Hammerstein系統遺忘因子有限窗口分解辨識

摘要：提出一種帶遺忘因子和分解辨識策略的有限數據窗口遞歸最小二乘Hammerstein系統辨識方法。針對Hammerstein系統具有耦合參數的問題，將Hammerstein系統分解為2個子系統：一個子系統包含線性子系統參數，另一個子系統包含非線性子系統參數；提出一種基于遺忘因子的有限窗口遞歸最小二乘方法對分解模型進行在線遞歸估計；仿真示例驗證了所提算法能夠快速跟蹤參數，實現對Hammerstein系統的精確辨識。

關鍵詞：Hammerstein系統；遞歸辨識；最小二乘法；遺忘因子

中圖分類號：N945.14" " " " " "文獻標志碼：A" " " " "文章編號：1000-582X（2023）07-036-08

Identification of Hammerstein systems using decomposition based finite-data-window recursive least squares method with a forgetting factor

ZHANG Yangming1， SU Hao2， LIU Jawei2

（1. General Key Laboratory of Complex System Simulation， Beijing 100000， P. R. China; 2. School of Automation， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， P. R. China）

Abstract： In this paper， a decomposition based recursive finite-data-window least squares identification method with a forgetting factor is proposed for Hammerstein systems. The proposed method aims to identify the parameters of Hammerstein systems by decomposing them into two subsystems， one involving linear subsystem parameters， and the other containing the nonlinear subsystem parameters. To achieve this， a two-step finite-data-window recursive least squares method with a forgetting factor is developed. To verify the effectiveness and merits of the proposed algorithm， a simulation example is provided， demonstrating that the proposed algorithm can quickly track parameters and accurately and effectively identify Hammerstein systems.

Keywords： Hammerstein systems; recursive identification; least-squares method; forgetting factor

Hammerstein模型由一個非線性無記憶部分和一個線性動態系統組成，在許多工程問題中得到廣泛應用，因此多年以來，Hammerstein模型辨識一直是一個活躍的研究領域 [1?6]。辨識Hammerstein系統有很多方法[7?14]，包括過參數化法、隨機法、可分離最小二乘法、盲法、頻域法、子空間法、迭代法和遞階法等。

筆者重點研究了基于遞階辨識原理的方法[8]， 將Hammerstein模型分解為2個子系統：一個子系統包含線性子系統參數，另一個子系統包含非線性子系統參數。基于遞階辨識原理的方法的特點是這2個子系統包含的未知參數最少，與過參數化方法相比具有更高計算效率。大量遞階Hammerstein模型辨識方法已被相繼提出[15?18]。

基于遞階辨識原理，提出基于遺忘因子[19]和有限數據窗的最小二乘法算法，對Hammerstein模型進行遞歸辨識。該方法同時保留了遺忘因子最小二乘法和有限數據窗最小二乘法的優點，因此，該方法能夠快速跟蹤估計參數。提出的基于遞階原理的Hammerstein模型辨識方法的優點在于它能夠快速地跟蹤Hammerstein模型中的參數，并且比基于過參數化模型的算法具有更高計算效率[20?22]。

1 問題描述

考慮如圖1所示的Hammerstein非線性系統，由下式描述：

， （1）

。 （2）

式中：和分別是時刻系統的輸入數據和輸出數據；是零均值的不相關的隨機噪聲；是系統內部的過程變量，由未知系數和已知基函數的線性組合描述，其中是基函數的條目；和分別是多項式和的階次，其中，。本研究的任務是通過利用輸入數據和輸出數據來辨識未知參數ai，和。

2 研究方法

用單位推移算子來重寫式（1）和式（2）（即），得到

， （3）

。 （4）

定義線性子系統的參數向量a、b和非線性部分的參數向量c如下：

，

，

，

。

關于參數向量c，給出如下假設。

假設1.，并且向量c的第一項是正的。也就是說，函數的第一個系數是正的，即。

基于式（3）和式（4），可得

。 （5）

式中：

，

。

為了識別系統并避免使用具有更高計算效率的過參數化方法[20?22]，使用遞階辨識原理[15?18]將式（5）所示的Hammerstein系統分解為如下所示的2個子系統：

， （6）

。 （7）

式中：

；

；

；

；

。

式中，p為過去的水平數。定義加權數據矩陣和加權輸出向量

， （8）

， （9）

， （10）

， （11）

。 （12）

式中，遺忘因子。

為了辨識未知的系統參數a、b和c，定義如下的2個損失函數：

， （13）

。 （14）

令J1和J2對θ和?的導數為0，有

， （15）

。 （16）

θ和?的最小二乘估計值由下式給出：

， （17）

。 （18）

類似于（17）和（18），有

， （19）

。 （20）

類似于（8）～（12），定義

， （21）

， （22）

， （23）

， （24）

， （25）

， （26）

， （27）

。 （28）

定義矩陣

， （29）

， （30）

， （31）

， （32）

， （33）

。 （34）

由式（29）～（34）得

， （35）

， （36）

， （37）

， （38）

， （39）

。 （40）

把式（29）～（34）帶入式（19）～（20）中，有

（41）

， （42）

， （43）

， （44）

， （45）

。 （46）

通過上述等式，可以得到如下FF-FDW-RLS算法：

， （47）

， （48）

， （49）

， （50）

， （51）

， （52）

， （53）

。 （54）

由于式（47）～（54）中包含了未知參數a、b、c，這些未知參數是無法使用的。用估計值 、、來代替真實值[23]：

， （55）

， （56）

， （57）

， （58）

， （59）

， （60）

， （61）

。 （62）

為了初始化FF-FDW-RLS算法，取，或一些小的實數向量，例如，，，其中是元素全為1的n維列向量；，，，，其中是單位矩陣，是很大的正數，例如。

隨著增加，用FF-FDW-RLS 算法計算和的步驟如下。

1） 采集輸入輸出數據，選擇數據長度和遺忘因子，得到，。

2） 通過式（55）和（59），計算和。

3） 如果， 則終止程序并得到參數估計值；否則，遞增1并轉到步驟3。

3 仿真研究

考慮參考文獻[24]中的Hammerstein系統如下：

，

，

，

，

。

其中輸入采用均值為0、方差為1的白噪聲，噪聲是均值為0、方差為0.01或0.04的白噪聲。取p=10，遺忘因子λ=0.98。用所提出的算法和H-MISG 算法[24]（p=10，λ=0.98）來估計這個系統的參數。圖1和圖2分別表示在噪聲方差為0.01和0.04的情況下，參數估計的誤差與t的關系。可以看出，與參考文獻[24]中提出的H-MISG算法相比，本研究中的方法可以快速跟蹤估計的參數，可以提高識別精度和收斂速度。

4 結" 論

提出了一種基于遺忘因子的分解遞歸有限數據窗口最小二乘法來識別Hammerstein系統，該方法同時保留了FF-LS和FDW-LS的優點，能夠快速跟蹤參數實現對Hammerstein系統的精確有效辨識，通過仿真實驗驗證了本文方法的有效性，和現有方法相比，通過引入窗口遺忘因子得到了較快的跟蹤效果。

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（編輯" 羅敏）