AANA 隨機變量序列的中心極限定理

張宇,胡宏昌,曾珍

(湖北師范學院數學與統計學院,湖北黃石　435002 )

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AANA 隨機變量序列的中心極限定理

張宇,胡宏昌,曾珍

(湖北師范學院數學與統計學院,湖北黃石435002 )

摘要：研究了漸近幾乎負相依(簡稱為AANA)隨機變量序列的漸近正態問題.在非常一般的條件下,得到了AANA序列的中心極限定理,推廣了負相依(簡稱為NA)、獨立隨機變量序列的相應結論.

關鍵詞：AANA序列;漸近正態性;中心極限定理

1　引言

由于隨機變量獨立性的假設在很多場合下不是很合適的,所以人們常常研究相依隨機變量的情形.文獻[1]中提出了如下漸近幾乎負相依隨機變量序列的概念.

定義1.1稱{Xn,n≥1}為漸近幾乎負相依(簡稱為AANA)隨機變量序列,如果存在非負序列q(n)→0(n→0) ,對任意的n,k≥1都有

其中f和g是任何兩個使上述方差存在且對每個變元均為非降的連續函數.稱{q(n)≥n},為該AANA序列的混合系數.

AANA序列是包含獨立列和NA序列的更為廣泛的隨機變量序列.顯然,若隨機變量序列是NA序列,則它們一定是AANA序列,反之不真[1].如:若令

其中η1,η2···為獨立同分布N(0,1)隨機變量, an≥0且an→0(n→∞),則{Xn,n≥1}是AANA序列,但不是NA序列.有關AANA序列的研究成果很多,文獻[1]獲得了Kolmgorov不等式和Marcinkiewcz-Zygmund強大數定律.文獻[2]指出NA序列是AANA序列,其中混合系數滿足q(n)≡0(n≥1).文獻[3]建立了AANA序列部分和最大值的Rosenthal型不等式.文獻[4]研究了AANA序列下移動平均過程的完全收斂性等.文獻[5]得到了AANA序列加權和的強大數律.

隨機變量的漸近正態性是統計學中研究的熱門問題.文獻[6]系統講述了獨立隨機變量序列的中心極限定理.文獻[7]討論了非平穩同分布NA序列的漸近正態問題.文獻[8]研究了NA誤差下EV線性回歸模型最小二乘估計的漸近正態性.文獻[9]研究了NA誤差下半參數回歸模型的漸近正態性.其它相依誤差情形見文獻[10-12]等.然而,還未曾見到有文獻研究AANA序列的漸近正態性.為此,本文研究了誤差為AANA隨機變量序列的漸近正態問題.在一般的條件下,得到了AANA序列的中心極限定理,推廣了NA隨機變量序列的相應結論.

2　主要結果

定理2.1設{Xn;n≥1}是同分布的AANA序列,滿足條件:

存在嚴格上升的自然數序列{nk} ,對某0＜α≤1滿足

則有

其中{nk}表示嚴格上升的自然數序列1≤n1＜n2＜···,記

定理2.1的條件非常一般,很容易滿足,文獻[7]中的定理2.2滿足定理2.1的條件.

推論2.1設在模型(1.1)中隨機誤差e1,e2,···,為同分布的NA序列,又滿足條件(2.1)-(2.4),則(2.5)式成立.

由于獨立序列是特殊的AANA序列,因此當誤差為獨立序列時,定理2.1仍然成立.

推論2.2設在模型（1.1）中隨機誤差e1,e2,···,為又滿足條件(2.1)-(2.4),則(2.3)成立.

3　主要結果的證明

為證定理2.1,需要如下引理.

引理3.1[3]設{Xn,n≥1}是混合系數為{q(n),n≥1}的AANA隨機變量序列, f1,f2,···全都是非降(或非增)的連續函數.則{fn(Xn),n≥1}仍是混合系數為{q(n),n≥1}的AANA隨機變量序列．

引理3.2[3]設{Xn,n≥1}是期望為0的AANA隨機變量序列,混合系數為{q(n),n≥1},則對于所有n和1＜p≤2 ,存在只依賴于p的正數Cp,使得

引理3.3[10]設X1,···,Xn為AANA變量,有EX2j＜∞,則對任何實數λj,j = 1,···,n, 有

其中C為常數.

