環(huán)狀光束在非Kolmogorov大氣湍流中傳輸?shù)睦碚撗芯?/h1>
2023-12-21 15:35:22段志春謝世偉黃永平
宜賓學院學報 2023年12期 關(guān)鍵詞：大氣
段志春，謝世偉，黃永平
（1.計算物理四川省高校重點實驗室，四川宜賓 644000；2.宜賓學院 理學部，四川宜賓 644000）
高斯光束通過環(huán)狀光闌會產(chǎn)生環(huán)狀光束，由于環(huán)狀光束在現(xiàn)代光學及原子光學中的廣泛實用性而受到人們的關(guān)注．激光束在自由空間中傳輸時會因衍射效應(yīng)而擴展，而大氣湍流引起的大氣折射率隨機起伏又將導致激光光場的隨機變化與散射，從而使激光束在大氣湍流中傳輸時會進一步擴展降低光束傳輸質(zhì)量．已有研究對環(huán)狀光束在各向同性且均勻的理想大氣湍流（即Kolmogorov 湍流）中的傳輸情況進行分析[1-7]，但實際的大氣并非總是理想的Kolmogorov 湍流，因此，研究激光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的傳輸對于研究激光光束在實際大氣中的傳輸及其應(yīng)用有著相當重要的意義．文獻[8]研究了非Kolmogorov 湍流對環(huán)狀光束的有效曲率半徑的影響，到目前為止，人們對環(huán)狀光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的光束擴展變化規(guī)律的研究還未見報道．本文利用廣義惠更斯-菲涅耳原理、非Kolmogorov 譜和強度二階矩定義，推導環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U展的表達式，并對計算結(jié)果進行一定的物理解釋．
1 理論模型
在柱坐標系下，環(huán)狀光束在入射面（z= 0）處的場分布可表示為[3,5,8]：
式中，r'為入射面上的橫向坐標，w0為偏心高斯光束的束腰寬度，p、q(q,p= 0,1,2…)表示環(huán)狀光束的階數(shù)，且q≥p．為了討論方便，式（1）略去了振幅常數(shù)因子．定義環(huán)狀光束的外徑為R1=(q+ 1)w0，內(nèi)徑為R2=(p- 1)w0，由此可以得到環(huán)狀光束的遮攔比為：，顯然0 ＜ε＜1．
假設(shè)一束準單色環(huán)狀光束從z= 0 面沿z軸在大氣湍流中傳播．源場處z= 0 面上的交叉譜密度函數(shù)為[8]：
根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式，環(huán)狀光束通過大氣湍流傳輸在z處出射面上的平均光強可以表示為：
式中，r'和r分別是初始面和觀察面的位置矢量，波數(shù)k= 2p/l，λ 為波長；z為傳播距離；ψ(r,r'1,z)表示湍流大氣對球面波影響的隨機相位因子，· 表示大氣湍流介質(zhì)的系綜平均，且[4]：
式中，J0是零階貝塞爾函數(shù)，Φn(κ)為大氣湍流的折射率起伏譜密度函數(shù)．對于非Kolmogorov 譜，Φn(κ)可表示為[9-10]：
其中：
式中，α為廣義指數(shù)參數(shù)，(Γ(5 -α2) )為伽馬函數(shù)，是廣義的湍流折射率起伏結(jié)構(gòu)常數(shù)（單位是m3-α）．當α= 11 3時，A(11 3)= 0.033，=，即為理想的大氣湍流Kolmogorov譜．
引入大氣湍流量表征湍流的影響強度：
將(5)式代入(10)式可以得到
式（11）表明，大氣湍流量T(α,l0,L0)與指數(shù)α、內(nèi)尺度l0和外尺度L0有關(guān)，T(α,l0,L0)值越大，湍流越強．
2 環(huán)狀光束在非Kolmogorov 湍流中束寬和角擴展
根據(jù)強度二階矩定義，在柱坐標系下，激光束在大氣湍流介質(zhì)中的二階矩束寬可表示為[4,6,11]：
將式(2)、(3)、(4)代入式(12)，經(jīng)過繁冗的計算后，可以推導出環(huán)狀光束在非柯爾莫哥洛夫湍流中的束寬擴展為：
式中，D-i為拋物線柱函數(shù)，且
根據(jù)角擴展的定義[6]
環(huán)狀光束的角擴展可表示為
