浮動基多機協調吊運系統的動力學建模與仿真

趙志剛，趙祥堂，蘇程，孟佳東，衛啟哲

（蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070）

海洋不僅擁有豐富的資源，而且還為國家間的經濟交流提供了一條便捷的通道，海洋資源的開采、工程建設及海上救援等作業顯得越來越重要。由于傳統的船用起重機在效率、負載能力和安全性等方面都無法滿足海上吊運作業日益增長的工作要求，研究者提出將柔索并聯機器人與船用起重機結合成一種新的吊運裝備，即由多臺小負載吊運機器人組成，且能夠在海上作業的多機協調并聯吊運系統［1］。該系統具有可重構性、承載能力強和工作空間大等優點，適合海上空曠的作業環境，且能夠根據所需承載靈活調整機器人的數量。

國內外研究人員針對不同的應用場合設計了不同類型的多機器人協調吊運系統，其吊運機器人通常是空中無人機或固定在地面的吊運機械臂，其理論研究已有成熟的體系，并且在實際工程應用中發揮了巨大作用。但水面漂浮式多機協調吊運系統作為一個較新的研究方向，僅有少數學者對浮動環境下繩驅動并聯機器人做了初步研究［2］。浮動基多機器人協調吊運系統作為一種較新的多機器人系統，其動力學分析不僅要考慮繩牽引并聯吊運系統的動力學和運動學，還要考慮浮動基的動力學，并將二者結合起來得到整個系統的動力學方程組，因此動力學模型的建立成為該系統的難點和重點。

繩牽引并聯吊運系統的動力學研究參照了固定基和空中繩牽引并聯機構的相關研究。對于空中多機協調吊運系統，趙志剛等［2-3］研究了系統的負載分配問題和系統的運動學和動力學。Jiang 等［4-5］建立了多無人機吊運系統的逆運動學模型對其動力學和逆運動學進行了分析。針對固定基多機協調吊運系統，Wang 等［6-7］通過3 臺直角坐標機器人與3 條柔索協調控制被吊物的位置與姿態，對系統的布局、柔索張力及穩定性進行了分析，并且利用實體實驗證實了理論分析的結果。Pham 等［8］使用牛頓-歐拉方程建立了平面繩驅動機器人的動力學模型。Pott［9］對建立繩牽引并聯機器人動力學模型的各種方法進行了匯總并分析了各方法的特點。Zi 等［10］對起重機末端位置不變情況下3個起重機聯合吊運重物的運動學和動力學進行了建模。

對于浮動基機械臂部分的動力學分析則參照了海上平臺的研究。Horoub［11］等對一種類Stewart 平臺的繩索式海上平臺在簡諧水波作用下的工作空間以及繩索分布對工作空間的影響進行了研究。Chandrasekaran［12］利用蒙特卡羅方法模擬了波浪，計算了海上浮式結構的波浪力，研究了平臺在波浪作用下的動力響應。董艷秋等［13］使用矢量力學原理推導了吊運系統的動力學方程，并探討了在波浪中被吊物的位移和柔索張力的變化。毛垚飛等［14］研究了由雙起重船構成的浮吊系統，分析了波浪和吊運速度對被吊運物晃動的影響。值得指出的是，現有的研究一般只考慮了起重平臺對吊物系統的影響，但是吊物系統對平臺的影響卻研究的很少，未考慮起重平臺的運動規律和在波浪中的穩定性。

本文首先建立了三繩索浮動基多機器人協調吊運系統的空間模型，并利用坐標變換法分析了系統的運動學。然后根據剛體動力學和流體力學分別建立了吊物系統和浮動基機械臂的動力學模型。最后通過空間坐標系的轉換關系，聯合浮動基機械臂和吊物系統的動力學方程，得到了浮動基多機協調吊運系統的動力學模型，并分析了系統包含運動學的動力學問題。

