分數階控制伺服電動機實驗演示平臺設計

程國揚， 賀名揚

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350108）

0 引言

當前大學工科教育改革的一個核心導向是深化科教融合和產教融合［1-3］。在設置專業課程的教學內容時，要及時納入學科領域的前沿技術，引導學生把前沿技術付諸實踐、解決實際問題，加快先進技術向現實生產力的轉化過程，這對促進經濟發展、實現科教興國具有重要的意義［4-6］。

在控制工程領域，最近一個重大進展就是分數階建模和控制技術［7-9］。這種技術可用于提高伺服系統的跟蹤性能［10-11］。分數階微積分可看成是對整數階微積分的推廣。由于其概念抽象（不像整數階微積分具有清晰的物理涵義，如：位置、速度、加速度）和計算的復雜性，分數階微積分的發展一直較為緩慢，且局限在純數學的領域。一些學者發現采用分數階導數對一些復雜的過程進行建模，能更準確和細致地描述系統的動態特性，特別是一些具有記憶特性的過程對象；Oustaloup等［12］提出分數階魯棒控制的概念與技術，并應用于汽車懸架控制；Podlubny［13］提出分數階比例-微分-積分（Proportional-integral-derivative，PID）控制器的模型，作為對目前工業控制中廣泛應用的PID 控制技術的一個推廣。分數階控制已成為控制領域的一個熱門研究方向。由于其算法實現的復雜性，在工程應用方面相對滯后。

為向自動化專業本科生和控制類的研究生介紹分數階控制技術，設計了一個基于永磁交流伺服電動機的分數階控制系統實驗平臺，分別實現了目前主流的幾種控制算法，即分數階PID、分數階自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）和分數階滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）。通過數字信號處理器（Digital Signal Processor，DSP）的算法編程，對電動機進行速度調節或點位伺服控制。通過實驗平臺的運行，學習分數階控制技術的具體應用。鑒于伺服電動機是構成工業自動化系統的核心器件，伺服控制的快速性與準確性對生產效率和產品精度（質量）有直接的影響，在既定的硬件系統之上，引入先進的控制技術，使伺服性能得到顯著的提升，充分體現了人的主觀能動性和先進理論方法的價值，能給人帶來一種成就感。這種實踐對提高學生的學習積極性和專業認同感大有益處。

本文將對分數階控制技術的伺服電動機實驗示范平臺的具體設計加以介紹，并通過實驗測試結果，展示其應用方法和控制效果。

1 分數階控制器的設計

1.1 分數階微積分

分數階微積分算子t0Dαt是對整數階微積分的擴展［9］

式中：f（t）為自變量t的函數；t0與t分別為自變量的下界（初始值，t0＝0 時可省略不寫）和當前值；實數α是微分／積分的階次。在復頻域，分數階算子可表示為sα。

分數階微積分的定義（計算法則）有多種形式，在控制領域應用較多的分別是Grunwald-Letnikov（G-L）定義、Riemann-Liouville（R-L）定義和Caputo 定義，這3 種定義在適當的條件下是等價的。本文采用G-L定義：

式中：h為計算的步長；［·］為取最接近的整數；是二項式系數

式中，Γ（·）是Gamma 函數，定義為：Γ（γ）＝。如果計算步長足夠小，式（2）的計算可近似為

式中，wk＝，可按以下方式遞推計算：

在實時控制中，式（4）的計算只能采用有限項求和（截斷），隨著時間的推移，可能帶來嚴重的誤差。為避免這個問題，可采用Oustaloup提出的整數階濾波器，在選定的頻域區間［ωb，ωh］內用一個N階線性濾波器來近似擬合分數階微積分算子t0Dαt的頻率響應特性［9］：

1.2 分數階PID控制

分數階PID 控制器在控制領域中受到廣泛關注［13］。其傳遞函數

由于此控制律PIλDμ比常規PID多了2 個可調參數，即微分階次μ和積分階次λ（0 ＜λ，μ ＜2），因而增強了控制器設計的靈活性，可獲得更好的控制性能和魯棒性。對一階系統（如電動機速度伺服系統），通常采用分數階PI控制已足夠。考慮如下的一階系統：

式中，a≥0 和b＞0 是模型參數。采用如下的分數階PI控制律：

其對應的頻域響應

控制系統的開環傳遞函數為G（s）＝C（s）P（s），對應的頻域響應為G（jω）＝C（jω）P（jω）。控制律設計要滿足以下準則：相角裕度為φm；在截止頻率ωc附近相頻曲線平坦（即其導數為0），以保證控制系統的增益魯棒性。于是得到［8］：