分析式（13）和（17），在非Kolmogorov 譜大氣湍流中環(huán)狀光束的束寬和角擴展與光束的階數(shù)、束腰寬度、波長，遮攔比和湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0、廣義指數(shù)參數(shù)α以及傳輸距離z有關(guān)，它們會隨傳輸距離z的增加而明顯增大，光束不斷擴展，傳輸質(zhì)量變差．在式（13）中，等式右邊前面兩項代表光束在自由空間由于衍射引起的光束擴展，而第三項表明非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的光束擴展．當光束傳播距離非常短時，光束在傳輸過程中由于自身的衍射以及湍流的作用對光束擴展的影響都很小，此時起主要作用的是第一項，由光束參數(shù)來決定，光束擴展不明顯．但隨著傳輸距離逐漸增加，第二、三項的值明顯大于第一項的值，表明光束的擴展主要是光束自身的衍射和非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的．當傳輸距離足夠遠時，第三項起主要作用，即此時光束擴展主要由湍流的影響所致，與光束參數(shù)無關(guān)[12]．結(jié)合式（11），對給定的環(huán)狀光束在非Kolmogorov 譜大氣湍流作遠距離傳輸時，由于湍流的作用對其光束的束寬和角擴展的影響因素主要有湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α．
3 數(shù)值分析
圖1 描述了環(huán)狀光束的束寬擴展隨湍流的廣義指數(shù)參數(shù)α、外尺度L0和內(nèi)尺度l0的變化（計算參數(shù)分別為：p= 2、q= 5、ε= 1/6、w0= 0.05 m、λ=0.85 μm、C?2n= 2 × 10-15m3-α、z= 5 km、L0= 20 m和l0= 0.01 m）．
圖1 環(huán)狀光束的束寬擴展隨湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α的變化Fig.1 The beam width spreading of annular beams versus the outer scale L0, the inner scale l0 and parameter α of turbulence
從圖1 很明顯看出，當光束參數(shù)一定，湍流的折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)以及內(nèi)外尺度一定的情況下，由于廣義指數(shù)參數(shù)α的取值不同，光束的束寬擴展隨α的增加而先增大再減小的變化．在光束傳輸距離比較遠時（如z= 5 km)，湍流內(nèi)尺度的減小會導致環(huán)狀光束的束寬明顯增大，外尺度的變化對束寬擴展的影響相對較小，尤其是α＜3.6 時，外尺度的增加幾乎不引起環(huán)狀光束的束寬擴展．通過比較式（17）和（13）發(fā)現(xiàn)，由于非Kolmogorov 譜大氣湍流引起環(huán)狀光束的角擴展的變化規(guī)律與光束束寬擴展變化規(guī)律是相似的．
4 結(jié)語
本文基于廣義惠更斯—菲涅耳原理，利用非Kolmogorov 譜和強度二階矩定義，推導出環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U展的表達式，并對計算結(jié)果進行了一定的物理解釋．從理論上分析了在非Kolmogorov 湍流中傳輸?shù)沫h(huán)狀光束，由于自身衍射和湍流的共同作用，使光束展寬明顯，光束傳輸質(zhì)量降低．當傳輸距離足夠遠時，由于湍流的作用，湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)是對環(huán)狀光束的束寬和角擴展影α響的主要因素．在其他參數(shù)一定的情況下，環(huán)狀光束的束寬擴展和角擴展隨廣義指數(shù)參數(shù)α的增加呈先增加后減小的變化，隨湍流內(nèi)尺度的增加而減小，隨外尺度的增加而增加（3.6 ＜α＜4），在α＜3.6 區(qū)域，環(huán)狀光束的束寬擴展和角擴展幾乎不受湍流外尺度改變的影響．該結(jié)論對環(huán)狀光束在實際光通信應(yīng)用中有重要的潛在意義．
