有理數加法學習的認知模擬研究

崔 碩，崔麗紅，連四清

有理數加法學習的認知模擬研究

崔 碩，崔麗紅，連四清

（首都師范大學 數學科學學院，北京 100048）

在有理數加法運算中，正、負兩數相加且結果為負的情形是學生學習的難點．研究應用認知模擬方法探索有理數加法的盈虧模型和絕對值模型的認知過程及其差異，結果表明：當工作記憶能力較弱，表征用時較長時，運用絕對值模型計算有理數加法的用時超過盈虧模型．兩模型的差異源于問題表征的次數、問題和知識的表征形式以及對前備知識的熟練程度3個方面．盈虧模型基于熟悉的現實背景，問題及知識表征的次數少、形式簡單，減輕了學習的認知負荷．建議學生在初學階段直接利用盈虧模型進行有理數加法運算，在理解的基礎上逐步總結運算規律．

ACT-R；認知模擬；有理數加法

1 問題提出

ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）理論由Anderson等人提出，通過建立ACT-R模型并在計算機上模擬，解釋人類的學習、記憶、問題解決等認知行為．將ACT-R模型應用于數學教育，可以預測學生已經具備的知識、能力以及達成學習目標的關鍵步驟，解釋數學學習的認知過程[1]．

在數學認知研究中，數與代數是培養學生抽象與概括、論證與表征能力的重要載體[2]．Anderson等人最先將ACT-R模型應用于代數認知領域[3]，模擬了兩步線性方程的求解過程．通過比較學生第1～5天的模擬學習數據，揭示了實現解方程自動化的關鍵步驟，從而得出解方程過程的加速主要源于產生式合并和對算術知識的熟練提取兩個方面．代數運算以算術運算為基礎，關于算術運算的認知研究主要集中于運算法則的學習過程．Bethany等人運用ACT-R模擬了學習分數除法法則的兩種策略：基于分數和除法意義的“圖形分割”策略和基于運算程序的“取倒數相乘”策略[4]．通過對所提取知識和認知步驟的分析，從學習難度、應用效率、通用性、記憶和可遷移性等維度比較了兩種策略．結果表明：學習的難易程度取決于對先驗知識的掌握情況；記憶基于“傳播激活”的學習機制，當具有熟悉且豐富的相關背景知識時，學習策略更易于回憶．上述研究可推廣為對運算法則學習策略的一般性討論：在學習初期，應注重從知識背景中理解和獲取運算法則，還是側重于記憶和執行計算程序？

有理數加法是學生學習的第一種有理數運算，加法法則中的符號規則是學生學習的難點．多數教材中以位移等具有相反意義的現實情境導入，引導學生將現實情境抽象為運算表達，由算式歸納出有理數加法法則．學生需要運用歸納出的法則，才能進行有理數加法運算．問題情境影響著學生的知識建構和思維發展[5]．陳麗敏等人研究了問題情境對學生建構有理數加法法則的影響，表明：學生由這些情境建構有理數加法法則時，存在共同的認知困難[6]．其原因主要有兩方面：一方面，學生未達到將意義相反的量統一并選擇正確的運算解決問題的認知水平，導致學生直接由現實情境列出加法算式存在困難；另一方面，語義復雜的現實情境影響了學生對加法意義的遷移，使學生在選擇使用哪種運算時出錯．在學習代數運算的初期，學生更傾向于直接在簡單的現實情境中解決問題，隨著學習的深入，當情境和計算較復雜時，才逐漸歸納出代數表達式和運算法則[7]．

如果有理數加法以數軸、絕對值的掌握與應用為基礎，由于幾何知識尚不完善，學生無法熟練建立絕對值與數軸之間的聯系，對絕對值的認知仍存在問題[8]；在建構法則的過程中，學生要同時處理現實情境、數軸及數學語言這3類相關性較強的信息；在應用法則的過程中，學生不但要進行絕對值的比較和運算，而且要在工作記憶中同時保持算式、兩個加數的絕對值、正負數符號等信息．由于工作記憶容量有限，上述過程可能會增加學生的認知負荷，從而影響學生的學習．

