立足三個過程 培養推理能力

【摘 要】 三個版本的課標都非常重視對學生推理能力的要求.《課標（2022年版）》在前兩個版本的基礎上，將推理能力從“課程內容”調整到“課程目標”中，作為初中階段數學核心素養的重要表現之一.推理能力是在推理活動的過程中形成與發展起來的.推理能力的培養應貫穿于整個數學學習過程之中，教學中要以全部課程內容作為“載體”，在各種課型中都要引導學生經歷推理活動過程.【關鍵詞】 課程標準；推理能力；課程內容；活動過程

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在“課程目標”中提出了“核心素養”的概念，并且界定了初中階段的9大核心素養表現，其中之一是推理能力.培養學生的推理能力是落實數學素養教育的需要，我們在本文首先研讀三版本對推理能力的要求，然后提出培養學生推理能力的“宏觀”作法.1 對推理能力的再認識

我國于1963年首次明確提出邏輯推理能力，之后演變成推理能力.自2000年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課標（實驗版）》）開始，國家已經發布過三個版本的課標，這三個版本的課標中都含有對“推理能力”的表述與要求.

1.1 呈現推理能力要求的“位置”

《課標（實驗版）》在“前言”的第三部分“關于學習內容”中，提出“課程內容的學習……，發展學生的……推理能力”［1］；《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在“前言”的第三部分“課程設計思路”中，提出“在數學課程中，應當發展學生的……推理能力……”［2］；《課標（2022年版）》在“課程目標”的第一部分“核心素養內涵”中，指出“數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力”［3］.由此可以得出：

（1）《課標（實驗版）》和《課標（2011年版）》都把“推理能力”放在“課程內容”中，強調的是以課程內容為“載體”培養學生的推理能力.

（2）《課標（2022年版）》把“推理能力”放在了“課程目標”中，進一步提升了對“推理能力”的要求，強調的是教學中培養推理能力是讓學生“會用數學的思維思考現實世界”的基礎，明確了推理能力有助于學生“形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養科學態度與理性精神”［3］6.

（3）從《課標（實驗版）》以后，推理能力以獨立于思維能力的形式單獨提出，成為學生數學素養的組成部分.

1.2 三個版本課標對推理能力的表述

三個版本課標對推理能力的表述，見表1.

通過認真研讀三個版本課標對“推理能力”的表述，可以得到：

（1）推理能力是學生在經歷“推理”的過程中形成與發展而來的.在數學教學中應結合學習內容，引導學生經歷推理過程，從而提高學生的推理能力.

（2）從《課標（2011年版）》的表述“演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算”中可以看出數學計算過程“實則”上就是數學推理過程.

（3）《課標（2022年版）》在《課標（2011年版）》的基礎上，明確提出了“了解代數推理”的要求.

1.3 正確認識數學推理

自《課標（2022年版）》提出“代數推理”的要求以來，很多專家、學者在刊物上發表了自己對“代數推理”的看法，對于這些“觀點”，老師們應認真研讀，深刻思考，不要盲目聽從.

《數學教育辭典》指出，數學推理就是“根據一個或幾個已知的判斷來確立一個新的數學判斷的思維形式”［4］.這里所說的“數學推理”并沒有“代數”與“幾何”之分，因此數學推理不應有“代數”與“幾何”之分.筆者認為只要是得到一個“數學判斷”的過程，就是推理.正如史寧中教授所言“數學推理就是從一個數學命題判斷到另一個數學命題判斷的思維過程”［5］.案例1 （-1）×（-1）為什么等于1？

（-1）×（-1）=1是個真命題，對于這個命題，可以用下面的方法給予證明［5］29：

0=0×（-1）（0乘任何數為0）

=［（-1）+1］×（-1）（-1與1互為相反數）

=［（-1）×（-1）］+［1×（-1）］（乘法分配律）

=［（-1）×（-1）］+（-1）（因為1×（-1）=-1）

注 上面四個等式后面括號里的楷體字是該等式成立的根據.

因為-1的相反數是1，所以（-1）×（-1）=1.

設計意圖 在有理數的運算中，有理數的乘法運算法則是個重點內容，特別是對“負負得正”的理解既是重點也是學習難點.教學中大部分教師對此也是“一帶而過”，這樣就喪失了一次引導學生理解推理過程的“機會”.為此，我們在學生學習了乘法的交換律和乘法對加法的分配律后，設計了本案例.目的在于培養學生在運算過程必須做到“步步有據”的良好品質，體驗數學的“嚴謹性”，感悟到數學是一門講“道理”的學科，這里的講理過程就是數學推理.

