大型行星輪系功率分流分析與疲勞可靠性研究

屈力剛，張格格，2，李銘

(1.沈陽航空航天大學機電工程學院，遼寧沈陽 110136；2.鄂爾多斯應用技術學院大飛機學院，內蒙古鄂爾多斯 017010)

0 前言

重型直升機在國防軍事和國民經濟發展中有著舉足輕重的作用，其服役時間比普通直升機更長，性能要求更高。直升機的主減速器是直升機關鍵部件之一，其作用是按比例將發動機的功率分配到旋翼、尾槳等多個附屬構件。行星傳動系統是直升機三大關鍵動力部件之一，相比于其他平行軸齒輪系統，行星齒輪具有功率密度更高、質量更輕、可靠性更高等顯著優勢。然而，由于存在制造誤差、彈性變形等不可避免因素，導致每個行星齒輪的載荷無法按照理想情況均勻分配，產生偏載現象。一旦功率分配不均衡，行星齒輪傳動系統將產生沖擊和噪聲，直接制約傳動系統的可靠性和疲勞壽命[1-2]。

針對該問題，國內外學者做了大量研究。秦大同等[3]根據應力-強度干涉理論建立動態可靠性模型，利用二階矩和攝動方法計算出可靠度。魏興春等[4]通過分析2種失效模式的齒輪傳動可靠性，解決了可靠性計算量偏大問題，同時提高了可靠性估計精度。陳瑞濤[5]以風電機組為研究對象，利用雨流計數法統計應力-時間歷程，根據疲勞累計損傷理論估算各部件的疲勞壽命。毛天雨等[6]建立了考慮強度退化與失效相關性的動態可靠性分析模型，通過Copula函數總結了齒輪傳動系統可靠性演化規律。ZHOU等[7]基于可靠性的敏感性指數研究隨機輸入變量的參數意義，以牽引單元齒輪傳動系統為例，說明了動態可靠性和可靠性靈敏度分析方法的工程應用可行性。LI[8]結合齒輪的失效機制分析和斷裂分析，給出了齒輪的失效模式，通過隨機刪失數據的統計方法對模型進行了驗證，證明了模型具有良好的預測能力和處理少量數據的優勢。SAVARIA等[9]提出了一種使用航空感應表面硬化正齒輪表征各種梯度復雜零件的實驗方法，考慮殘余應力、微觀結構變化和表面粗糙度的三維疲勞模型可用于預測彎曲疲勞極限。ZHANG等[10]對失效機制進行了歸納，表明失效的原因是加工誤差導致齒根圓角處應力集中過大，壽命降低，最后提出了一些提高可靠性的調整建議。

本文作者以某重型直升機傳動系統行星輪系為研究對象，基于某型號重型直升機行星減速器的結構特征，構建大型行星輪系的有限元仿真模型，同時對行星傳動系統進行準靜態力學和運動學分析，獲得系統中各類齒輪的危險應力歷程，再根據Miner線性疲勞累計損傷理論將行星輪的脈動載荷歷程轉為等效恒幅載荷；并基于齒輪彎曲疲勞試驗與最小次序統計量的轉化方法擬合輪齒概率疲勞強度，為系統可靠性分析模型提供經濟有效的載荷與強度輸入變量。據此，建立從大型行星輪系關鍵結構要素到系統疲勞可靠度的映射路徑，計算行星輪系在均載和偏載狀態下的可靠度，證明偏載會嚴重影響系統的疲勞可靠性，降低齒輪的有效使用壽命。

1 行星傳動系統

某重型直升機行星傳動機構主要由太陽輪、行星齒輪、固定內齒圈以及相應的支撐軸、軸承、行星架組成，根據表1中行星齒輪的相關參數在旋轉大師中完成剛柔耦合仿真模型建立。如圖1所示，太陽輪集成于輸入軸上進行功率輸入，5個行星輪起功率傳遞作用，行星架與輸出軸連接，完成功率輸出。