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高斯光束通過環(huán)狀光闌會產(chǎn)生環(huán)狀光束，由于環(huán)狀光束在現(xiàn)代光學及原子光學中的廣泛實用性而受到人們的關(guān)注．激光束在自由空間中傳輸時會因衍射效應(yīng)而擴展，而大氣湍流引起的大氣折射率隨機起伏又將導致激光光場的隨機變化與散射，從而使激光束在大氣湍流中傳輸時會進一步擴展降低光束傳輸質(zhì)量．已有研究對環(huán)狀光束在各向同性且均勻的理想大氣湍流（即Kolmogorov 湍流）中的傳輸情況進行分析[1-7]，但實際的大氣并非總是理想的Kolmogorov 湍流，因此，研究激光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的傳輸對于研究激光光束在實際大氣中的傳輸及其應(yīng)用有著相當重要的意義．文獻[8]研究了非Kolmogorov 湍流對環(huán)狀光束的有效曲率半徑的影響，到目前為止，人們對環(huán)狀光束在非Kolmogorov 大氣湍流中的光束擴展變化規(guī)律的研究還未見報道．本文利用廣義惠更斯-菲涅耳原理、非Kolmogorov 譜和強度二階矩定義，推導環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U展的表達式，并對計算結(jié)果進行一定的物理解釋．
1 理論模型
在柱坐標系下，環(huán)狀光束在入射面（z= 0）處的場分布可表示為[3,5,8]：
式中，r'為入射面上的橫向坐標，w0為偏心高斯光束的束腰寬度，p、q(q,p= 0,1,2…)表示環(huán)狀光束的階數(shù)，且q≥p．為了討論方便，式（1）略去了振幅常數(shù)因子．定義環(huán)狀光束的外徑為R1=(q+ 1)w0，內(nèi)徑為R2=(p- 1)w0，由此可以得到環(huán)狀光束的遮攔比為：，顯然0 ＜ε＜1．
假設(shè)一束準單色環(huán)狀光束從z= 0 面沿z軸在大氣湍流中傳播．源場處z= 0 面上的交叉譜密度函數(shù)為[8]：
根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式，環(huán)狀光束通過大氣湍流傳輸在z處出射面上的平均光強可以表示為：
式中，r'和r分別是初始面和觀察面的位置矢量，波數(shù)k= 2p/l，λ 為波長；z為傳播距離；ψ(r,r'1,z)表示湍流大氣對球面波影響的隨機相位因子，· 表示大氣湍流介質(zhì)的系綜平均，且[4]：
式中，J0是零階貝塞爾函數(shù)，Φn(κ)為大氣湍流的折射率起伏譜密度函數(shù)．對于非Kolmogorov 譜，Φn(κ)可表示為[9-10]：
其中：
式中，α為廣義指數(shù)參數(shù)，(Γ(5 -α2) )為伽馬函數(shù)，是廣義的湍流折射率起伏結(jié)構(gòu)常數(shù)（單位是m3-α）．當α= 11 3時，A(11 3)= 0.033，=，即為理想的大氣湍流Kolmogorov譜．
引入大氣湍流量表征湍流的影響強度：
將(5)式代入(10)式可以得到
式（11）表明，大氣湍流量T(α,l0,L0)與指數(shù)α、內(nèi)尺度l0和外尺度L0有關(guān)，T(α,l0,L0)值越大，湍流越強．
2 環(huán)狀光束在非Kolmogorov 湍流中束寬和角擴展
根據(jù)強度二階矩定義，在柱坐標系下，激光束在大氣湍流介質(zhì)中的二階矩束寬可表示為[4,6,11]：
將式(2)、(3)、(4)代入式(12)，經(jīng)過繁冗的計算后，可以推導出環(huán)狀光束在非柯爾莫哥洛夫湍流中的束寬擴展為：
式中，D-i為拋物線柱函數(shù)，且
根據(jù)角擴展的定義[6]
環(huán)狀光束的角擴展可表示為