本例題是基于算理的運算，本質上是一種演繹推理.在數學教學過程中，不可以簡單的把運算法則理解為依附于運算的性質，而應當把運算法則理解為運算的本質.

張景中院士指出，“計算是具體的推理，推理是抽象的計算……我們可以舉些例子，讓學生慢慢體會到所謂推理，本來就是計算；到了熟能生巧的程度，計算過程可以省略了，還可以得到同樣的結果，就成了推理”［6］.

在《課標（2022年版）》提出“代數推理”之前，我們一直在進行大量的運算活動，根據張景中院士的觀點，這種運算過程就是推理.因此，“代數推理”不是“新”的推理類型，從這個意義上講，《課標（2022年版）》提出“代數推理”的概念很值得商榷.

1.4 數學推理能力的主要表現

初中階段，培養學生“推理能力”的目的，是要求學生能夠運用數學推理解決學習中遇到的問題.對應《課標（2022年版）》的解讀認為，初中階段的推理能力表現在10個方面，如“理解數學概念的定義過程，能夠利用概念定義進行簡單的推理”“感悟推理是數學學習中的一種基本活動，是理解數學和解決問題的主要方式”［7］等等.對于這10個方面，教師們要認真閱讀、反復思考，便于自己在教學實踐中更加有效的培養學生的推理能力，從而提高學生的數學核心素養.

2 培養推理能力的三個主要過程

《課標（2011年版）》指出“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中”［2］6.這就要求我們應以“數與代數”“圖形與結合”“統計與概率”三個領域的課程內容為載體，在新知識的學習、探究以及開展“綜合與實踐”活動的過程中，始終要注重培養學生的數學推理能力.

從數學化的角度看，數學學習主要包含兩大方面的任務：一是探究新的數學知識；二是應用數學知識解決問題［8］.在完成這兩方面任務的同時，學生的推理能將得到培養和提高.因此，從培養學生推理能力的角度看，我們應立足于下面的三個活動過程.

2.1 概念的建立過程

數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關系本質屬性的思維形式，是構成教材的基本單位，是“四基”的核心，數學知識幾乎都是概念.《課標（2022年版）》界定的初中學段的課程內容中，約有400個概念教學，概念的教學是數學教學中不可或缺的重要組織部分.每一個數學概念都是千錘百煉的結果.數學概念構成了一個相對完整的邏輯體系，概念之間不僅建立了各種邏輯聯系，形成各種相關的命題，而且正是這種多元聯系，使得概念的表征具有多樣化［9］.

數學概念課的學習屬于新授課，幾乎每一節新授課都涉及數學概念，因此一定要重視數學概念課的教學，在引導學生經歷數學概念的建立過程中培養學生的推理能力.

案例2 銳角三角比概念的建立過程.

“銳角三角比”是青島版九上第二章“解直角三角形”第一節的內容，本節課依次給出了正弦、余弦和正切的概念，最后給出銳角三角比的概念.在概念建立過程中，應實現下面的目標：

【學習目標】

（1）引導學生在經歷實驗、觀察、探究、交流、猜測等活動的過程中，探索銳角三角比的意義，發展學生的推理能力并積累學生基本的數學活動經驗.

（2）了解直角三角形中銳角的正弦、余弦、正切的概念，認識銳角三角比sinA，cosA，tanA的符號，發展學生的符號意識.

為了在建立銳角三角比概念的過程中，培養學生的推理能力，設計了下面三個環節：

【問題情境】

用木板構造定角∠A（圖1），用表2給出四組數據.

表2 木板上的點到點A以及到地面的距離木板上的點到A點的距離/m距地面的高度/mB11.500.75B21.200.60B31.000.50B40.800.40

【探究發現】

（1）計算五個比值：BCAB，B1C1AB1，B2C2AB2，B3C3AB3，B4C4AB4，有何發現？

【猜想證明】

（2）在任意銳角A的一邊上任取兩個點B與B′，向∠A的另一邊作垂線，垂足為C與C′（如圖2），猜測BCAB與B′C′AB′的關系，證明你的猜想.