圖1 行星傳動機構有限元模型

2 載荷分配分析

2.1 均載分析

均載是指太陽輪傳遞給各行星輪的功率被平均分配，傳遞的嚙合力大小相等。如圖2所示，均載狀態下，由于齒輪嚙合力的作用，行星輪沿太陽中心存在一定向外偏移的距離，利用坐標系將其偏移量放大200倍，發現5個行星輪的偏移量相同，行星輪的中心落在同一個圓上，此時它對太陽輪的徑向力為0。在機構的額定工況(輸入功率為600 kW)下，傳遞給各行星輪的功率均為120 kW，整個行星機構處于均載狀態。

圖2 均載分析

2.2 偏載分析

行星輪系存在多種傳動組合方式和功率流走向，每種載荷工況都能傳遞功率流，功率流不同的路徑分配決定行星系統的工作狀態也不同。功率在分配過程中不能達到完美均分，如圖3所示，此時機構中各個行星輪受到的嚙合力出現差異，各個行星輪產生的位移量也不同(見圖4)，行星輪的功率流隨之改變，發生偏載，齒輪的疲勞可靠性降低。

圖3 偏載分析

圖4 節點合位移仿真示意

3 疲勞可靠性研究

3.1 運動學分析

行星傳動結構簡圖如圖5所示。已知太陽輪a，行星輪g，內齒圈b以及行星架x的絕對角速度為?a、?g、?b及?x，根據相對角速度的傳動比定義，a和g相對于構件b運動時的角速度之比為

圖5 行星傳動結構簡圖

(1)

構件a和b相對于構件g運動時的角速度之比為

(2)

等號兩邊相加得：

(3)

根據相對傳動比：

(4)

可得該行星齒輪傳動的角速度關系式為

(5)

根據式(5)可以得到行星齒輪機構的運動學方程式為

(6)

式中：λ為行星機構的內傳動比，λ=Zb/Za，Zb與Za分別表示內齒輪b和太陽輪a的齒數。根據式(6)可以得到太陽輪、行星輪、內齒輪三者與行星架的相對轉速及相對嚙合齒數，其運動參數如表2所示。

表2 運動參數

根據表2中的運動學參數，可以把太陽輪的角速度轉換成行星架的角速度，從而可以通過改變行星架的旋轉角度得到目標齒的載荷歷程，為可靠性分析與計算提供理論依據。

3.2 齒根彎曲應力計算

對于齒輪的疲勞失效，齒根彎曲疲勞是眾多齒輪傳動系統的設計與校核中重要的一環，也是齒輪最常見的失效模式之一，齒輪的損傷(如掉齒、斷齒等)會使整個傳動系統突然失效，從而使直升機行星傳動系統喪失工作能力，造成嚴重后果。因此，將齒根彎曲疲勞失效作為行星齒輪傳動疲勞可靠性分析與評價的指標。

假定將單對齒發生嚙合時的所有載荷完全作用于齒頂，得到嚙合過程中危險截面上最大彎曲應力的法向力為

(7)

其中：T1和d1分別為主動輪的轉矩和分度圓直徑；α為壓力角。

齒輪的計算載荷在傳動中可以表達為

Fnc=KFn

(8)

其中：K為載荷系數，由多種系數組成，即K=KAKVKαKβ，KA表示使用系數，KV表示動載系數，Kβ齒向載荷分布系數，Kα表示齒間載荷分配系數。

當不考慮齒面的摩擦力時，法向力可以分為2個方向的力，如圖6所示。由于剪應力和徑向力產生的壓應力較小，一般不考慮。

圖6 30°切線法

因此，齒根彎曲應力的值為

(9)

將式(7)(8)代入式(9)得：

(10)

(11)