由式（11）可解得：

由式（12）可得：

聯立式（14）、（15）可確定ki和λ 的值，但因為它們是非線性耦合方程，難以得到解析解，可借助Matlab采用圖解法來得到其數值解。

最后，由式（13）可解得：

1.3 分數階自抗擾控制

自抗擾控制（ADRC）在各種實際控制系統中得到成功應用［14］。自抗擾控制的核心思想是把系統模型不確定性和外部擾動歸結為一個等效總擾動，利用擴展狀態觀測器（Extended State Observer，ESO）對系統狀態和總擾動進行實時估計，并采用狀態誤差非線性反饋與擾動補償來構成控制律。應用ADRC 的難點是參數較多、參數值選擇較復雜。

考慮典型位置伺服系統，其傳遞函數

為設計ADRC控制律使系統輸出量y準確跟蹤給定目標r，針對上述模型設計一個非線性ESO

式中：z1、z2和z3為觀測器的內部狀態量；ε ＝z1-y；δ為正參數，通常可取δ ＝5Ts，其中Ts為離散采樣周期；β01、β02和β03為觀測器增益（正標量）。可根據選定的觀測器帶寬ωo來整定［15］：

非線性函數fal（·）定義如下：

式中，sign（·）是標準的符號函數。常規的自抗擾控制律如下：

式中：β1、β2、α1，α2為正參數；e1＝r-z1，e2＝˙r-z2。

式（18）、（20）是ADRC 控制器的核心部分，必要時還可引入一個微分跟蹤器（或濾波器）來安排瞬態過程。控制律（20）包含了對狀態跟蹤誤差的非線性PD反饋，其參數對控制性能影響很大，但參數值與性能指標之間的關系并不明朗，導致參數整定很困難。文獻［16］中提出把式（20）中的PD反饋律改為分數階PD控制律，利用分數階控制的靈活性來提高控制性能，但文獻中未給出參數整定方法。借鑒上一節的思想，推導出分數階參數的計算公式。

考慮如下的分數階PD控制律

其對應的頻域響應為

由系統（17）和控制律（21）構成的開環系統頻域響應為G（jω）＝C（jω）P（jω）。類似于上一節的設計思路：選擇相角裕度φm，并保證相頻曲線在截止頻率ωc附近平坦（導數為0），可得到與式（11）～（13）類似的聯立方程，從中可解得：

由于難以直接從式（23）和（24）得出kd和μ的解析解，此處仍需采用圖解法來確定其數值。相應地，可確定參數kp如下：

最后，分數階ADRC控制律

1.4 分數階滑模控制

滑模控制是一種常用的魯棒控制技術，本節在非奇異終端滑模控制的框架中引入分數階微積分，以進一步提高控制系統的性能。

針對系統模型（17），考慮系統的模型不確定性和擾動，可把模型改寫如下：

式中：y、v分別為伺服系統的位置輸出量（可量測）和速度；u為控制量（轉矩電流）；d為由負載擾動、摩擦力矩和其他不確定因素折合而成的總擾動。

考慮目標信號r，定義跟蹤誤差為e＝y-r，則有：以及

定義滑模變量

式中：β ＞0，α∈（1，2）；fs（˙e，α）＝sign（˙e）·｜˙e｜α。求σ對時間的一階導數，得：

為使σ→0，選取如下的滑模控制律：

式中：β1＞0，β2＞0，這里包含一個分數階積分算子D-γ，參數γ∈［0，1］。

在控制律（30）中用到速度和擾動信號，需利用觀測器來估計其值。這里將直接借用1.3 節的擴展狀態觀測器（18），最終的控制律

2 伺服電動機實驗系統及控制流程

式中：θr為電動機的機械轉角，rad；ωr為機械角速度，rad／s；J為電動機的轉動慣量，kg·m2；kf為黏性摩擦系數，Nm·s／rad；TL為負載轉矩，Nm；kt為電磁轉矩系數，Nm／A；iq為q軸電流（轉矩電流），A。

實驗中采用42JSF630AS-1000 交流伺服電動機，其額定電壓和電流為24 V 和4.2A，額定功率為64 W，額定轉矩和轉速為0.2 Nm和3 000 r／min，極對數是4，配置了1 000CPR 的增量式光電編碼器。采用TMS320F28335 作為主控芯片以及基于智能功率模塊FSBB30CH060 的驅動電路，構成電動機控制系統，如圖1 所示。