（3）如圖2，比值B′C′AB′的大小與點B′在AB邊上的位置有關嗎？

（4）如圖3，以A為端點，在銳角A的內部（或外部）作一條射線，在這條射線上取點B″，使AB″=AB′，這樣又得到了一個銳角∠B″AC.過B″作B″C″⊥AC，垂足為點C″.比值B′C′AB′與B″C″AB″相等嗎？由此你能得到什么的結論？

設計意圖 本設計分為“問題情境—探究發現—猜想證明”三個環節，在“問題情境”環節，用貼近學生現實的材料激發學生的學習積極性.在“探究發現”環節，學生根據表中的數據通過計算發現：當∠A的大小不變，木板上任意一點距地面的高度與該點到A點的距離之比都等于同一個常數12.在學生通過計算得到問題（1）的結論后，為了得到一般化的結論，我們又設計了三個小問題，用“猜想證明”給出，對于問題（2），大部分學生都能得到BCAB=B′C′AB′的結論，并且給出下面的證明：因為∠A=∠A，∠BCA=∠B′C′A=90°，所以Rt△ABC∽Rt△AB′C′，因此BCAB=B′C′AB′.在學生得到這個結論后，教師鼓勵學生用自己的語言表述一般性結論，學生思考、交流后概括到“當銳角A的大小確定時，銳角A的對邊與斜邊的比值是不變的”.這種設計意在為后面引出銳角三角比概念打下“伏筆”，降低了學生理解的“難度”.對于問題（4），學生容易得到B′C′AB′≠B″C″AB″.證明如下：假設B′C′AB′=B″C″AB″因為AB″=AB′，所以B″C″=B′C′，于是Rt△AB″C″≌Rt△AB′C′，則∠B′AC′=∠B″AC″，這與題意矛盾.

由此，學生得到下面的認知：在Rt△ABC中，銳角A的對邊與斜邊的比值與銳角A的大小有關，對于Rt△ABC中的每一個銳角A都有唯一確定的比值與之對應.這個唯一確定的比值就是一個新的知識，這時給出定義的時機已經成熟，于是給出∠A的正弦概念.

在建立銳角A的正弦的過程中，由問題（3）（4）得到的兩個結論至關重要，學生在獲得這兩個結論的過程中，經歷了兩次證明過程，既有熟悉的證明方法，也有用的較少的證明方法（反證法）.可見，銳角三角比概念的建立過程促進了學生推理能力的提高.

2.2 數學探究過程

《課標（2022年版）》在解釋“三會”的培養目標中多次強調“探究”，如“形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發展創新意識”［3］5“能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，進行數學探究”［3］5“能夠探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律”［3］6等等.

數學探究就是學生在教師精心設計好的問題啟發引導下，以自主學習或合作討論的方式為主，以解決問題為探究內容的學習活動［10］.

在數學學習中，結合學習內容引導學生開展數學探究活動，能逐漸形成“運用數學的思維方式進行思考”的習慣，不斷“增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，這些基本素養都是學生“三會”的重要基礎.案例3 根與系數關系的探究過程.

【學習目標】

（1）了解一元二次方程ax2+bx+c=0根與系數的關系；

（2）讓學生經歷觀察、計算、猜想、交流、證明等推導根與系數關系的活動過程，豐富學生的數學活動經驗，發展推理能力，進一步培養學生的符號意識和創新意識.

為了實現上述目標，我們用下面的問題系列引導學生自主探索：

【計算填表】

（1）解下面的一元二次方程，并把結果填寫在表3中的二、三兩列：

①x2-3x+2=0;②x2-x-6=0;③3x2+x-2=0;④2x2-5x-3=0.

（2）分別計算每個方程的兩根之和與兩根之積，并把結果填到表3中的第四、五兩列.

【觀察思考】

（3）觀察表3中的第四、五兩列，方程①②的兩根之和與兩根之積的值分別與相應方程的系數之間有怎樣的關系？x2-9=0具有這種關系嗎？

（4）方程③④也有這種關系嗎？

【猜想證明】

（5）猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根x1，x2與方程的系數a，b，c之間有什么關系？你能證明你的猜想嗎？相互交流.

（6）用自己的語言表達上述規律.

設計意圖 《課標（2022年版）》對于“一元二次方程根與系數關系”的要求并不高，用的是“了解”.教材將本內容安排在“公式法解一元二次方程”的后面，根據ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，可以得到x1=－b+b2－4ac2a，x2=－b－b2－4ac2a.在此基礎上通過直接計算得到x1+x2=－ba，x1x2=ca.這就是“根與系數的關系”，具有這個關系的前提是方程有兩個實數根.教學中如果直接這樣講授就“喪失”了培養學生推理能力的大好機會，不利于學生核心素養的形成與發展.