分析式（13）和（17），在非Kolmogorov 譜大氣湍流中環(huán)狀光束的束寬和角擴展與光束的階數(shù)、束腰寬度、波長，遮攔比和湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0、廣義指數(shù)參數(shù)α以及傳輸距離z有關(guān)，它們會隨傳輸距離z的增加而明顯增大，光束不斷擴展，傳輸質(zhì)量變差．在式（13）中，等式右邊前面兩項代表光束在自由空間由于衍射引起的光束擴展，而第三項表明非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的光束擴展．當光束傳播距離非常短時，光束在傳輸過程中由于自身的衍射以及湍流的作用對光束擴展的影響都很小，此時起主要作用的是第一項，由光束參數(shù)來決定，光束擴展不明顯．但隨著傳輸距離逐漸增加，第二、三項的值明顯大于第一項的值，表明光束的擴展主要是光束自身的衍射和非Kolmogorov 譜大氣湍流引起的．當傳輸距離足夠遠時，第三項起主要作用，即此時光束擴展主要由湍流的影響所致，與光束參數(shù)無關(guān)[12]．結(jié)合式（11），對給定的環(huán)狀光束在非Kolmogorov 譜大氣湍流作遠距離傳輸時，由于湍流的作用對其光束的束寬和角擴展的影響因素主要有湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α．
3 數(shù)值分析
圖1 描述了環(huán)狀光束的束寬擴展隨湍流的廣義指數(shù)參數(shù)α、外尺度L0和內(nèi)尺度l0的變化（計算參數(shù)分別為：p= 2、q= 5、ε= 1/6、w0= 0.05 m、λ=0.85 μm、C?2n= 2 × 10-15m3-α、z= 5 km、L0= 20 m和l0= 0.01 m）．
圖1 環(huán)狀光束的束寬擴展隨湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)α的變化Fig.1 The beam width spreading of annular beams versus the outer scale L0, the inner scale l0 and parameter α of turbulence
從圖1 很明顯看出，當光束參數(shù)一定，湍流的折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)以及內(nèi)外尺度一定的情況下，由于廣義指數(shù)參數(shù)α的取值不同，光束的束寬擴展隨α的增加而先增大再減小的變化．在光束傳輸距離比較遠時（如z= 5 km)，湍流內(nèi)尺度的減小會導致環(huán)狀光束的束寬明顯增大，外尺度的變化對束寬擴展的影響相對較小，尤其是α＜3.6 時，外尺度的增加幾乎不引起環(huán)狀光束的束寬擴展．通過比較式（17）和（13）發(fā)現(xiàn)，由于非Kolmogorov 譜大氣湍流引起環(huán)狀光束的角擴展的變化規(guī)律與光束束寬擴展變化規(guī)律是相似的．
4 結(jié)語
本文基于廣義惠更斯—菲涅耳原理，利用非Kolmogorov 譜和強度二階矩定義，推導出環(huán)狀光束在大氣湍流中傳輸?shù)氖鴮捄徒菙U展的表達式，并對計算結(jié)果進行了一定的物理解釋．從理論上分析了在非Kolmogorov 湍流中傳輸?shù)沫h(huán)狀光束，由于自身衍射和湍流的共同作用，使光束展寬明顯，光束傳輸質(zhì)量降低．當傳輸距離足夠遠時，由于湍流的作用，湍流的外尺度L0、內(nèi)尺度l0和廣義指數(shù)參數(shù)是對環(huán)狀光束的束寬和角擴展影α響的主要因素．在其他參數(shù)一定的情況下，環(huán)狀光束的束寬擴展和角擴展隨廣義指數(shù)參數(shù)α的增加呈先增加后減小的變化，隨湍流內(nèi)尺度的增加而減小，隨外尺度的增加而增加（3.6 ＜α＜4），在α＜3.6 區(qū)域，環(huán)狀光束的束寬擴展和角擴展幾乎不受湍流外尺度改變的影響．該結(jié)論對環(huán)狀光束在實際光通信應(yīng)用中有重要的潛在意義．
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