數學教材螺旋式編排與學習進階的一致性研究——以人教版“視圖”內容為例

楊 雪，張春莉，王艷芝

數學教材螺旋式編排與學習進階的一致性研究——以人教版“視圖”內容為例

楊 雪1，張春莉1，王艷芝2

（1．北京師范大學 教育學部，北京 100875；2．山東理工大學 教師教育學院，山東 淄博 255000）

“螺旋式”教材編排符合學生的認知水平和學習心理特征．從學習進階視角切入，能夠更好地評估數學教材“螺旋式”編排的適切性．研究以人教版“視圖”內容為例，通過分析空間觀念、知識與技能、問題情境3個進階變量，刻畫“視圖”概念的學習進階水平，討論數學教材螺旋式編排與學習進階之間的關系．結果顯示：空間觀念方面，所有年級教材與學習進階的一致性均達到可接受程度，除七年級外，符合螺旋式上升設計原則；知識與技能方面，不同年級所呈現的“視圖”類型較為單一，低年級側重識圖，高年級側重讀圖；問題情境方面，基本遵循實物、單一幾何體、簡單組合幾何體、復雜組合幾何體的變化規律；空間能力、知識與技能、問題情境，兩兩之間存在顯著正相關．

螺旋式編排；學習進階；數學教材；一致性；視圖

1 問題提出

教材是教師教學的重要參照工具，隨著課程改革的推進，“螺旋式”教材編排體系由于其尊重學生的認知特征和學習基本規律，得到廣大專家和教師的普遍認同．螺旋式教材編排，形成富有邏輯性組織的結構化與興趣化的教材，既保留直線式組織一階段比一階段高升，深入與分化的邏輯順序，也融會圓周式由同心圓一波又一波，一圈又一圈擴散、拓廣的心理組織，成為有深度有廣度的動態結構[1]．2022年頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，要合理安排不同學段內容，體現學習目標的連續性和進階性．世界各國教材也在向“螺旋式”編排靠攏，其合理性和對教學的推動作用毋庸置疑．但研究者也指出教材在實踐過程中出現“認知要求低”[2]“知識不連貫、知識點重復”[3]“缺乏梯度性”[4]等問題．如孔凡哲指出，教材編制的焦點在于“螺旋式上升”與課程難度，難點在于如何切實深化“螺旋式上升”的理論研究和實踐探索[5]．當前有關教材螺旋式編排評價的研究，大多是基于數學課程標準來評價教材編寫的合理性；一方面教材編寫者根據課程標準編寫教材，另一方面研究者、教師等又將課程標準作為教材的評價標準，存在循環論證的問題，缺乏對課程標準合理性的元分析．因此，有必要引入新的評價標準對教材的編排順序進行評定．

數學概念編排的“螺旋式”上升，是指在有關教育教學理論基礎上，按照人的認知發展規律，對復雜的數學概念和重要數學思考，采取由淺入深、循序漸進的分學段上升編排的一種方式[6]，而學習進階則是學生學習特定概念時所表現出來的思維路徑[7]，刻畫的是學生關于該概念及相關技能在一段時間內的認知發展進程[8]．已有研究指出，學習進階的研究為課程標準的內容安排提供了強有力的支撐[9]．因此，基于學習進階理論審視數學教材的編排順序，評估課程標準和教材內容的層次性和螺旋性符合學生理解水平和思維進階規律的程度，有助于開發符合數學學科本質和學生認知發展規律的教材編排體系．

“視圖”作為平面幾何和立體幾何過渡的橋梁，注重與生活中立體圖形間的聯系，關注二維空間和三維空間的關系及轉化，是許多國家幾何課程中發展學生空間能力的出發點和著眼點．在內容編排上，“視圖”貫穿小學和初中兩個學習階段，教材內容時間跨度較大，呈現出典型的“螺旋式”編排特征．因此，研究以人民教育出版社小學、初中數學教材中的“視圖”內容為例，對數學教材螺旋式編排與學生學習進階水平之間的一致性進行分析，能夠較好地回答如何基于學習進階理論評估教材內容編排的適切性，以期對教材分析研究提供新的視角和路徑，為“視圖”相關內容的設計、應用與反思提供借鑒．