圖1 伺服電動機控制實驗系統

系統采用雙環控制結構。其中內環對轉矩電流iq和勵磁電流id進行閉環調節，外環則對轉角θr或轉速ωr進行控制，控制信號是內環電流iq的給定值。當角位置θr作為系統的受控輸出量時，電動機的運動模型可轉化為式（27）的形式，其中，a＝和b＝為系統參數。若僅考慮速度調節，則可得到式（8）所示的一階模型。為數值處理方便，這里的角位置以圈（Revolution，簡寫為rev）為單位，速度單位為r／s。通過系統辨識，確定模型參數值：a＝3，b＝700。

采用Code Composer Studio 軟件對電動機的控制算法進行編程，設置一個頻率為10 kHz的ePWM中斷程序來執行電流內環控制（采用抗飽和PI 控制律）；外環（位置或轉速）采用本文介紹的控制律，其控制周期為Ts＝2 ms，即每20 個內環周期執行一次外環控制，并限定外環控制信號（轉矩電流命令）的飽和限幅值為4 A。在主程序中，循環刷新數據顯示，并根據按鍵來處理電動機的啟、停和給定變化。控制系統的程序流程如圖2 所示。

圖2 交流伺服電動機控制流程

3 實驗測試

在永磁交流伺服電動機試驗臺上進行實驗測試。采用分數階PI 控制進行速度調節。選擇相角裕度φm＝65°和截止頻率ωc＝100 rad／s，得到分數階PI控制律的參數見表1。

表1 控制律參數值

其中分數階算子采用Oustaloup濾波器來逼近，對應的參數：ωb＝0.000 1 rad／s；ωh＝1 000 rad／s；N＝10。濾波器采用雙線性變換來離散化（其他控制律中的分數階算子也采用相同的濾波器參數）。圖3 給出了目標轉速為10 r／s的實驗結果，其速度響應較快、超調約為10%、無穩態誤差。

圖3 分數階PI控制的實驗結果（速度給定＝10 r／s）

利用分數階ADRC 進行位置控制。選擇相角裕度φm＝65°和截止頻率ωc＝100 rad／s，可得到分數階ADRC控制律的相應參數，選取觀測器帶寬參數ωo＝100 rad／s，整個控制律的參數見表1。分別進行了目標位置為1 圈（r＝1 rev）和2 圈（r＝2 rev）的位置控制實驗，其結果在圖4、5 中顯示，分別給出了位置、速度（估計值）、控制量（轉矩電流給定）和等效擾動（折合到輸入通道的擾動值，即z3／b）的波形，其中位置和速度信號由于其數值范圍不同，分別在同一子圖的左右兩側縱軸標示其刻度。可見，位置控制的穩態性能較好，瞬態過程有一些超調，控制律的參數有待進一步優化。

圖4 分數階ADRC控制的實驗結果（位置給定＝1 rev）

圖5 分數階ADRC控制的實驗結果（位置給定＝2 rev）

測試分數階滑模控制器，選取的參數值見表1，它與分數階ADRC 共用一個狀態觀測器。分別設置目標為1 圈（r＝1 rev）和2 圈（r＝2 rev），相應的位置控制實驗結果在圖6、7 中顯示。顯然，在這2 種情況下，位置響應曲線都具有快速平穩的瞬態性能，而且穩態誤差可忽略。但分數階滑模控制的參數較多，參數調優需要一定的耐心和技巧。

圖6 分數階滑模控制的實驗結果（位置給定＝1 rev）

圖7 分數階滑模控制的實驗結果（位置給定＝2 rev）

4 結語

本文介紹了一個適用于自動化本科、控制學科研究生的交流伺服電動機分數階控制實驗示范平臺，給出了分數階PID控制、分數階自抗擾控制和分數階滑模控制律的具體設計。通過基于TMS320F 28 335的實時控制實驗，展示了控制方案的有效性。分數階控制作為一項新技術，要用于實際系統，需經過技術理解、問題建模、方案設計、軟硬件實現和調試優化這幾個主要步驟，設計這個實驗示范平臺就是為了加快應用流程，幫助學生快速掌握分數階控制的相關技術和伺服控制系統的實時編程和實驗調試方法，培養學生的工程實踐技能。下一步，將探索分數階控制系統的參數自校正、自整定技術，使這個實驗平臺更完善、更具實用性。