由上式計算所得就是受載齒根危險截面處的最大拉應力，并且將最大拉應力出現的嚙合位置定義為危險嚙合位置。

3.3 載荷譜計算

通過之前的仿真可知，當行星輪系處于偏載狀態時，行星輪的旋轉位置不同，其輸出功率不同，齒根彎曲應力也會隨之改變。太陽輪在與行星輪嚙合的過程中，每次發生危險嚙合的位置都不同，所以在偏載狀況時，太陽輪輪齒的齒根彎曲應力也會隨著位置改變而改變。但由于內齒輪固定于箱體，輪齒位置不發生改變，所以內齒輪的輪齒彎曲應力是不變的。

文中將5個行星輪中任一輪齒作為目標齒計算內齒輪處于偏載狀態下的齒根彎曲應力值，根據前面所求的運動學參數，計算出一個行星輪自轉一圈時行星架的旋轉角度，在軟件中計算出目標齒與內齒輪每一次嚙合時的應力，就能得到偏載狀態下內齒輪的齒根彎曲應力值。如圖7所示，進行40次實驗后，發現內齒輪的齒根彎曲應力是具有周期性的脈動隨機載荷歷程。文中行星輪系中齒輪材料均為20CrMnTi，已知20CrMnTi滲碳齒輪的彎曲疲勞極限在400 MPa左右[11]。在偏載狀態下，內齒輪上約有40%的齒根彎曲應力值超過疲勞極限，因此，這些輪齒成為研究疲勞可靠性的關鍵。

圖7 內齒輪齒根彎曲應力

而對于太陽輪與行星輪而言，輪齒危險嚙合位置不固定，在偏載狀態下，影響其可靠性的關鍵部位應該是太陽輪與行星輪在高應力嚙合區嚙合頻繁的某些固定輪齒。

對于太陽輪來說，如圖8所示，當其逆時針旋轉時，跟蹤目標齒的嚙合軌跡，發現第一個危險嚙合位置出現在與一號行星輪嚙合時。太陽輪繼續旋轉，到達第二個危險嚙合位置(與二號行星輪嚙合)時，第一個位置與第二個位置之間的角度為92.75°。太陽輪繼續旋轉，到達第三個危險嚙合位置時，與第二個位置之間的角度也為92.75°。以此類推，每2個相鄰危險嚙合位置的角度都為92.75°。由此可以發現，太陽輪的目標齒危險嚙合位置并不是在某段，而是圍繞太陽輪均布于整個圓周。在行星輪系中，由于5個行星輪是以中心為圓心呈等間距分布，因此太陽輪的其他輪齒與目標齒結果一樣。因此，太陽輪本身不存在影響其可靠性的輪齒。

偏載狀態下太陽輪目標齒與行星輪依次嚙合40次的載荷歷程如圖9所示，太陽輪的齒根彎曲應力值均小于300 MPa，即在額定工況下，太陽輪的輪齒均不會發生彎曲疲勞，因此其可靠度為1。

圖9 太陽輪齒根彎曲應力

將5個行星輪的目標齒嚙合40次的齒根彎曲應力表示如圖10所示，由于5個行星輪均勻分布，所以每個行星輪的輪齒與目標齒載荷歷程相同，在偏載的狀態下，行星輪上也不存在影響其可靠度的輪齒。

圖10 行星輪目標齒載荷歷程

3.4 齒輪彎曲疲勞試驗

為了計算行星齒輪系統的疲勞可靠性，需要通過彎曲疲勞試驗獲得特定齒輪的壽命計算出其彎曲疲勞p-S-N曲線。由于行星輪系各個齒輪模數均相同，可認為其承載能力相似，因此只需選擇特定參數齒輪做疲勞試驗，就可以得出行星輪系所有齒輪的疲勞壽命。

齒輪試樣和試驗設備如圖11所示。為了保證試驗結果能夠充分表示實際齒輪的強度，齒輪試樣的材料和工藝等參數應最大程度上與重型直升機中的齒輪相同。因此試驗中所有齒輪使用的加工設備及工藝流程相同，并且采用同一個鍋爐進行熱處理。

