對“圓”和“相似形”編排順序的思考與教學建議

【摘 要】 “圓”和“相似形”是初中數學“圖形與幾何”領域的重要內容，現行各版本初中數學教材的編排順序不盡相同.通過比較分析國內各版本教材以及美國和日本幾何教材中這兩部分內容的編排順序，探討成因，并結合實際教學經驗，給出教學建議.

【關鍵詞】 圓;圖形與幾何;相似形;編排順序

“圓”和“相似形”（本文主要指“相似三角形”）都是初中數學“圖形與幾何”領域中的重要內容.浙教版的初中數學九年級上冊教材將“圓的基本性質”排在“相似三角形”之前.但在教學實踐中，很多老教師常常調整教學順序，先教“相似三角形”，再教“圓”.教材的編排順序是否具有普遍現象？其背后蘊著怎樣的邏輯？對學生的學習會產生怎樣的影響？

1 各版本教材比較分析

我國現行的初中數學教材主要是依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》.在編寫過程中，教材編寫者會考慮學生的認識規律和心理發展規律，并保持數學學科自身的邏輯體體系.2000年以后，教育部加大了教材編寫權的開放力度，出現了多個版本的教材，不同版本的教材在內容組織、知識結構和教學方法上存在一定差異.但是都是以“課標”為編寫依據.

由表1可知，按“相似形—圓”順序編排的教材最多，其次是按“圓—相似形”順序編排.而浙教版教材是唯一將“圓”內容拆分成兩部分，并將“相似形”排在中間.共同點是，各版本教材基本上都是將圓和相似形編排在九年級［1］.此外，三種編排方式都將“銳角三角函數”和“投影”緊隨“相似形”之后.

再比較國外教材關于這兩部分內容的編排.日本東京版［2］（2011年版）：基本屬于“相似形—圓”型編排順序，位置和我國教材大致相當.美國ML版［3］《幾何》教材也是屬于“相似形—圓”型編排.不同的是，美國這版教材把“相似形”提前到八年級上冊，緊隨“全等三角形”之后，“圓”的內容也是安排在九年級.由此可見，絕大部分教材都選擇用“相似形—圓”型編排方式.2 教材編寫依據分析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教材編寫要努力凸顯特色，積極探索教材的多樣化.”同時，課標還建議：“教材編寫應體現科學性，整體性.即整體體現課程內容；整體考慮知識之間的關聯；重要的數學概念與數學思想要體現螺旋上升的原則等.教材內容的呈現應體現數學知識的形成過程，反映數學知識的應用過程.”［4］

數學中的一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，教材在呈現相應的數學內容和思想方法時，應根據學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：初中階段“圖形與幾何”領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題.“相似三角形”是屬于“圖形的變化”主題［5］.它向上承接的是全等三角形，是全等三角形的自然延申和拓展，是從特殊的相等到一般的成比例的深化.同時，相似也是學習銳角三角函數、投影與視圖的基礎.所以說相似在“圖形與幾何”的學習中起著承上啟下的作用，它具有較廣泛的應用.由于相似三角形對學生的分析能力、理解能力、邏輯推理以及建模思想要求較高，故一般教材安排在九年級教材中，個別版本安排在八年級下冊.

而“圓”是屬于“圖形的性質”主題.它是在學習了直線圖形的有關性質的基礎上進一步研究的一種特殊的曲線圖形.圓是常見的幾何圖形之一，它具有軸對稱性和旋轉不變性，在初中數學中占有十分重要的地位.圓與其它知識的綜合性較強，能夠很好地體現幾何直觀、邏輯推理等核心素養，且在生活中有廣泛的應用，因此，一般教材將這部分內容編排在九年級.3 關于編排順序的思考

3.1 從學生的認知發展角度分析

學生從八年級的“全等”到九年級的“相似”，從特殊到一般，研究的數學思想和方法可以類比遷移，中間又經歷了特殊三角形和特殊四邊形的學習，已經積累了對圖形的豐富的感性認識、一定的邏輯推理論證能力和利用幾何模型分析解決實際問題的能力.這為相似形和圓的學習提供了堅實的知識基礎和能力基礎.九年級的“圖形和幾何”要求學生具備更高的邏輯思維能力和推理能力.把相似形和圓安排在九年級體現了螺旋式上升的編排體系，符合學生的認知發展特征.