2 “視圖”概念的學習進階

學習進階中的核心概念指的不是某個具體的知識點，而是整合了一系列緊密連貫的知識、技能和思想[7]，也可以稱之為大概念或大觀念．“視圖”知識中涉及的大概念主要是“空間觀念”，它不僅可以為學生今后深入學習平面幾何、立體幾何等打下必要基礎，還可以促進學生思維發展，培養學生用發展、運動的眼光來認識其所生活的空間[10]．范·希爾（van Hiele）提出，學生幾何思維水平的發展從像格式塔的直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和證明等復雜水平，具體可分為直觀水平（整體地認識幾何對象）、描述水平（通過幾何性質認識幾何對象）和理論水平（利用演繹推理證明結合關系）[11]．邵光華將空間想象能力分為空間觀念、建構幾何表象的能力和幾何表象的操作能力[12]．劉曉玫將小學階段學生的空間能力劃分為直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復雜分析階段[13]．可見，學者們主要基于學生的認知水平，從直觀到抽象對學生在不同階段所表現的水平進行了劃分．結合相關研究及視圖內容所適應的學生發展水平，研究將空間觀念劃分為直觀想象水平、分析描述水平和推理抽象水平．

能力是在掌握知識和技能過程中形成發展的．曹才翰提出空間觀念至少包括5方面要求：（1）熟悉基本的幾何圖形；（2）由空間圖形反映出實物；（3）從復雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4）從基本圖形中找到基本元素及其關系；（5）由文字或符號做出或畫出圖形[14]．這5個方面反映出學生空間觀念發展的規律．劉曉玫及其研究團隊聚焦視圖概念，將其概括為識圖、畫圖和讀圖[15-16]，這種分類方式更加直觀，且與數學課程標準的編排要求一致，有利于更好地對應學生的學習進階水平．

學生的數學能力是通過數學活動表現出來的，而數學活動的主體部分是數學問題解決活動，因此選擇恰當的數學問題對于診斷和評價學生的數學能力至關重要[11]．根據“視圖”測評情境的復雜程度，研究將問題情境分為實物、單個幾何體、簡單組合幾何體和復雜組合幾何體4種類型．

為了盡可能全面地描述“視圖”概念的學習進階，基于已有研究內容，研究將進階變量確定為“空間觀念”“知識與技能”“問題情境”，構建出“視圖”概念學習進階理論模型（見圖1）．其中，將“空間觀念”作為學生“視圖”概念進階的關鍵變量，“知識與技能”和“問題情境”作為影響空間能力的間接變量．

圖1 “視圖”概念學習進階理論模型

關于學生“視圖”概念的發展，已有研究表明一年級學生難以辨認從不同方向觀察到的簡單物體的形狀，二年級和三年級學生能夠完全或基本辨認從不同方向觀察到的簡單物體的形狀，大多數學生能夠畫出從不同方向觀察到的簡單物體的形狀[17]．三到六年級學生空間與圖形領域“二維和三維形狀的元素與特征”維度的數學能力發展隨年級升高而增長，相鄰年級間均存在顯著差異，其中三至五年級表現為勻速增長（差異顯著水平為0.001），五至六年級增長變化變緩（差異顯著水平為0.05）[18]．在空間能力水平方面，四、五、六年級的大部分學生能夠達到簡單分析抽象水平，二、三年級則表現一般[19]；在想象推理分析水平上，五、六年級均表現較差[20]．對中學生而言，不同年級學生的數學空間能力逐漸升高，初一到初二年級上升速度較快，初二到高一上升速度較遲緩，初一學生難以在頭腦中形成正確的表象并對表象進行操作[21]，八年級學生在直觀圖與三視圖之間的相互轉化等涉及到推理抽象問題的表現優于七年級[22]．

綜合已有研究可以發現，受教學內容和教學方法限制，“知識與技能”和“問題情境”這兩個進階變量之間未呈現出明顯的年級進階梯度[15-16]．因此，研究不對這兩個進階變量進行年級水平假設，而是根據數據分析結果描述不同年級之間的螺旋變化．綜合“視圖”概念學習進階理論模型以及已有實證研究的結果，研究將“視圖”概念各年級的學習進階水平進一步細化，具體見表1所示．

