求解張量絕對值方程的非精確LM方法

摘 要：通過引入互補函數將張量絕對值問題重新表述為張量互補問題.針對重構的張量互補問題，建立了自適應非精確LM算法，并證明了算法的收斂性.數值實驗結果表明所提出的算法是有效的.

關鍵詞：張量絕對值方程;非精確LM方法;收斂性分析;數值實驗

中圖分類號：O241文獻標志碼：A

這個例子主要用于觀察算法1的迭代過程.隨機生成對稱張量B∈S［4，4］和隨機向量x*∈R4且張量B和向量x*元素取值均在［0，1］.為了確保方程只有唯一的解，計算b=Ax*m-1-|x*|［m-1］.這里取a=3，從而計算出c=4.899 8.為了檢驗本文算法1的有效性，將其與文獻［9］中算法3.1進行對比發現，要達到相同的精度，本文的算法1在迭代次數上并不具有優勢，但CPU時間是占優勢的，參見表3中的數值結果.分析其原因，文獻［9］中算法3.1是精確LM算法，每一迭代步需要精確求解LM方程，這是比較耗費時間的.另外從表4可以看到‖H（xk）‖隨著迭代次數k的增加會快速趨于0.此外，‖Ψ（xk）‖隨著迭代次數k的增加亦會快速趨于0.這說明了算法具有良好的收斂性.

此外，選擇不同的b值來測試算法的收斂結果.實驗中式（9）中的參數a取維15，數值結果見表5.其中xs表示方程的解，Iter表示迭代次數.

3 結 論

本文提出了一個求解連續張量絕對值方程的非精確自適應LM算法.分析了算法的全局收斂性和局部二次收斂性.并通過數值實例來驗證所做的理論分析及有效性和可行性.數值結果表明，本文所提出的算法是有效的.

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The inexact LM method for tensor absolute value equation

Ma Changfeng， Xie Yajun

（School of Big Data; Key Laboratory of Data Science and Intelligent Computing，

Fuzhou University of International Studies and Trade， Fuzhou 350202，" China）

Abstract： In this paper，" the tensor absolute value equations is reformulated into tensor complementary" problem by introducing complementary function. For the reformulated tensor complementary problem， an adaptive inexact Levenberg-Marquardt （LM） algorithm is proposed. And convergence theorem of the algorithm is proved. Numerical experiments show that the proposed algorithm is effective.

Keywords： tensor absolute value equation; inexact LM algorithm; convergence analysis; numerical experiment

［責任編校 陳留院 趙曉華］ .