引理3.4[11]設X1,···,Xn為相互獨立的隨機變量,有EXj= 0,并對某0＜α≤1 , 有E|Xj|2+α＜∞,j = 1,···,n.又設f : R→R且二次可微,滿足‖f′‖α≤∞則

由于定理2.1的證明很長,下面先給出其證明框架.

第一,在條件(2.2)之下,當n充分大時,有ES2n≥cn.由條件(2.3)mk/nk→0(k→∞),并且對一切充分大的k,都有mk/nk?1≤1 ,結合引理3.2可知對?ε＞0 ,有

這表明為證(2.3)式,只需證明

第二,設{Xn;n≥1}是同分布的AANA序列,有EX1= 0.0＜EX21＜∞,對j?N令

因此,由引理3.2

由EX21＜∞,立知

從而對?α＞0 ,均有

又由于

由Cauchy-Schwarz不等式及引理3.2

于是在引理3.4與(2.1)下,分別有

綜合(3.1)-(3.5)式,即知為證(2.4)式,只需證明

第三,容易證明,在定理2.1中,只要

則有

以上三點為定理的證明起到了簡化作用.

定理2.1的證明記

則{Uk;k∈N}是AANA序列.現取一個獨立隨機變量序列{Vk;k∈N},使對每個k∈N, Vk均與Uk同分布.記

由前所述,為證定理2.1,只需證明(3.6)式,亦即要對?u?R ,證明

記

由(3.7)式知,γj/mj→σ2(j→∞).因此有

又由(3.4)式知

故而

這樣一來,為證(3.8)式,只需對任何u∈R,證明

現在記

取定u∈R ,對每個ε∈(0,1] ,構造函數

使它們均三次可微,并且

(1) 0≤fε≤1,0≤gε≤1;

(2)

(3)對定理條件(2.2)中的0＜α≤1,有

其中‖.‖α的定義如下:

設f為定義在上的R函數,對0＜α≤1,定義

事實上,對ε= 1,易知滿足上述條件的函數存在,對ε= 1 ,只要令

即可.不難看出,對任何0＜ε＜1,都有

于是有

其中

因此為證(3.10)式,只需證明

下面對j = 1,2與已取定的ε＞0,證明(3.12)式.兩種情形的證法類似,故僅證j = 1的情形.

由fε(x)的性質知,

而由‖.‖α的定義及

并且有

設Gk(u)由(3.12)式定義,令

則由V1,···,,Vk之間的獨立性與Vj同Uj之間的同分布性有

由引理3.3可知及定理2.1的條件(2.4)可知,

由(3.9)式知

易見

因此,由Parsevar[12]及(3.12)、(3.13)式知,

當△k= 0時,顯然I1(k,ε) = 0;當△k≥0 ,記則由(3.12)式知

令

由（3.13）式知

由pk(t) ,qk(t)的定義知|pk(t)?qk(t)|≤2,因此

從而得

當j = 3,4時, (3.12)式的證明類似于文獻[7]中定理2.1的證明,在此略.綜上,定理2.1證畢.

參考文獻

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2015 MSC: 60F15

Central limit theorems for AANA random sequence

Zhang Yu , Hu Hongchang , Zeng Zhen
(School of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

Abstract:This paper discusses the asymptotic normality for asymptotically almost negatively associated (AANA,in short) random variables sequence. A central limit theorem for AANA random variables is obtained, and extend the corresponding conclusion of negatively associated (NA,in short) , independent random variables sequences.

Key words:asymptotically almost negatively associated sequence,asymptotic normality, central limit theorem

作者簡介：張宇(1989-),碩士生,研究方向：應用概率統計.

基金項目：國家自然科學基金(11471105,11471223);

收稿日期：2015-07-11.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.006

中圖分類號：O212.1

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0036-09