1 系統構型和運動學建模

1.1 系統構型

圖1 為擬研究的浮動基多機協調吊運系統的空間構型，系統由浮動基座、機械臂、繩牽引并聯吊物系統（柔索和負載）組成。機械臂采用三自由度關節型機械臂，連桿1可繞z軸轉動，連桿2和連桿3可以繞其關節上下轉動，3臺機械臂分別固定在3個浮動基座上構成浮動基機械臂。吊運過程中，可以改變浮動基座和機械臂末端的位置以及柔索長度使負載按照期望的軌跡運動，柔索的變化由吊機末端的驅動裝置進行操縱。

圖1 浮動基多機協調吊運系統空間構型Fig.1 Structure of the floating multi-robots coordinated towing system

結合系統空間結構設定下列坐標系。取水平面上一點建立慣性坐標系{O}，在浮基的質心處建立坐標系{Osi}，在機械臂底部建立坐標系{Oi}，在負載中心建立坐標系{O g}。機械臂的桿長為(ai1,ai2,ai3)，轉角為(θi1,θi2,θi3)，機械臂末端與柔索的連接點記為Pi，柔索與負載的連接點記為bi，柔索的位置矢量記為Li。由于整個系統由3 臺吊機組成，故i=1,2,3。

由于實際的吊運系統結構復雜，在進行分析時需要作如下假定：

1）浮基為質量均勻的剛體，不考慮各自由度之間的耦合作用；假設負載為質量均勻的剛體。

2）作用在浮基上的波是線性規則波，暫時不考慮波浪非線性效應的影響。

3）機械臂結構剛度足夠強，暫不考慮機械臂受力后的彈性振動與形變。繩索受力時將其視為剛體，忽略其彈性形變以及質量。

1.2 浮動基機械臂的運動學模型

圖2為浮動基機械臂的結構簡圖，假設3臺浮動基機械臂結構相同，選擇其中一臺為例進行運動學建模。利用卡爾丹角來表示浮基的運動，浮基繞3個坐標軸的旋轉(αi,βi,γi) 表示浮基的橫搖、縱搖和回轉運動。浮基在空間內的位置(xsi,ysi,zsi)表示它的橫向、縱向和垂向運動。

圖2 浮動基機械臂結構Fig.2 Structure diagram of floating robot

在機械臂坐標系{Oi} 中，吊機末端的齊次坐標為：

式中：si1、si2、si3和ci1、ci2、ci3為機械臂3 個關節角的正弦值和余弦值；ai1、ai2、ai3為機械臂的桿長。

在慣性坐標系{O}中，吊機末端的齊次坐標為：

式中：R*為機械臂坐標系{Oi} 與浮基坐標系{Osi} 間的變換矩陣；R為浮基坐標系{Osi} 和慣性坐標系{O} 間的變換矩陣。

在慣性坐標系{O}中，聯立式（1）和式（2）可求出吊機末端和浮基之間的運動關系。

1.3 吊物系統的運動學模型

在慣性坐標系{O}中，機械臂與柔索連接點的位置為Pi(xPi,yPi,zPi)，負載與柔索連接點的位置為Bi(xBi,yBi,zBi)，負載質心的位置向量為r=[x y z]T。在負載坐標系{Og}中，負載與柔索連接點的位置為bi，則可得關系式：

式中：RG為負載坐標系{Og}相對于慣性坐標系{O}的旋轉變換矩陣：

式中：s為sin函數，c為cos函數。

由Pi和Bi得到繩長為：

根據浮基和機械臂的運動規律，聯立求解式（1）～（5），可以得到吊機末端坐標(xpi,ypi,zpi)、實時繩長Li、柔索連接點坐標(xbi,ybi,zbi) 和負載位置(xq,yq,zq)的關系式，即吊運系統的運動學方程。

2 系統動力學建模

由于柔索只能對負載實施單向張力約束對控制柔索式多機協調吊運系統增加了難度，因此建立正確的系統動力學模型是研究浮動基多機協調吊運系統動力學特性的前提。浮動基多機協調吊運系統由繩牽引并聯吊物系統和浮動基機械臂兩部分組成，分別建立這兩部分的動力學方程，并將其聯合得到浮動基多機協調吊運系統的動力學模型。