因此，我們設計了本案例.本案例含有“計算填表—觀察思考—猜想證明”三個環節，共設計了六個小問題.對于“計算填表”環節中的兩個小問題，全體學生都能正確解答.“觀察思考”環節的目的在于讓學生通過觀察表格，發現規律，抽象出一般性的結論，為下一個環節作好“鋪墊”.其中問題（3）是關鍵，教學中教師要舍得在這個問題上下功夫，力爭讓全體學生都能得到這個發現.在學生得到問題（3）的規律后，教師鼓勵學生從觀察方程③④與方程①②的二次項系數入手，引導學生自主解答問題（4）.“猜想證明”環節中問題（5）意在讓學生經歷合情推理與演繹推理活動，由特殊到一般的探索出一元二次方程根與系數的關系，在經歷“根與系數關系”的產生過程中感悟數學的思維方式，積累數學活動經驗，激發學生的創新意識.學生經過前面兩個環節的學習，很容易猜想到x1+x2=－ba，x1x2=ca并給出證明.問題（6）的目的在于培養學生的語言表達能力.這個案例對學生的“三會”都有積極的教育教學價值.

從“推理能力”的角度看，“觀察思考”環節培養了學生的合情推理能力，而“猜想證明”環節培養了學生的演繹推理能力，這個過程是標準的“三段論”，與幾何證明過程是相同的，教學中教師要向學生講清楚.

在學習“圖形與幾何”領域的課程內容時，經常伴隨著推理活動，本領域課程內容是培養學生推理能力的主要載體；在學習“統計與概率”領域的課程內容時，要利用好各種數據，在“能解釋數據分析的結果，能根據結果作出簡單的判斷和預測”等過程中培養學生的統計推理能力；在利用“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”領域的知識開展“綜合與實踐”活動的過程中，始終伴隨著學生的“說理”與“推理”活動，這都是培養學生推理的重要過程.

2.3 應用數學知識解決問題的過程

《課標（2022年版）》在“總目標”中要求，“在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”［1］11.學生在“分析問題和解決問題”的同時，既需要學生的推理能力，也能進一步提升學生的推理能力.

案例4 比較概率大小.

如圖4，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的某一點上．若小球停在陰影部分的概率為P1，停在空白部分的概率為P2，試判斷P1與P2的大小.

析解 如圖5，連接AE，BD交于點O，由題意可得A，B，E，D分別是正方形四條邊的中點，所以點O為正方形的中心，所以S四邊形AOBF=S四邊形AODC.

因為扇形OAB的面積等于扇形CAD的面積，

所以S四邊形AOBF-S扇形OAB=S四邊形AODC-S扇形CAD，

所以陰影部分的面積等于空白部分的面積，從而得到陰影部分的面積等于大正方形面積的一半，所以P1=P2.

設計意圖 關于隨機事件的概率，《課標（2022年版）》的要求是“能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定隨機事件發生的所有可能結果，了解隨機事件的概率”［1］75.我們在學生會計算簡單隨機事件的基礎上，設計了這個問題.本題是判斷幾何概率大小的問題，解答的關鍵是正確計算出空白部分和陰影部分的面積.主要考查了學生的計算能力，同時也進一步培養了學生的運算能力和推理能力.3 結束語

培養學生的推理能力是發展學生核心素養的需要，我們在數學教學中，不論學習哪一個領域的課程內容，也不論在怎樣的“課型”中，都要精心設計問題系列，以此引導學生經歷各種各樣的“過程”，在“過程”中培養、發展學生的推理能力，從而不斷提高學生的數學核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：實驗稿［M］.北京：北京師范大學出版社，2001：4.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2012：5.

［3］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：6.

［4］王恩大.數學教育辭典［M］.山東教育出版社，1991：455.

［5］史寧中.數學基本思想18講［M］．北京：北京師范大學出版社，2016：119.

［6］張景中.張景中教育數學文選［M］.上海：華東師大出版社，2021：563.

［7］史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程課標（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：75-76.

［8］李樹臣.正確認識核心素養 強化核心素養教學［J］.中學數學雜志，2018（02）：4-8.

［9］鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之五：推理能力［J］.中國數學教育，2022（10）：3-11.

［10］李樹臣.積極開展探究活動，提高學生核心素養［J］.中國數學教育，2017（7-8）：14-20.作者簡介

李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學正高級教師；臨沂大學學生學業導師，山東省教育科研先進個人、山東省創新教育先進個人、三次獲山東省教學成果獎、全國義務教育初中數學教材（青島版）的核心作者、分冊主編、中國人民大學《初中數學教與學》編委、湖北大學《中學數學》特約編委.