表1 “視圖”概念學習進階水平

3 研究設計

3.1 研究對象

研究對象為人民教育出版社義務教育階段數學教材中涉及“視圖”概念的相關內容，主要包括二年級上冊“觀察物體（一）”、四年級下冊“觀察物體（二）”、五年級下冊“觀察物體（三）”、七年級上冊“幾何圖形初步”、九年級下冊“投影與視圖”等單元的數學教材文本．

3.2 研究過程

首先對“視圖”相關研究進行梳理，在理論研究和實證研究的基礎上刻畫出“視圖”概念的學習進階；其次對人教版數學教材進行梳理，選取“視圖”概念的相關內容作為分析對象；然后依據“視圖”概念的學習進階形成編碼表；最后采用描述性統計和非參數檢驗，對教材螺旋式編排情況與學生學習進階間的一致性進行分析，采用相關分析對不同進階變量之間的關系進行分析，為教材的修訂、使用提供借鑒．

3.3 數據整理與分析

3.3.1 數據編碼

首先確定編碼維度．編碼維度依據“視圖”概念的學習進階，從空間觀念、知識和技能、問題情境3個方面進行編碼，其中空間觀念從直觀想象、分析描述、推理抽象3個水平進行編碼，知識和技能從識圖、讀圖和畫圖3個類型進行編碼，問題情境從實物、單個幾何體、簡單組合幾何體、復雜組合幾何體4種類型進行編碼．然后確定分析單元．教材中的內容板塊主要涉及例題、做一做和習題，因此將單個例題、做一做和習題（包括課后習題、復習題等）視為一個分析單元進行編碼．最后對數據進行編碼．由兩位研究者依據所確定的“視圖”概念的學習進階，獨立對每冊教材中有關視圖的題目總數（即分析單元總數）、符合該年級空間觀念水平的題目數，以及教材內容中呈現的“視圖”概念的學習進階水平進行編碼，然后對教材內容中呈現的“視圖”概念學習進階水平與研究所確定的“視圖”概念學習進階水平的一致性進行編碼，所有編碼維度的雙人獨立編碼一致性均達到90%以上，可采信．

3.3.2 數據分析

研究采用韋伯一致性分析模式中的知識深度分析標準，對編碼后的數據進行處理，考查教材內容中“視圖”概念學習進階水平與研究所確定的“視圖”概念學習進階水平的一致性．韋伯認為在知識深度分析時，若教材內容中≥50%的空間觀念水平題目與空間觀念學習進階水平相一致，則是可接受的，即有一定的一致性．研究中，將每冊教材中有關視圖的題目總數，記為；符合該年級學習進階水平的題目數，記為；判斷教材內容知識深度的一致性是否可以接受的條件是：每個內容主題下符合“視圖”概念學習進階水平的題目數占每個內容主題下總題目數的至少50%，記為．即：=（/）×100%．如果≥50%，知識深度的一致性可接受；若＜50%，知識深度的一致性不可接受．然后，統計教材中內容主題下高于“視圖”概念學習進階水平的題目數（），高于“視圖”概念學習進階水平的題目數占每個內容主題下總題目數的比率（），即：=（/）；統計教材中內容主題下低于“視圖”概念學習進階水平的題目數（），低于“視圖”概念學習進階水平的題目數占每個內容主題下總題目數的比率（=/）．

為進一步分析不同年級教材在“知識與技能”和“問題情境”方面的差異情況，分析“空間觀念”和“知識與技能”“問題情境”之間的關系，研究首先對編碼處理后的數據進行描述性統計；然后對數據進行正態分布檢驗，發現數據不符合正態分布，故選擇非參數檢驗進行分析，最后對數據進行相關性分析．

4 結果與討論

4.1 不同年級教材空間觀念的螺旋上升情況

研究通過描述性統計分析方法，對不同年級教材考查的空間觀念水平與空間觀念學習進階水平進行了一致性分析．如表2所示，所有年級教材符合空間觀念水平的題目數量百分比高于或等于50%，教材題目設計與空間觀念學習進階的一致性均達到可接受水平．其中二年級和四年級的一致性水平較高，達到85%以上；五年級、七年級和九年級的一致性水平較低．進一步分析數據發現，五年級教材題目的空間觀念水平高于該階段空間觀念進階水平要求的比例為37.50%，題目難度較大．而七年級和九年級教材的空間觀念水平低于該階段空間觀念進階水平要求的比例分別為37.50%和38.24%，題目難度較低．