2.1 浮動基機械臂的動力學模型

浮動基機械臂由固定在浮動基座上的關節型機械臂構成，分析動力學時將浮動基和機械臂作為同一個剛體進行分析，且忽略機械臂位姿變化對浮動基位姿的影響。浮動基受到浮力的影響，其位姿與浮動基機械臂受到的繩拉力相關，而浮動基的位姿又與機械臂末端位置有關，因此還需要對浮動基機械臂的動力學進行分析。通過分析機械臂的關節力/力矩，將浮動基機械臂和繩牽引并聯吊物系統的動力學聯立。

2.1.1 機械臂關節力/力矩分析

吊物系統的柔索外力和機械臂內力會轉化為作用于浮基的力/力矩，在吊運過程中可能會導致浮基傾覆，因此分析并驗證在靜態受力情況下機械臂關節上的約束力/力矩很有必要。

本節應用牛頓-歐拉迭代動力學方程［15］，計算吊機末端受到的柔索拉力傳遞到浮基上的力/力矩。以關節1 為例，分析作用在機械臂關節處的力與力矩，其表達式為：

式中：Mg1、vMm1、aMm1和分別為由機械臂所有連桿的質量、關節角速度、關節角加速度和機械臂末端柔索拉力引起的約束力與力矩［15］。

在靜態受力情況下，機械臂各個關節角速度與角加速度均為零，關節1 受到由機械臂連桿引起的約束力和力矩。運用ADAMS軟件對機械臂在靜態受力情況下的動力學進行仿真。仿真結果表明：根據建立的動力學方程式（6）得到的關節1 上的約束力/力矩與ADAMS 軟件的仿真結果一致，證明了方程的正確性。

2.1.2 浮動基的動力學模型

根據分離建模的思想［16］，將整個浮式吊運系統受到的干擾力（矩）作為外力附加到浮基運動數學模型上。按照物理意義分解為流場對浮基的作用力、機械臂對浮基的作用力和吊物系統對浮基的作用力。

嚴格來說，應該分析浮基在波浪中的六自由度運動。然而，隨著自由度的增加，分析問題的難度也會加大。最簡單的方法是研究浮基的升沉運動，即在波浪擾動力Fw的作用下，建立浮基在波浪力（波浪激勵力和輻射力）、靜水恢復力和阻尼力等其他載荷聯合作用下的運動方程為：

式中：Mzz=mG+λzz；Czz=ρSw；mG為浮基質量；λzz為附加質量系數；為沿Z向的加速度；ρ為水的密度；Sw為水線面面積；NZZ為阻尼系數；Fzz和Tzz分別為浮基所受波浪擾動力和柔索張力在Z向的分力。

類似地可以按照上述假設及方法建立其余自由度上的運動微分方程為：

式中：M、N、C、F和T（M）依次為慣性力、阻尼力、恢復力、波浪擾動力和吊物系統對浮基的作用力（力矩）系數，它們的下標為所在自由度。

2.2 吊物系統的動力學模型

圖3 為吊物系統的結構簡圖。為方便推導重新建立坐標系，將機械臂坐標系視為慣性坐標系，并將吊物系統模型簡化為球擺模型。其中點P為吊點（機械臂的末端點），點Q代表負載，柔索長度為l。

圖3 吊物系統示意Fig.3 Diagram of the towing system

吊物系統中柔索的位置利用面內角θx和面外角θy來定位。假設初始狀態柔索與z軸平行，負載由狀態1至狀態2的運動過程中，柔索繞P點旋轉了θx；當負載由狀態2 至狀態3 的運動過程中，柔索繞P點旋轉了θy。則負載的位置可以表示為：

