對與角的平分線有關的幾何題的變式探究

張前

【摘要】數學核心素養下的變式探究是對教材知識點的深度剖析與整合，也可為學生的解題提供模型，借以提高學生解決此類問題的速度與正確率.文章明確了變式探究能夠在新課標指導下落實“雙減”政策，收到“減負增效”的效果，同時在幾何計算中注意數形結合思想、整體思想的運用，能夠進一步加深學生對“圖形與幾何”的理解與掌握，在提升學生數學思維能力的同時，使其數學核心素養進一步得到培養.

【關鍵詞】變式探究；初中數學；數學思想

與角的平分線有關的幾何題是初中數學的重要內容之一.角平分線的定義在具體運用中既可以寫作兩角相等的形式，也可以寫作一個角是另一個角的2倍的形式，還可以寫作一個角是另一個角一半的形式.根據解題的需要，學生應靈活應用這幾種形式，同時在計算中注意數形結合思想、整體思想的運用.

一、教材原題呈現

人教版七年級數學上冊P140習題4.3第9題：

如圖1，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線.

（1）如果∠AOB=40°，∠COD=30°，那么∠BOD是多少度？

（2）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？

分析：（1）此問利用角平分線的定義以及角的和、差運算，再根據已知條件，即可求得∠BOC和∠COE的度數，從而求得∠BOD=70°.

（2）此問與（1）中的解法相反，由已知條件易求∠COE和∠AOC的度數，從而求得∠AOB=40°.

思考：對于（1）中的問題，是不是還可以這樣理解，射線OC將∠AOE分成∠AOC和∠COE，即射線OC在∠AOE的內部，其他條件不變，利用整體思想也可求解∠BOD是多少度.

所謂整體思想，是指在考慮數學問題時不著眼于它的局部特征，而著眼于它的整體結構，把聯系緊密的量作為一個整體來看的數學思想.運用這種思想能使問題由復雜化轉向簡單化，達到化繁為簡的目的，在中考中這種思想方法應用較多.而數形結合思想是指把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優化解題路徑的目的.

這個一般性結論暫且稱之為角平分線模型1.這個模型推理運用了兩個角的和、數形結合思想以及整體思想.熟練掌握該模型的解題思路、方法、過程和結論，以后再遇到這種題型就可以節省大量的計算時間，尤其在做解答題時，心中立刻就會有了思路，能快速寫出推理過程，輕松寫出答案，從而提升數學解題水平.

由此可見，對以上模型結論的消化與吸收、理解與掌握在平時的練習或考試中會起到至關重要的作用，對于填空題和選擇題可以直接運用結論簡單快速地得到答案，對于解答題，心中更是有數，能快速書寫解答過程，避免了冗長的思考、分析、探究，從而節省大量的考試時間.

在上面的變式中，射線OC為一個內角或一個角外的任意一條射線，接下來，我們繼續找“變”，如果一個角內出現兩條任意射線，且對每條射線與角接近的邊所組成的角作角平分線，那么原來的角與兩角角平分線的夾角以及角的內部任意兩條射線的夾角又有什么關系呢？

四、一個角內出現兩條任意射線

變式8：如圖8所示，OB，OC是∠AOD內的任意兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，求∠AOD的度數.

分析：此題主要考查了角的平分線的定義，以及角的和差之間的關系，然而題中并沒有給出∠MON和∠BOC具體的度數，這就需要進行一定的分析、推理才能進行規律總結，然后在以后的練習和考試中，只要出現此模型，我們就可以直接運用該結論秒得答案.

解：∵∠CON+∠BOM=∠MON-∠BOC，

∠MON=α，∠BOC=β，

∴∠CON+∠BOM=α-β.

∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，

∴∠CON+∠BOM=∠DON+∠AOM，

∴∠DON+∠AOM=α-β.

∵∠AOD=∠DON+∠AOM+∠MON，

∴∠AOD=2α-β.

此變式我們稱之為模型3.

由以上的變式探究可以看出，數形結合思想貫串始終，同時類比思想、分類討論思想也穿插其中，這就突出了對學生數學核心素養的培養，同時進一步落實了對數學新課程標準的有效實施，突出了“雙減”落實，達到了“減負增效”的效果.

教師對教材的原題進行分析、探究，論證變式的合理性，可引導、啟發學生對變式問題進行猜想論證，在這一過程中經歷再發現、再探究、再論證，再通過精準的數學語言去表達，培養學生發現、探究的數學精神以及數學語言表達能力.同時，教師應進一步培養學生的解題思維能力，通過對一題的變式進行對問題思考的發散，總結解題方法，鍛煉解題能力，培養學生“一題多變”的數學思維，同時把握中考命題方向，緊扣教材，吃透教材，深度分析教材，把知識串聯起來進行綜合運用，達到由成功變式到成功猜想、論證的目的.

由此也可看出，學生數形結合思想及整體思想等數學思想的建立遠非一朝一夕能夠做到的，需要在熟練掌握教材的基礎上反復練習、總結才能形成.對角的平分線定義的探究運用只是浩瀚數學王國中的一粒沙塵，更多的數學奧秘有待于我們去進一步深入探究.

【參考文獻】

[1]李祥.例談數形結合思想在實際解題中的應用[J].數理化學習（高中版），2013（11）：49.

[2]張文海.一道解析幾何題的變式教學及反思[J].中學數學研究，2019（2）：5-8.

[3]袁方程，黃俊峰.變式教學在解析幾何中的應用[J].數學之友，2012（2）：19-20，22.