圖11 齒輪試樣

試驗設備采用功率流封閉原理進行工作，有效地模擬輪齒的實際工作狀態，如圖12所示，試驗設備以機械杠桿方式加載，試驗全程電動機轉速不變，試驗的其他詳細要求參見GB/T 14230。

圖12 試驗設備

利用成組法在3個應力等級下進行齒根彎曲疲勞試驗。在恒幅循環應力作用下，載荷水平越低齒輪疲勞壽命數據越分散。因此在最大彎曲應力645 MPa的等級下采用17個數據點，應力等級降低時增加試驗點數量，618 MPa應力等級下采用21個數據點；當應力等級降到586 MPa時，試驗數據的分散性明顯增加，因此在此等級采用28個數據點[12]。

使用兩參數威布爾分布函數擬合各個應力等級下的試驗數據，相關數據如表3所示，擬合結果如圖13所示，威布爾概率密度曲線如圖14所示。

表3 試驗數據擬合參數

圖13 威布爾分布擬合結果

圖14 威布爾概率密度曲線

3.5 可靠度計算

最小次序統計量的概念是假設X1，X2，…，Xn是從整體X中隨機取出的樣本，然后在樣本中取最小值，重復以上步驟，Xmin=min(X1，X2，…，Xn)為總體X的最小次序統計量。將齒輪視為最小次序統計量中的總體，然后每個齒輪被視為系統的一部分。當齒輪中的任一輪齒出現故障時，齒輪將無法完成指定的功能，此時齒輪系統將出現故障，因此可以將它視為一個機械串聯系統。將串聯系統結合最小次序統計量的概念共同運用在可靠性模型的建立中，壽命分布關系如圖15所示。

圖15 齒輪與輪齒的壽命分布關系

即使選擇兩批材料與齒輪參數完全相同的齒輪，仍然很難保證滲碳溫度、滲碳時間等所有工藝規程完全相同，使得這兩批齒輪的彎曲應力值可能不同。這些因素共同作用會導致輪齒的疲勞可靠性不同[13-16]。但是對于同一個齒輪來說，其制造過程、材料性能等幾乎完全一樣，在理論上可以認為齒輪的概率壽命是獨立隨機分配變量，其輪齒的壽命也可認為來自相同的母體，這是采用最小次序統計量的前提[17]。

若總體X的概率密度函數為f(x)，累積分布函數為Fa(x)，則最小次序統計量的概率密度函數為

g(x)=Z[1-F(x)]Z-1f(x)

(12)

其中：Z表示齒數；x表示輪齒的載荷作用次數。將上式兩邊進行積分，就可以得到輪齒概率壽命的最小次序統計量累積分布函數G(x)，即齒輪的壽命累積分布函數為

G(x)=1-[1-F(x)]Z

(13)

變換式(13)，將輪齒的壽命用齒輪的壽命表示，得到的累積分布函數為

F(x)=1-[1-G(x)]1/Z

(14)

一般情況下，可以用兩參數威布爾分布函數來表示齒輪的疲勞壽命[18]，累積分布函數為

G(x)=1-exp[-(x/θ)β]

(15)

將式(15)代入式(14)中可得：

F(x)=1-exp{[-x/(θZ1/β)]β}

(16)

式(16)表明可以通過函數關系將齒輪的概率壽命轉換為輪齒的概率壽命，接下來通過齒輪的疲勞試驗來獲得輪齒的強度信息。已知輪齒的壽命關系由齒輪的壽命轉化而來[17]，其轉化過程如圖16所示。