表2 空間觀念一致性分析結果

研究對不同年級教材的空間觀念進行了非參數檢驗，并通過成對比較進一步分析年級間的差異情況．如表3和表4所示，教材題目考查的空間觀念水平由低到高依次為二年級、七年級、四年級、五年級、九年級，除七年級外，基本符合螺旋式上升的設計原則．二年級和五年級、二年級和九年級之間的差異達到0.001的顯著水平，四年級和九年級、七年級和九年級之間的差異達到0.05的顯著水平．相鄰年級之間，除七年級和九年級外均不存在顯著差異．

表3 空間觀念描述性統計

表4 空間觀念非參數成對比較結果

注：***顯著性水平0.001；*顯著性水平0.05．

4.2 不同年級教材知識與技能的螺旋上升情況

研究通過描述性統計對不同年級教材知識與技能維度的分布情況進行分析．如圖2所示，不同年級教材知識與技能的分布存在較大差異．其中，二年級教材知識與技能的呈現均為“識圖”，占100%．四年級、七年級教材知識與技能的呈現以“識圖”類型為主，分別占題目總數的85.71%和87.50%，其中七年級教材沒有涉及“讀圖”的相關內容．五年級、九年級教材知識與技能的呈現以“讀圖”類型為主，其中，五年級“讀圖”類型占題目總數的81.25%，九年級“讀圖”類型占題目總數的58.82%，五年級教材沒有涉及到“畫圖”的相關內容．

對不同年級教材的知識與技能類型進行非參數檢驗，通過成對比較進一步分析年級間的差異情況．如表5和表6所示，二年級和五年級、二年級和九年級、四年級與五年級、四年級與九年級、七年級與九年級之間的差異達到0.001的顯著水平，五年級與七年級之間的差異達到0.01的顯著水平．二年級與四年級、二年級與七年級、五年級與九年級之間不存在顯著差異．相鄰年級之間，除二年級與四年級外均存在顯著差異．

圖2 不同年級知識與技能的占比情況

表5 知識與技能描述性統計

表6 知識與技能非參數成對比較結果

注：***顯著性水平0.001；**顯著性水平0.01．

4.3 不同年級教材問題情境的螺旋上升情況

研究通過描述性統計對不同年級教材問題情境的設計情況進行分析．如圖3所示，二年級教材中的問題情境以實物和單個幾何體為主，共占總數的90%，其中“實物”情境占比70%．四、五年級教材中的問題情境設計較為相似，均由簡單組合幾何體和復雜組合幾何體兩種類型組成，且以復雜組合幾何體為主，四、五年級復雜組合幾何體占比分別為78.57%和68.75%．七年級的情境設計以單個幾何體為主，占比為62.50%．九年級的情境設計主要為單個幾何體與簡單組合幾何體，分別占總數的35.30%和55.88%．

圖3 不同年級問題情境的占比情況

對不同年級教材中的問題情境進行非參數檢驗，通過成對比較進一步分析年級間的差異情況．如表7和表8所示，教材題目所設計的問題情境水平由低到高依次為二年級、七年級、九年級、五年級、四年級，不存在螺旋上升的情況．其中，二年級和四年級、二年級和五年級之間的差異達到0.001的顯著水平，四年級和七年級、四年級和九年級、五年級和七年級、五年級和九年級之間的差異達到0.01的顯著水平，二年級與九年級之間的差異達到0.05的顯著水平，二年級與七年級、四年級與五年級、七年級與九年級不存在顯著差異．相鄰年級之間，僅二年級與四年級、五年級與七年級存在顯著差異．

表7 問題情境描述性統計

表8 問題情境非參數成對比較結果

注：***顯著性水平0.001；**顯著性水平0.01；*顯著性水平0.05．

4.4 “空間觀念”“知識與技能”“問題情境”的關系

研究通過相關分析發現，數學題目考查的空間觀念水平受到知識與技能、問題情境的影響．如表9所示，不同進階變量之間均存在顯著正相關，其中空間觀念和知識與技能之間存在高相關，空間觀念與問題情境、知識與技能和問題情境之間均存在低相關．