綜上，綜合考慮學生的認知發展水平與代數學習的應用價值[9]，提出新想法：通過情境簡單、易于理解的現實模型來實現有理數加法表達．學生通過將有理數加法轉化為現實模型，理解有理數加法運算及結果；隨著理解加深和運算的熟練，逐步歸納出有理數加法法則的代數表達．基于此，運用ACT-R模型對學生學習有理數加法的認知過程進行模擬，驗證模型的合理性，并揭示學習有理數加法的預備知識以及關鍵步驟．通過比較盈虧模型與絕對值模型的模擬數據，分析兩種模型的認知過程差異及適用條件，從而為實證研究和教學實踐提供參考．

2 有理數加法學習的認知模型

2.1 盈虧模型

一個有理數與0相加的運算法則是易于理解和掌握的，所以接下來重點討論兩非零有理數相加的情形．在有理數加法教學中，可以借助盈虧模型輔助學生理解有理數加法的符號法則．

當識別有理數加法運算的數學表達式后，首先將數學表達式轉化為盈虧問題，接著在盈虧模型中進行計算，最后將盈虧結果轉為數學表達，即得到兩個有理數的和．盈虧模型是易于理解的現實模型，如一家商店的盈利為“正”，虧損為“負”．若兩次連續虧損，則合計為虧損，且虧損金額為兩次虧損金額之和；若兩次中有盈利有虧損，則比較盈利金額與虧損金額．若盈利金額大于虧損金額，則合計為盈利，總的盈利金額為盈利金額減去虧損金額等．

運用盈虧模型進行兩非零有理數加法運算的過程可表示為如下程序框圖（圖1）．

圖1 有理數加法運算模型程序框圖

由圖1可以看出，在盈虧模型中，有盈有虧且盈利小于虧損的情形最為復雜，其思維步驟遍歷了其它情形，與之相對應的是兩個有理數的加法中正數加負數且和為負數的情況．因此，以“正數加負數且和為負數”的情況為例，依據ACT-R理論對盈虧模型與絕對值模型進行認知模擬．由于絕對值模型已被熟知，且篇幅限制，在此不對其過多贅述．

2.2 知識表示

習得有理數加法法則離不開已經具備的知識，模型的建立從對問題和知識的編碼開始．以計算“(+6)+(-10)”為例，使用“盈虧模型”和“絕對值模型”都需要解析算式和自然數運算事實等知識，而與模型背景相關的知識有所不同．此外，在不同認知基礎下，對同一知識或問題的表征也會有所不同．在ACT-R模型中，這些前備知識可表征為陳述性知識，在塊（chunk）中存儲．計算“(+6)+(-10)”的所有陳述性知識編碼如表1所示．模型通過產生式提取和解釋上述知識，完成解題過程．如表2所示，產生式系統包括通用性指令，和表達特定策略和提取特定知識的產生式．

產生式條件對應著工作記憶中的信息，即系統當前正在加工的信息[10]．以“代數表達轉盈虧模型”產生式P5為例：條件中的“用盈虧模型計算兩有理數之和”對應工作記憶中的當前目標，“已知兩加數的正負數符號”對應問題表征．當滿足產生式條件時，執行產生式的動作：將“兩加數的正負數符號”添加到工作記憶中，提取長時記憶中相匹配的盈虧知識．提取到的知識在工作記憶中存儲，以供下一條產生式使用．產生式系統可視為問題解決認知過程的直觀化體現，通過計算機模擬，若產生式系統可以順利運行，則證明了學習模型的可行性．

