自回歸分析法在建筑物沉降監測中的應用

張耀文 孫 豪 鄒春紅 蘇淑娟 張振晗

(山東省地震局煙臺地震監測中心站,山東 煙臺 264000)

0 引言

建筑物變形監測和分析的重點是研究建筑物的空間特性和動態變化。目前采取的主要方法是周期性觀測變形特征點，通過監測數據的篩選、處理分析和模擬計算，表征監測點變形量(例如沉降、位移等)與時間的函數關系，進而呈現建筑物變化規律。變形監測數據模擬方法較多，常用的有時間序列法、卡爾曼濾波、小波分析、回歸分析法、神經網絡等。

回歸分析法是指根據數理統計原理，以大樣本數據為基礎，建立自變量與因變量之間的數學表達式，并以此預測后期因變量變化情況的方法。建筑物變形分析中，使用回歸分析方法建立變形量與影響因子間的數學函數式，即回歸方程，根據建立的回歸方程分析建筑物的變形情況，并利用回歸方程預報未來某時刻的位移量[1]。本文采用自回歸模型(Autoregressive Model, 簡稱AR)對建筑物的特征點觀測數據進行變形分析。自回歸模型依據建筑物變形量與時間存在的函數關系，使用實時監測變形數據建立模型，通過模型階數求解及F檢驗準確性，最終確定動態預報方程。

1 自回歸分析模型最小二乘估計

1.1 自回歸分析模型

模型的數學表達式:

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+at

(1)

Vt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+at-xt
t=p+1,p+2,…,N

(2)

矩陣形式為:

V=Xφ-Y

(3)

其中:

按最小二乘得自回歸模型系數為:

φ=(XTX)-1XTY

(4)

1.2 自回歸分析模型階數P的確定

模型階數P的確定,在時間序列分析理論中是隨著自回歸模型同時確定的,要借助于自相關函數和偏相關函數[3]。變形數據分析時,若采用AR模型,一般使用線性假設法確定階數P。

線性假設法[4]的原理是:先設階數為P-1,進行平差,求得其殘差平方和EP-1,再設階數為P進行平差,將求得的殘差平方和EP,考慮自由度與P-1階比較,如果結果差別并不顯著,P階不必考慮,即采用P-1階為宜,其平差模型為在(2)式下再附加線性假設條件。

HP∶φP=0

(5)

聯合(2)和(5)式平差,即為P-1階模型,殘差平方和EP-1=(VTV)P-1。若不計算(5)式,即是P階模型,平差得EP=(VTV)。

作F檢驗統計量[5]:

(6)

選定顯著水平α,查F分布表得分位值F(α,1,N-2P),如F>F(α,1,N-2P),則線性假設H0不成立,φP≠0,p階與p-1階模型有顯著性差別應采用P階,否則說明p階與p-1階沒有顯著性的差別。

2 應用算例

某市某樓盤,周圍布設變形點16個,進行一系列沉降觀測,觀測周期為7天。本文對變形點(D8)進行自回歸模型分析與預報。前12期數據作為自回歸模型的建模和正確性檢驗的數據,求得動態預測模型后對后面的3期數據進行預測。D8點的原始觀測數據列于表1。

表1 D8點原始沉降觀測數據表 單位:mm

2.1 模型階數p的確定

當P=1時,xt=φ1xt-1+at(t=2,3,…,12),求得E1=0.038 0。

當p=2時,xt=φ1xt-1+φ2xt-2+at(t=3,4,…,12),求得E2=0.030 3。

統計檢驗:

F(0.05,1,8)=5.32F

當p=3時,xt=φ1xt-1+φ2xt-2+φ3xt-3+at(t=4,5,…,12),求得E3=0.028 1。

統計檢驗:

F(0.05,1,6)=5.99F

檢驗結果表明p=3不顯著,故應取模型階p=2。

2.2 模型參數估計

由(4)式得:

自回歸分析模型方程為:

xt=φ1xt-1+φ2xt-2=0.026 5xt-1+0.9728xt-2。

2.3 自回歸模型分析與預報

根據最小二乘估計求的模型方程,對后面的3期數據進行預報計算。計算成果列于表2。自回歸模型的計算值與實測值比較見圖1。

表2 自回歸分析模型預測值與實測值比較 單位:mm

預報結果顯示,自回歸模型預報精度較高,最小誤差2mm,最大誤差8mm,在建筑物變形監測數據處理中是切實可行的,預報誤差具有一定的累積性,隨著預報步數的增大,預報誤差逐漸變大,因此,可以通過實時加入新的觀測數據已修改模型。

圖1 自回歸分析模型殘差表

由圖1可知:自由回歸模型的擬合誤差在5mm以內,個別點最大為6mm,由于變形監測周期為7天,所以沉降速度小于1mm/d,這與建筑物實際的均勻沉降狀態相吻合。而在15期的預測值,沉降速度超過2mm/d,主要原因在于其為三步預報過程,有前兩期預報值的累積誤差,需將前兩期的觀測數據加入自回歸模型修正后,再計算預報值。以上數據表明,自回歸模型是有效的用于建筑物沉降預測的模型,模擬結果符合建筑物的動態變形規律。

3 結 語

本文通過實例計算給出了自回歸模型在建筑物變形監測數據處理中的全過程,證明了此方法切實可行,且精度較高。但在使用過程中有如下幾點不足:

(1)自回歸模型隨著預報步數增加，精度逐漸下降，為提高預報精度，需及時增加新觀測數據，重新計算模型，以提高短期預報精度。

(2)模型主要應用于線性數據處理，對非線性數據處理結果精度較低，若對非線性數據處理時，需前期對原始數據進行數據預處理，以提高數據處理精度。

(3)自回歸模型計算過程中，實測數據相對較少，模擬過程具有一定的偶然因素，可通過后期大量監測數據進行驗證。