隨機負反饋酶促反應模型的動力學行為

韓 雨，李 芳，楊 穎

（長春師范大學數學學院，長春 130123）

0 引言

Goodwin 振蕩器是生化振子的一個典型例子，是Goodwin［1］于1965 年發現的.這種振蕩器由mRNA、蛋白和蛋白產品（抑制劑）組成，并且生化振蕩行為是在受控的生化系統中自然產生.濃度振蕩可能發生在催化反應系統中，其中控制是通過負反饋效應施加的.因此，這種受控系統的穩定性在生物振蕩的背景下尤為重要.mRNA 是蛋白質合成的控制因子，蛋白質是蛋白產品生產的控制因素，蛋白質產物對mRNA合成的抑制遵循與蛋白質抑制相同的表面吸附規律.在自然界中激活作用是必要的，并且生物學中負反饋過程是非常普遍的.其中最著名的一個例子是以下這個反應過程：通過反應鏈中的產物作用，降低其抑制物質的某一遠母體的合成率.Walter［2-3］對這種負反饋模型進行了研究，它們可以概括為：

其中xi為濃度，f(xn+1)是關于x n+1的遞減抑制效應函數，其最廣泛的應用形式為其中c，l1為正常數.當i=n+ 1時，式（1）的相應形式為

通過無量綱化變換，式（2）為

該系統描述了基因活性的末端產物抑制的動力學，即mRNA對酶的編碼，酶的新陳代謝產物是由它的基因位點抑制其遺傳位點的mRNA 而進一步合成.眾多學者對該系統進行了研究，例如Tyson［4］證明了系統（3）空間周期解的存在性，且系統（3）存在唯一的平衡點

即：

Griffith［5］已經證明了系統（3）的所有解都是有界的，并且在中存在一個正不變集，使得所有的軌道都會進入其中.Hasting 等［6］獲得了n+ 1 維系統周期軌道的存在性；Yang 等［7］研究了一個在白噪聲干擾下的多分子生化反應模型，并且得到了反應持續進行和結束的條件；Yang等［8］討論了一個隨機低濃度三分子生物化學反應模型，得到其平穩分布及遍歷性.因此，無論是從生化角度還是從數學角度來看，在系統（3）中加入隨機擾動是很合理的，因為生物化學反應必然會受到環境白噪聲的干擾，而環境白噪聲是現實世界中的一個重要組成部分.本文在確定性系統（3）中加入隨機擾動，得到如下的隨機負反饋過程的酶促反應模型：

其中：B1(t),B2(t),…,Bn+1(t)是獨立的布朗運動為環境白噪聲強度，研究系統（4）所表示的隨機系統的正解存在唯一性以及遍歷性.

1 預備知識

首先介紹一些本文在研究中會用到的符號、定義和引理.

在本文中，令(Ω,?,P)是帶有滿足通常條件的域流的完備概率空間，即它是右連續的，并且包含所有的P零集.在文中，記

一般的，考慮d維隨機微分方程

具有初始值x1(t0)=x0∈，B(t)是定義在上述概率空間（Ω，?，P）上的d維標準布朗運動.定義式（5）的微分算子L：

如果L作用在函數上，則有

對于隨機系統（4），為了證明其遍歷性，會用到下面的引理.

引理1［9］假設存在具有如下性質的帶正則邊界Γ的有界域U?El，滿足：

（1）在U及其鄰域上，擴散矩陣Λ(x)的最小特征值λ(x)非0；

（2）如果x∈ElU，那么從x出發的路徑到達集合U的平均時間τ是有限的，并且對于每個緊子集K?El.有supx∈KExτ＜∞.

則馬爾可夫過程X(t)存在平穩分布kf(·).令f(·)為關于測度kf的可積函數，有

對所有x∈El成立.

引理2 設X(t)為El中的正則自治馬爾可夫過程.如果X(t)相對于某個有界域U是常返的，那么它相對于El中的任一非空區域也是常返的.

2 主要結果

2.1 系統（4）正解的存在唯一性

對任意的初始值，為了得到唯一的全局解（即在有限時間內不會爆破），通常會要求方程右端函數的系數必須滿足局部李普希茲條件和線性增長條件.然而，由于系統（4）中第一式的是非線性項，顯然系統（4）是不滿足線性增長條件的，因此，對于系統（4）的全局正解存在唯一性的證明，將會利用李雅普諾夫分析方法來實現［10-12］.下面給出存在唯一性定理.

定理1 對于任意的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈，在t≥0 上，系統（4）有唯一解(x1(t)，x2(t),…,xn+1(t))，并且解會依概率1留在中，即對所有的t≥0，幾乎必然成立的.

證明由于隨機酶促反應模型（4）的系數滿足局部李普希茲條件，那么對于任意給定的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈隨機系統（4）有唯一的局部解：

其中τe表示爆破時間.