式中：m為負載質量；T為柔索的動張力。

對式（10）整理后得到：

式（11）和式（12）即為以θx、θy為廣義變量的球擺模型的運動方程組。對式（10）整理后得到柔索張力表達式為：

3 動力學分析與求解

系統的動力學分析就是在運動學的基礎上，根據已知機構所受的外力，計算目標機構所受的約束力以及求解機構的運動。系統動力學的研究和運動學研究相類似，也分為正向逆向動力學問題。

令負載的位姿向量為VP=[xq,yq,zq,θx,θy]T，各機械臂關節角和繩長變量組成的向量定義為VJ=[θi1,θi2,θi3,Li]T，浮動基的運動變量組成的向量定義為VM=[xsi,ysi,zsi,αi,βi,γi]T。

3.1 正向動力學分析

正動力學問題為已知系統的關節變量，將浮基的運動視為激勵，再將這一激勵傳遞到吊物系統中，求解負載的運動。故正動力學問題可以簡化為：當浮動基在特定運動狀態VM下，已知系統的關節向量VJ，求解柔索拉力向量T和負載的位姿向量VP。詳細求解步驟為：

1）已知系統結構參數和空間布局，給定浮基的運動規律VM和機械臂的運動狀態VJ。假設負載的初始位置為(40,23,22)，吊運的目標位置為(40,23,30)，以吊物系統最大動力響應為切入點，將浮基的運動視為基座激勵施加在吊機末端。

由于系統的空間相對位置可依據不同的應用場景進行實時設計，每臺浮動基機械臂隨波浪產生的運動各不相同。基于前人對非線性系統的相關研究［17］，假設浮基處于規則波環境中，吊機末端受到的激勵為：

2）根據吊物系統動力學模型的推導過程，聯合式（11）和式（12）求解得到負載的擺動角θx和θy，然后求解式（13）獲得柔索的動張力T。

3）由吊機末端在慣性坐標系中的運動軌跡和浮基的運動規律，利用式（1）和式（2）可以求出吊機末端的位置(xpi,ypi,zpi)，再將吊機末端位置代入式（9）得到負載的位置(x q,yq,zq)。

3.2 逆向動力學分析

逆動力學問題為已知系統的關節變量，將負載的擺動視為吊機末端的激勵，再將這一激勵傳遞到浮基上，求解浮基的運動。故逆動力學問題可以簡化為：當負載在特定運動狀態VP下，已知系統的關節向量VJ，求解機械臂各關節的約束力和浮動基的運動狀態VM。詳細求解步驟為：

1）已知系統結構參數和空間布局，根據負載的期望運動軌跡，即負載經過60 s 的上升后靜止在期望位置，且上升過程中的運動軌跡為光滑曲線。假設負載的期望運動軌跡為：

取負載的空間位置(x q,yq,zq)和擺角θx、θy的最大值作為輸入，求解式（13）獲得柔索的張力T。

2）根據柔索張力和柔索的空間位置，將柔索張力在慣性坐標系上3 個方向的分量TX、TY、TZ與浮動基機械臂任意時刻的空間位置結合，由式（6）可求得機械臂關節1上的作用力和力矩。

3）將吊物系統對浮基的作用力Txx、Ty、yTzz和力矩Mθθ、Mφφ、Mψψ代入式（7）和（8），利用四階龍格庫塔法求解浮基的運動規律VM。

4 數值仿真分析

為了驗證前述動力學方程的合理性，對系統進行數值仿真分析。設定浮動機械臂的初始參數，其中浮動基座的構型參數為：L=10 m、W=3 m、H=4 m。機械臂的初始構型參數為：ai1=15 m、ai2=20 m、ai3=20 m、xi=0 m、yi=0 m、zi=2 m。3 臺浮動基機械臂在空間中的位置為品字形正三角形結構。浮動機械臂靜止于水面時浮基吃水深度為2 m，吃水量為1.0 × 105kg，流體密度ρ=在波浪工況下，選擇三級海況作為系統工作時的外部環境條件，波速波高為2 m，波長為10 m，浪向角0。吊運系統參數如表1所示。

