extension is proposed toaddress the issue of the inability to balance the embedding rate and distortion of encrypted images in current reversible informationhiding technologies. An improved omnidirectional gradient parameter combined with a two-dimensional biased distance interpolationalgorithm is used to divide the image pixels into two groups in a chessboard manner by the first layer of embedding. One group ofpixels is used to predict the other group of pixels and then secret information is embedded according to the prediction errorexpansion method. The second layer of embedding takes the remaining set of pixels as the target pixels and then performsprediction and embedding to further improve the embedding rate. Experimental analysis from multiple aspects such as algorithmreversibility prediction accuracy embedding capacity and carrier image distortion is conducted in this paper. The results showthat the peak signal-to-noise ratio of the restored image after double-layer embedding is ∞ and the mean square error of differenttypes of hidden image pixels and restored image pixels is 0 indicating that the algorithm can achieve completely reversible hiding.Testing different types of carrier images showed that 79% of the tested images had an average prediction error of less than 4 indicating high prediction accuracy of the algorithm. The comparison experiment of embedding rate shows that compared with otheralgorithms this algorithm has the highest embedding rate and the average improvement of double-layer embedding rate is morethan 30% compared to single-layer embedding fully utilizing pixel redundancy. When the embedding rate is 0. 7 bit/ pixel theaverage peak signal-to-noise ratio of the encrypted image and the original image in this algorithm is 39. 854 dB which is 3～5 dBhigher than similar algorithms indicating lower distortion of the encrypted image. This article also conducts analysis andcomparative experiments on the correlation between threshold and embedding rate as well as structural similarity and embeddingrate to deeply explore the conditions for obtaining high embedding rate. This algorithm can effectively solve the contradictionbetween imbalanced embedding rate and distortion of encrypted images and has better overall performance.

Keywords reversible data hiding differential prediction expansion 2-D biased distance difference omni-directional gradient two-level embedding