表9 “視圖”概念不同進階變量的相關分析

注：**顯著性水平0.01．

5 結論與建議

5.1 結論

從空間觀念來看，所有年級教材的一致性均達到可接受程度，其中二年級和四年級教材與學習進階的一致性水平較高，五年級、七年級和九年級教材與學習進階的一致性水平較低，相對于研究所確定的“視圖”學習進階水平，五年級教材所要求的學習進階水平偏高，七年級和九年級教材所要求的學習進階水平偏低．除七年級教材所要求的學習進階難度過低以外，“視圖”的教材編排基本符合螺旋式上升設計原則，相鄰年級不存在顯著差異，進階幅度較為合理．進一步分析不同年級在空間觀念進階上的差異時發現，二年級和五年級、四年級和九年級之間存在顯著差異，說明“視圖”內容學習進階幅度較大的情形主要出現在五年級和九年級．從教材編排的角度來看，第一學段到第四學段存在兩次幅度較大的進階，分別出現在第三學段和第四學段，但七年級教材中對“視圖”概念的要求有所回落．分析其原因可能在于五年級教材所要求的學習進階水平對部分學生來說具有一定難度．從這個意義上說，五年級是提升學生空間觀念的關鍵期．

從知識與技能來看，不同年級呈現的知識與技能類型較為單一．考慮到識圖、畫圖、讀圖自身發展的螺旋性，應盡量在每個學段都有所體現，而不是在低年級培養學生的識圖能力，高年級培養學生的畫圖能力和讀圖能力．例如，加拿大的課程標準從一年級起即要求學生能夠描述、建立模型、繪制和分類二維和三維圖形與形狀[23]．

從問題情境來看，隨著年級的增加，問題情境的設計逐漸由實物向幾何體過渡，由單一幾何體向組合幾何體過渡，由簡單組合幾何體向復雜組合幾何體過渡．此外，問題情境和知識與技能共同發生變化，初中階段的教材重點培養學生的讀圖能力，通過降低問題情境難度方式來控制學習內容的整體難度，以適應學生的發展．

關于空間觀念與知識與技能、問題情境的關系，兩兩之間均存在顯著正相關，其中空間觀念和知識與技能之間存在高相關，空間觀念與問題情境、知識與技能和問題情境之間均存在低相關．也就是說，教材編寫者可以通過改變知識與技能和問題情境來調整解決問題所需的空間觀念水平．

5.2 建議

螺旋式編排教材能夠較好地兼顧學生的差異性，滿足不同階段學生理解水平和思維發展水平的需求．正如皮瑞—基倫在數學理解層級模型中所闡述的，學生的理解并不是線性的，而是序列化的、遞歸的，且學生學習的過程中常出現迂回現象．當學生在某個水平上難以解決問題時，就會回到低一級的水平，再次建構與發展自己的數學理解．因此，教材內容的具體設計應從數學學習角度出發，幫助學生建構數學知識體系，不同階段的內容安排不僅要遵循螺旋上升的原則，更要強調內容的一體化設計，注重深度整合聯系[24]．對教材編寫者而言，以學生的認知規律為基礎，合理確定教材“螺旋”的內容和幅度，把握學生知識學習的序列，能夠讓教材內容更具層次化、幅度更加清晰化．對執教教師而言，只有讀懂教材、創生教材，才能更好地服務于學生的學習，給學生提供序列化的學習體驗，讓學生經歷數學活動經驗積累的過程，進而促進教學評的一致性．