表1 系統參數Table 1 Parameters of system

吊運系統的工作過程可以分為2個階段：第1個階段為0～60 s，3 條柔索均以0.05 m/s的速度勻速收縮；第2 個階段為60～120 s，系統進入自平衡階段，柔索收縮速度及機械臂關節角轉速均為0。

在實際工況中，浮動基座內通常都配備了動力定位系統，用來控制浮基的橫蕩、縱蕩和回轉三自由度運動，可以抵消浮基的基座擾動。分別以系統的正向動力學和逆向動力學問題為研究對象，在波浪作用下對浮基、負載和柔索的運動進行了時域仿真分析。為了清楚地看到時域響應的傳遞過程，只截取了一段有代表性的時域響應曲線，仿真結果如圖4～8所示。

圖4 負載位移Fig.4 Displacement of load

4.1 正向動力學的仿真

在起吊過程中柔索勻速收縮，由于負載運動會受到浮基運動的影響，負載變速上升。而當柔索停止收縮時，負載隨著浮基的運動而運動，但在考慮波浪擾動時，由于柔索張力的往復變化，導致吊物的擺動加劇。從圖4 可以看出，最終Z向平衡位置為30.18 m，X和Y方向偏離平衡位置的最大距離分別為0.76 m和0.53 m。在給定激勵頻率的條件下可以得出負載的面內角和面外角，由圖5可以看出面外角與面內角的變化趨勢不同，對面內角而言，在吊運的過程中擺動先增大后減小，沒有規律可循，最大擺角不超過1.1°；對面外角而言，可以看出初始階段擺動迅速增大，隨后面外角有逐漸減小的趨勢，呈現周期性變化。在系統自平衡階段，面內角遠大于面外角。

柔索的動張力曲線如圖6 所示，隨著柔索收縮，柔索張力不斷增加；由于浮基和吊物系統的相互影響，系統內能量不斷抵消，張力曲線更加平穩。當柔索停止收縮時，浮基進入自平衡衰減狀態，吊運系統并未出現失效。

圖6 柔索張力Fig.6 Tension of cable

4.2 逆向動力學的仿真

圖7 和圖8 分別是浮基的線位移和角位移的變化曲線。從圖7 可以看出，浮基在流體的垂向升力和浮力的作用下會造成較大的橫向和垂向位移，但橫向位移在短時間內會趨于平穩，垂向位移由于水流渦激升力的原因會長時間往復振動。最終平衡時，Y方向的位移達到 0.43 m，Z方向的位移達到0.12 m。由圖8 可以看出，在起吊前橫搖運動幅值較小，而在起吊過程中，浮基橫搖運動幅值急劇增大。當柔索停止收縮時，浮基的運動逐漸過渡到簡諧運動。浮基的橫向位移最大為0.72 m，橫搖角度最大為24°，這給負載的吊運帶來了很大的困難。

圖7 浮基線位移Fig.7 Displacement of floating foundation

圖8 浮基角位移Fig.8 Angle displacement of floating foundation

5 結論

1）目前，大多數的船用起重機屬于回轉旋臂式起重機。本文將工業機器人和起重系統二者結合，提出一種浮動基多機協調吊運系統，它不但具備機器人的結構特點而且還具有起重機的工作方式，同時也為海上吊運設備的研究提供了思路。

2）浮動基座、機械臂和吊物系統三者組成復雜的動力學系統，利用動力學和流體力學理論分別建立了吊物系統和浮動基機械臂的動力學模型。通過2種方法的組合使用解決了剛柔耦合機器人系統自由度太多、難以采用傳統單一方法建立動力學模型的問題。

3）現有的研究一般只考慮了起重平臺對吊物系統的影響，但是吊物系統對起重平臺的影響卻研究的很少，未考慮起重平臺在波浪中的運動規律。通過正逆動力學分析很好地解決了這個問題。

4）本文在進行數值計算時，并未考慮吊運過程中造成的負載擺動與浮基運動引起的負載擺動是相互耦合的，這與海上實際有一定差距，需要在以后的研究中加以改進，并進一步開展負載的防擺控制研究。