3 有理數加法學習模型的計算機模擬

3.1 認知模擬

Anderson團隊基于Lisp語言開發了ACT-R7.0軟件，其內部架構和參數以核磁共振實驗數據為基礎而設定．Adrian Bras-oveanu等人在此基礎上使用Python語言開發了Pyactr包，提高了語言兼容性[11]．調用Python3.7中的Pyactr包，將表1知識表示和表2產生式系統編寫為程序，模擬兩種模型計算“(+6)+(-10)”的過程．計算分為編碼、求解和響應3個階段，由目標、程序、提取和表象模塊相互作用而完成．以盈虧模型為例：在編碼階段，表象模塊將“(+6)+(-10)”編碼為心理表征．產生式識別到問題狀態并激活求解策略，進入求解階段．首先將正負數符號與算術數分開，解析算式為“+，6，+，-，10”；接著，將算式轉為盈虧情境“盈利6元又虧損10元”，根據情境得出結果“虧損4元”；最后，將盈虧結果轉為數學表達“-4”．這一過程通過提取模塊提取盈虧情境、計算等陳述性知識，通過表象模塊更新問題表征．在響應階段，程序模塊識別并輸出運算結果．絕對值模型即為應用加法法則進行計算，不再贅述．

城里，我遇到老K，講了這件事。老K不屑地說，沒臉了唄，弄了個家破人亡，妻離子散，自己倒成了一個屯子人了。自作自受！

圖2模擬了不同單次表征時間下，盈虧模型和絕對值模型完成有理數加法運算所需的時間．可以看出，在兩個模型中，總的運算時間都隨著單次表征用時的增加而增加．特別地，絕對值模型的運算時間增速更快，當單次表征用時0 s時，絕對值模型運算時間小于盈虧模型，單次表征用時0.10 s時，兩模型運算時間相等，單次表征用時超過0.10 s時，絕對值模型運算時間更長．

圖2 兩種模型完成運算所需時間

圖3是問題表征時間為默認值0.2 s時的模擬實驗數據．圖3a為使用盈虧模型的模擬結果，圖3b為使用絕對值模型的模擬結果．圖中第一列是模擬時間，默認執行每條產生式、每次提取知識歷時0.05 s，第二至五列說明了當前被激活的模塊及在激活時間內所處理的信息．盈虧模型共用時1.20 s，絕對值模型共用時1.30 s．

比較兩個模型的各個模塊的結果如下．

（1）程序性模塊．兩個模型各激活了13條產生式．產生式系統可以順利運行，證明了學習模型的可行性．雖然激活的產生式數量相同，但絕對值模型的運算程序中包含較多新習得的產生式，而盈虧模型中的產生式大多基于熟悉的現實背景．根據效用理論[12]，盈虧模型的產生式效用值更高，更容易運行成功．

（2）提取．兩個模型都提取了解析算式和正有理數比大小以及加減運算等知識．不同之處在于，盈虧模型還提取了“盈虧與正負數符號互化”的知識；而絕對值模型提取了“求有理數絕對值”的知識．在模擬中，每次提取用時0.05 s，但實際上，知識的表征形式和對知識的熟練程度影響著提取效率[1]．如圖3，兩個模型雖然都提取到“比較6與10大小”的知識，但在工作記憶中的表征形式不同．在盈虧模型中，只需提取“小于”關系，而在絕對值模型中要同時提取大小關系、較大數和較小數．相比起來，盈虧模型的知識表征簡單，占用的信息組塊少，因而認知負荷較低，更利于提取．在熟練程度上，“用正負數符號表示具有相反意義的量”易于理解，因而“盈虧與正負數符號互化”是簡單熟悉的知識；而“求有理數絕對值”是新習得的知識且更為抽象，提取時間更長．

（3）問題狀態模塊．該模塊的緩沖區保持了運算過程中各階段的問題表征．該模塊每次只能建立一個問題表征，且建立新的表征需要時間，默認值為0.2 s（可通過參數更改）．圖3為模型在默認值下的運行結果．從問題表征次數來看，盈虧模型中，問題表征發生了6次更改；絕對值模型中問題表征發生了7次更改．注意到，在絕對值模型中，若要“比較符號”，需將有理數表征為正負數符號與算術數分開的形式，即將“(+6)+(-10)”轉化為“+，6，+，-，10”；若要求絕對值，則需重新提取算式“(+6)+(-10)”．多種表征形式的轉換，導致信息加工速度減慢．從問題表征形式來看，絕對值模型中“確定符號”和“計算”的過程，都需要在工作記憶中同時保持加法算式、絕對值、符號關系和數字大小關系等信息，由于工作記憶容量有限，增加了認知負荷．數學能力較弱的學生工作記憶容量更小、知識提取所需時間更長．若調整模型參數，增加問題表征的時間，絕對值模型的認知負荷更大，計算用時更長．由此可以預測，對于數學能力較弱的學生來說，使用絕對值模型會更加困難，盈虧模型的問題表征形式簡單，更利于掌握．