圖16 齒輪與輪齒的壽命分布轉換

采用最小二乘法，對各應力級下輪齒壽命的概率密度曲線的相同可靠度分位點進行線性擬合，得到輪齒的p-S-N曲線[17]。

采用行星齒輪的變幅載荷歷程進行疲勞可靠性預測，則要用Miner線性疲勞累積損傷的理論知識，將脈動的變幅載荷歷程轉換為等效恒幅載荷歷程。假設嚙合一次所造成的損傷為D=1/N，那么在脈動隨機載荷狀態時，n次嚙合所導致的損傷就是將每次導致的損傷累加，即

(17)

一般輪齒都具有較長的彎曲疲勞壽命，并且根據載荷歷程可知它具有周期性且高低交替，因此運用Miner理論時，無需考慮載荷的作用次序，將臨界疲勞損傷值設置在1左右[19]。

由于試驗的齒輪是單向受載，內齒圈也是單向承受載荷，所以可以直接進行等效恒幅載荷的轉換。以一個周期為例進行計算，如表4所示。

表4 內齒輪載荷轉換示例

行星輪在嚙合過程中輪齒是雙向承受載荷，在同一應力等級下，比單向受載的輪齒更易發生疲勞損傷，因此運用Miner理論時，應將輪齒的極限應力降低30%[17]。由于行星輪系中齒輪的模數相等，可認為其疲勞壽命相近，可采用同一條p-S-N曲線進行計算。

以2號行星輪為例，將脈動隨機載荷轉換為等效恒幅載荷，如表5所示。同理可得，5號行星輪的等效恒幅載荷為411 MPa。

表5 行星輪載荷轉換示例

對于太陽輪來說，所有輪齒的載荷信息都相同，根據目標齒的齒根彎曲應力值可以得到其輪齒在σa應力等級下的壽命分布函數為Fa(x)，因此，太陽輪可靠度的表達式為

Ra(x)=[1-Fa(x)]Za

(18)

自變量x表示輪齒的載荷作用次數，同理可得行星輪可靠度表示為

Rg(x)=[1-Fg(x)]Zg

(19)

內齒輪的可靠度可以表示為

Rb(x)=1-Fb(x)

(20)

由可靠性的乘積定理，行星輪系的可靠度為

(21)

將式(18)(19)(20)代入式(21)可得：

Rs(t)=[1-Fa(x)]Za[1-Fg(x)]Zgnc[1-

Fb(x)]

(22)

由于行星輪系中各齒輪的轉速不相等，根據前面所求的運動學參數，將載荷作用次數統一換算為行星輪系的運行時間t，因此，行星輪系的可靠度表達式為

(23)

將輪齒的兩參數威布爾分布代入上式，整理得：

(24)

其中：θa、βa分別表示σa應力等級下太陽輪輪齒壽命分布的尺度參數和形狀參數；同樣，θg、βg分別表示行星輪輪齒σg應力等級下壽命分布的尺度參數和形狀參數。

在額定工況下[20]，當行星輪系運行15 h時，其可靠度的計算結果如表6、7所示。可以看出：在偏載狀態下，行星輪系的可靠度明顯降低。

表6 均載狀態的可靠度計算結果

表7 偏載狀態的可靠度計算結果

4 結論

對于重型直升機來說，其行星傳動中行星輪系的偏載問題不可忽視。文中基于某重型直升機的行星輪系，構建剛柔耦合仿真模型，進一步討論了偏載對其疲勞可靠性的影響。通過以上研究，獲得主要結論如下：

(1)利用Miner累積損傷理論將復雜隨機應力歷程轉化為等效恒幅循環應力，為可靠性分析提供了載荷輸入變量。

(2)通過仿真計算，得出行星輪系的載荷歷程及輪齒的齒根彎曲應力值，完成可靠度的計算。行星輪系處于均載時可靠度為98.6%，符合航空領域對于可靠度的要求。

(3)在行星架銷孔位置誤差的影響下，行星輪系發生偏載時，其可靠度降到92.32%，證明偏載會影響系統疲勞可靠性，降低齒輪的有效使用壽命。在行星輪系服役過程中，要注意避免偏載發生。