相似三角形的概念相對比較直觀，學生更容易理解和接受.在學習相似三角形的過程中，學生逐步建立起對圖形的比例關系、相似性質等的認識，這為后續學習圓的相關知識奠定了一定的基礎.在圓的學習中，會涉及到一些與相似相關的問題，如圓與相似三角形的結合等，這樣學生能夠更好地理解和應用這些知識.

而圓的知識相對來說更加抽象，需要學生有一定的抽象思維和空間想象能力.先學習相似三角形可以幫助學生逐步提升這些能力，再學習圓時就會更加順利一些.這也是大多數教材選擇“相似形—圓”型編排順序的原因.

3.2 從數學的邏輯和連貫性分析

“圓”承接于七年級的平行線和八年級所學的三角形及特殊四邊形之后，它們都同屬于“圖形和幾何”領域的“圖形的性質”主題，從直線形到曲線形，從簡單到復雜，符合數學自身內在的邏輯體系.而“相似形”從屬于“圖形的變化主題”，能力和要求是全等三角形的延續和進階.從邏輯和連貫性角度看，“圓—相似形”編排似乎更合理些，這可能是少數教材選擇這樣編排的原因.

但是，相似三角形涉及到比例關系、相似性質等基本概念，在圓的學習中，會用到相似三角形的知識來解決一些問題，比如圓與弦、切線等相關的計算和證明.而相似三角形是研究圖形之間的關系，基本可以不涉及圓的內容.因此，“相似形—圓”型編排順序能使知識的銜接更加順暢，學生也更容易理解和掌握.另外，相似三角形的性質與圓的性質有較多的相關性，圓中涉及的相似問題較多，先學相似三角形有助于學生更好地理解圓的性質和特點.4 教學建議

基于以上的分析，如果教師所用是“圓—相似形”型編排順序的教材，可以考慮調整教學順序，即先教相似三角形再教圓.

“相似形”提前教學時要注意幾個問題：首先，要重視基礎的建立.通過生活中的實際例子或幾何圖形，向學生展示相似三角形的特點和性質，幫助他們感受相似三角形的概念;其次，教學中教師要引導學生理解相似三角形的比例關系，包括邊長之比、高度之比、面積之比等，通過比例關系來加深對相似三角形的理解;再次，應充分類比學習全等三角形的判定和性質的方法，通過引導學生主動觀察、試驗、猜想、推理驗證與交流等數學活動掌握相似三角形的判定.

在學習相似三角形之后，引入圓的相關知識，包括圓的基本性質、弧長、扇形面積等內容.結合相似三角形的概念，引導學生理解圓的直徑、半徑、圓心角、弦等要素.然后設計綜合性的練習，結合相似三角形和圓的知識，培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力，加深對概念的理解和掌握.

如果不調整順序，按照教材的編排教學，即先教圓后教相似三角形.在開始階段，要引導學生了解圓的定義、半徑、直徑、圓心角等基本概念，通過生動形象的比喻或圖象來幫助學生理解和記憶.通過圖形展示圓的特點，激發學生對圓的興趣，幫助其對圓的概念有直觀的認識.在學習完相似三角形后，應設計一些綜合性的問題.建議補充圓中的相似專題，結合相似三角形和圓的知識，培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力，以及邏輯思維和解決問題的能力.

參考文獻

［1］朱光.新課標下“浙教版”與“北師版”初中數學“空間與圖形”比較研究［D］.長春：東北師范大學，2012：18.

［2］余萍.中日初中數學教材圓和相似圖形的比較研究［D］.杭州：杭州師范大學，2018：12.

［3］田一君.中美初中幾何知識編排的比較［J］.數學教學通訊（中旬）：高中版，2016（08）：18-19.

［4］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2012：60-63.

［5］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：62-63.

作者簡介 朱光（1979—），男，浙江溫州人，碩士，中學一級教師;主要研究中學數學教學，發表論文10余篇.