5.2.1 尊重學生認知規律 合理設計教材“螺旋”的內容與幅度

通過對學習進階的研究可以發現學生思維發展水平的層級變化規律，這為教材螺旋式編排的廣度、深度和跨度提供直接依據．數學課程實施的起點顯然是權威部門所制定的數學課程標準，而終點則是學生通過數學學習而獲得的在數學上的發展[25]．為此，教材的編寫必須要尊重學生的認知規律，關注學生的學習進階．基于學習進階理論編寫數學教材，要以核心素養培育為主要任務，以落實大概念為長期目標，以子概念發展為變量，聯結不同學段的數學學習內容，打破不同學段內容割裂、重復的情形，按照由簡入繁、由淺入深的邏輯，對教材的內容與幅度展開序列化的編排與設計，體現出學生發展的連貫性．這樣系統化地編排有助于學生在知識間建立起聯系，在完成對概念逐“階”建構的同時，形成對知識的系統認識，進一步促進核心素養的落實．此外，盡管教材內容的編排要與學生的學習進階規律一致，但仍有少部分內容可高于或低于同年級的發展水平．比如針對七年級的“回落”現象，教材編寫時可以在不增加知識點的情況下，給學生提供多樣化的情境，一方面符合學生發展的差異性特征，讓學習困難的學生能夠彌補學習進階過程中的缺漏，另一方面要起到承上啟下的銜接作用，進一步拓展學生對知識的理解和運用，避免年級間的知識出現斷層，更好地實現學生對概念“階”層的跨越．

5.2.2 讀懂教材創生教材 促進教學評的一致性

立足教材文本，加強教材解讀，領會教材本質是實現有效教學的基本前提．教師的教學既要基于教材，也要高于教材、創生教材．學習進階理論關注學生學習的起點、終點、學習表現、進階變量以及對學生的成就評價，強調課程、教學、評價要協調一致，共同服務于學生概念的發展過程．可以說，學習進階理論為教師讀懂教材、創生教材提供了理論引領與支持．教師應該在理解學生學習進階規律的基礎上，依據教材特點、學生學情，展開教學設計、組織評價．教師要深度解讀教材，梳理教材層次，明確學生學習的關鍵點與困難點；靈活選擇教材，在教學中創造性地使用教材，探尋學生學習的生長點；系統整合學生需求與評價資源，精心開發與設計高質量的、層級化的、高適配度的評價活動，從而促進學生學習的有序進階，實現教學評一致性．例如，研究中所呈現的，當學生解決問題所需的空間觀念水平受到知識與技能和問題情境的共同影響時，教師應權衡兩者之間的難度水平，從“一刀切”轉向梯度教學，讓學生在面對更復雜的問題情境時能利用知識與技能的進階，將復雜情境轉化為簡單情境，在變與不變中實現學習的進階，從而促進學生能力的發展．

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A Study on the Consistency between Spiral Arrangement of Mathematics Textbooks and Learning Progression: Taking the “View” Content of People’s Education Press as an Example

YANG Xue1, ZHANG Chun-li1, WANG Yan-zhi2

(1. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. School of Teacher Education, Shandong University of Technology, Shandong Zibo 255000, China)

The “spiral” textbook arrangement is in line with students’ cognitive level and learning psychological characteristics. In order to better evaluate the appropriateness of the “spiral” arrangement of mathematics textbooks, this study takes the “view” content of People’s Education Edition as an example from the perspective of learning progression, describes the learning progression level of the concept of “view” by analyzing three progression variables: spatial concept, knowledge and skills and problem situation, and discusses the relationship between the spiral arrangement of mathematics textbooks and learning progression. The results show that the consistency between textbooks and learning progression for all grades is acceptable, and it conforms to the principle of spiral rising design except grade 7. In terms of knowledge and skills, the “view” types presented by different grades are relatively single; the lower grades focus on identifying graphics, and the higher grades focus on constructing graphics. As for the problem situation, it basically follows the change laws of physical object, single geometry, simple combined geometry and complex combined geometry. In addition, there is a significant positive correlation between spatial concept, knowledge and skills, and problem situation.

spiral arrangement; learning progression; mathematics textbooks; consistency; view

G634

A

1004–9894（2023）06–0012–06

楊雪，張春莉，王艷芝．數學教材螺旋式編排與學習進階的一致性研究——以人教版“視圖”內容為例[J]．數學教育學報，2023，32（6）：12-17．

2023–08–21

國家自然科學基金面上項目——復雜情境下學生數學創造性思維的認知及腦機制研究（62277003）

楊雪（1997—），女，甘肅金昌人，博士生，主要從事數學教育研究．王艷芝為本文通訊作者．

[責任編校：張楠、陳漢君]