關于矩陣的Schatten p-范數的注記

任芳國,和嘉琪

(陜西師范大學數學與統計學院,陜西 西安 710119)

矩陣的Schattenp-范數是一類重要的矩陣范數.它具有良好的性質,如酉不變性質及單調性,因此矩陣Schattenp-范數在量子信息中刻畫量子態之間的距離和保真度、熵和相對熵以及量子的糾纏度和相干度有重要作用[1].本文在文獻[1-9]的基礎上,討論了矩陣Schattenp-范數與其主對角線元素及分塊矩陣主對角塊p-范數之間的關系,進而給出矩陣與其伴隨換位子Schattenp-范數之間的關系,討論了矩陣的絕對值、換位子2-范數的界,所得結果細化和深化了矩陣Schattenp-范數的已有結果.

1 預備知識

為討論方便,引入以下定義和引理,其余未加說明的記號參見文獻[2].

注1 ‖A‖1為A的跡范數,‖A‖2為A的Frobenius范數,‖A‖∞為A的譜范數.

定義3[4]設A∈Mn,稱(A*A)1/2為A的絕對值,記作|A|.

引理1 設A,B∈Mn是半正定矩陣且tr(AB)=0,則AB=0.

引理2[4](Weyl單調定理) 設A是n階Hermite矩陣,H是n階半正定矩陣,則λj(A+H)≥λj(A),其中j=1,2,…,n.

2 主要結論

分別利用矩陣分解、矩陣分塊的技巧及矩陣Schattenp-范數的特性,深入討論矩陣Schattenp-范數的性質.

定理1 設A=(aij)n∈n×n,p≥1,則:

(1) Re(tr(A))=‖A‖1,當且僅當A是半正定矩陣;

(3) 設e1,…,en與f1,…,fn是n中兩組標準正交基,則

(1) 必要性.由U1,V1是等距矩陣及柯西不等式有,

如果Re(tr(A))=‖A‖1,則由sk>0,k=1,…,r可知,

(2) 設f(x)=xp.由p≥1知,f(x)在[0,+∞]上為單調遞增凸函數.由

(3) 令

U=(e1,…,en),V=(f1,…,fn),

結論證畢.

定理2 設p≥1,Pi∈n×n是一簇正交投影矩陣,其中i=1,…,m,有以下結論成立:

證明(1) 先證PiPj=δijPi.

再證c(B)是B的酉相似凸組合.

設s=j-i,若εs≠1及(εs)m=1知,

那么

最后,由‖·‖P是酉不變范數知,

又

故

且

綜上,定理得證.

定理3 設A∈Mn,p≥1,則:

(2) ‖A*A-AA*‖p≥(2-21/p)‖A*A‖p-21/p‖A2‖p;

證明(1) 由于

則由引理2知,

那么

‖A*A-AA*‖p≤21/p‖A*A‖p.

再由

則結論(1)成立.

(2) 由于‖AA*‖p=‖A*A‖p,‖A2‖p=‖(A2)*‖p,則

于是

‖A*A-AA*‖p=‖2A*A-(A*A+AA*)‖p≥‖2A*A‖p-‖A*A+AA*‖p≥
2‖A*A‖p-(21/p‖AA*‖p+21/p‖A2‖p)=(2-21/p)‖A*A‖p-21/p‖A2‖p.

|P-Q|=(P-Q)V=V(P-Q).

設W=(w1,…,wn)為W的列分塊矩陣,再由P2-Q2=1/2[(P+Q)(P-Q)+(P-Q)(P+Q)]知,

推論2 設A∈Mn,r=r(A),p≥1,則:

證明(1) 由矩陣的Frobenius范數的定義及向量的lp范數性質知,‖A*A-AA*‖1≤r1-1/p‖A*A-AA*‖p,即有

r1/p-1‖A*A-AA*‖1≤‖A*A-AA*‖p,

再由定理3結論(3)知,

定理4 設A∈Mn是正規矩陣,X∈Mn,則:

(1) ‖AX-XA‖2=‖A*X-XA*‖2;

(2) ‖|A|X-X|A|‖2≤‖AX-XA‖2.

設U*XU=(xij)n,由Frobenius范數的酉不變性可知

推論3 設A,B∈Mn是正規矩陣,X∈Mn,則‖|A|X-X|B|‖2≤‖AX-XB‖2.

由

再結合定理4結論(2)有

‖|T|S-S|T|‖2≤‖TS-ST‖2.

即

那么‖|A|X-X|B|‖2≤‖AX-XB‖2.

于是由推論3有

即

3 總結

本文主要利用矩陣奇異值分解、譜分解、柯西不等式、分塊矩陣的主對角塊組成的準對角矩陣可以表示成其凸組合、正交投影、正規矩陣及Schattenp-范數的特性,深入討論了矩陣主對角線元素與矩陣Schattenp-范數之間的關系,刻畫了分塊矩陣與其主對角塊p-范數之間的關系,深入研究了矩陣與其伴隨換位子Schattenp-范數之間的關系,給出了矩陣的絕對值及換位子之間Frobenius范數的界,所得結果細化和深化的矩陣Schattenp-范數的已有結果,這使我們更加了解Schattenp-范數的性質以及為解決其量子信息數值問題奠定了基礎.