圖3 盈虧模型（a）與絕對值模型（b）在ACT-R中的模塊激活比較

表1 問題表征和陳述性知識編碼

表2 有理數加法運算產生式系統

3.2 分析與討論

兩模型的認知過程不同導致了認知負荷的差異，從而影響運算時間．其中，差異的來源主要有3個方面．第一，問題表征的次數；絕對值模型進行了多次問題表征和表征間的轉換，增加了認知負荷．第二，問題和知識表征的形式[14]；絕對值模型對算式、絕對值、數字大小關系等信息的表征較復雜，會占用過多信息組塊，不利于提取和在工作記憶中保持．第三，前備知識的掌握程度；對知識的掌握越熟練，越容易成功提取，反之則會導致用時過長或失敗；絕對值概念是學生新習得的知識，且具有抽象性，相較而言盈虧知識是熟悉的現實背景，更易于提取．

由于工作記憶影響數學學習[15]，可以推測，這種差異對于數學能力弱的學生來說更加明顯．因此，在有理數加法運算的教學中，為減輕學生的認知負荷，可暫且不使用絕對值的概念．通過盈虧模型來幫助學生理解有理數加法運算．采用把正負數符號與算術數分開的策略進行加法運算．初學階段學生可直接利用盈虧模型進行有理數加法運算，在理解的基礎上逐步總結運算規律．

上述研究的計算機模擬數據有待通過實證研究進一步驗證，由于篇幅限制，將在后續的研究中加以補充．

4 研究結論

應用認知模擬方法探索了有理數加法的盈虧模型和絕對值模型的認知過程及其差異，由模擬結果得出以下結論．

（1）當工作記憶能力較弱，單次表征用時較長時，運用絕對值模型計算有理數加法的認知負荷較大，運算用時更長．

（2）兩模型的差異源于問題表征的次數、問題和知識表征的形式以及對前備知識的熟練程度3個方面．盈虧模型基于熟悉的現實背景，問題及知識表征的次數少、形式簡單，減輕了學習的認知負荷．

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A Cognitive Simulation Study of Rational Number Addition Learning

CUI Shuo, CUI Li-hong, LIAN Si-qing

(School of Mathematical Sciences, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

In the operation of rational number addition, it is difficult for students to learn the situation where positive and negative numbers are added and the result is negative. This study applies cognitive simulation methods to explore the cognitive processes and differences between the profit-and-loss model and the absolute value model of rational number addition. The results show that when the working memory capacity is weak and the representation takes longer, the use of the absolute value model to calculate the rational number addition takes longer than the profit-and-loss model. The differences between the two models stem from three aspects: the number of problem representation, the representation form of problems and knowledge, and the proficiency of prerequisite knowledge. The profit-and-loss model is based on a familiar real-life background, with fewer representations and simpler forms of representation, which reduces the cognitive load of learning. It is recommended that students use the profit-and-loss model to perform rational number addition operations directly at the beginning stage, and gradually summarize the operation rules on the basis of understanding.

ACT-R; cognitive simulation; rational addition

G632

A

1004–9894（2023）06–0067–05

崔碩，崔麗紅，連四清．有理數加法學習的認知模擬研究[J]．數學教育學報，2023，32（6）：67-71．

2023–10–27

國家社科基金教育學重點課題——教師核心素養和能力建設研究（AFA170008）

崔碩（1994—），女，河北保定人，博士生，主要從事數學認知發展與教育研究．連四清為本文通訊作者．

[責任編校：陳雋、陳漢君]