接下來，想要證明這個正解是全局的，只需要證明τe=∞即可.

為此，令k0≥0 充分大，使得x1(0),x2(0),…,xn+1(0)都位于區間[,k0]中.對于每一個整數k≥k0，定義停時為τk= inf{t∈[0,τe):min{x1(t),x2(t),…,xn+1(t)}≤或max{x1(t),x2(t),…,xn+1(t)}≥k}.

在本文中，令inf?=∞（?表示空集）.顯然，當k→∞時，τk是增加的.令τ∞=τk，其中τ∞≤τe.如果τ∞=∞，則必有τe=∞.并且對于所有t≥0，

成立.因此，為了完成證明，只需要說明τ∞=∞.

采用反證法進行證明，首先假設這個斷言是錯誤的，那么存在一對常數T＞0 和ε∈(0,1)使得P{τ∞≤T}＞ε，則存在整數k1≥k0，使得對于所有k≥k1，有

定義一個C2-函數V→

這里c2=l1,c3=c2l2,…,cn+1=cnln,并且函數V(x1,x2,…,xn+1)的非負性可以從u- 1 - logu≥0,?u＞0看出.設k≥k0,T＞0是任意的，使用伊藤公式得到如下結果：

其中LV:→表示算子L作用在函數V(x1,x2,…,xn+1)上的結果，前面已經給出過定義了，于是可以得到

其中C是一個正常數.接下來有

對式（8）兩端取從0到τk∧T= min{τk,T}的積分，有

再對上面的式子取期望，可得：

對于k≥k1，設Ωk={Tk≤T}，再由（6）式可知，P(Ωk)≥ε，注意對于每一個ω∈Ωk至少有一個x1(τk,ω),x2(τk,ω),…,xn+1(τk,ω)等于k或.因此，

由式（6）和式（9），可以得到

其中IΩk(ω)表示Ωk的示性函數。綜上可得，當k→∞時，有

顯然這個式子是矛盾的，假設不成立.綜上所述，即可得到τ∞=∞,幾乎必然成立.

2.2 系統（4）的遍歷性

本部分的證明主要依據引理1，即需要驗證隨機系統（4）滿足引理1 的兩個條件（1）與（2）.為了驗證（1），只需要證明F在任何有界域D上一致橢圓即可［13-15］，其中Fu=b(x)ux+tr(Λ(x)uxx)，即存在一個正數M使得下式成立［16-17］：

為了驗證（2），只要證明存在某個鄰域U和一個非負的C2-函數，使得對于任何ElU，LV是負的就足夠了［18-19］.下面對隨機系統（4）的遍歷性進行證明.

定理2 對于任意的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈?n+1+，系統（4）有平穩分布f(·)，且具有遍歷性.

證明：首先，隨機系統（4）對應的擴散矩陣為

因此，可以將隨機微分方程（4）改寫成如下形式：

然后，需要檢查引理1 中的條件（2）.構造一個非負的C2-函數V和一個閉集（它完U∈∑全在中），使之滿足

這樣可以確保（2）是滿足的.

定義一個C2-函數h(x1,x2,…,xn+1)，其形式如下：

不難證明h(x1,x2,…,xn+1)有一個最小值點

通過計算，可以得到

其中l1-l2＞0,l2i-li+1＞0,(i= 2,3,…,n).

定義一個閉集

并且ε是充分小的數，使得

令

情形1 當(x1,x2,…,xn+1) ∈D1時，有

從式（11）和（12）可以得到LV≤-1.

情形2 當(x1,x2,…,xn+1)在D2上時，有

由式（11）和（13）可以得到LV≤-1.

情形3 當(x1,x2,…,xn+1) ∈D2k-1,k= 2,…,n+ 1時，有

由式（11）和（14）可以得到LV≤-1.

情形4 當(x1,x2,…,xn+1)∈D2k,k= 1,2,…,n上時，有

由式（11）和（15）可以得到LV≤-1.

情形5 當(x1,x2,…,xn+1)在D2n+2上時，有

由式（11）和（16）可以得到LV≤-1.

對上述五種情況的討論表明，系統（4）滿足引理1中的條件（2），這樣就證明了定理2.

3 結論

本文研究了一個受到白噪聲擾動的具有負反饋效應的隨機酶促反應模型.由于隨機酶促反應模型（4）的系數滿足局部李普希茲條件以及線性增長條件，進而得到隨機系統全局正解的存在唯一性.通過構造一個適當的李雅普諾夫函數，根據遍歷性定理，證明了隨機酶促反應系統具有平穩分布，并且在不需要任何附加條件的情況下，對應的隨機模型總是具有遍歷性的.

綜上，對于隨機酶促反應系統（4）的正解存在唯一性以及遍歷性，均得到了證明.結論說明，不論受到環境噪音的影響是小還是大，得到的隨機系統總是具有遍歷性的，這是一種隨機意義下的弱穩定性.