問題引領下的“多樣化”與“優化”

高雅

小學適切教學體系的理念強調“適于兒童，切合思維”。在此理念引領下，小學數學問題引領的教學鼓勵課堂選擇適合兒童的活動化、游戲化等學習方式，并通過問題來引領學生自主思考和探究。問題引領教學鼓勵問題提出后，學生先調動自己的生活經驗和原有的思維方式自主解決問題，這是一個問題解決“多樣化”的過程，不同的學生往往表現出不同的認識和理解，所采用的方法也不一定相同，其中難免會有錯漏。在此基礎上，教師再進行話題聚焦，組織交流分享，通過比較、分析、評價、反思等，將學生原有的經驗和認知以及解決問題的方法與新知之間建立聯系，從而實現自我方法與數學方法之間的聯系與對接，這是一個思維“優化”的過程。那么，教師應如何處理好思維的“多樣化”與“優化”的關系呢？下面以《包裝中的學問》教學改進為例來談談相關的思考。

一、試課時的發現和存在的問題

試課時，教師先后設計了兩個核心問題：

2盒維他奶包成一包，有幾種不同的方案？哪種包裝方案最節省包裝紙？

4盒維他奶包成一包，有幾種不同的方案？哪種包裝方案最節省包裝紙？

兩個核心問題的解決路徑和方式差不多，都是采用小組學習的方式先用維他奶擺一擺，找出所有的包裝方案；然后在學習單上算出每種包裝方案所需要的包裝紙并進行數據匯報；最后對比數據，找出最省包裝紙的方案，從而實現問題的解決。

第一個問題方案少，數據小，學生解決起來比較順利；第二個問題就比較復雜，有6種方案，計算量非常大，盡管小組成員已經做了分工，每個人只需要計算1到2種方案，但獨立計算、匯報計算結果、修正計算錯誤依然花費了大量時間。

課后，上課的小李老師有些困惑和沮喪，她感覺一節綜合實踐領域的活動課似乎變成了一節長方體表面積的計算練習課，課堂顯得沉悶、枯燥而無味。最后設計的素材“超市的包裝節約包裝紙嗎？”原本是想通過展示讓學生感受和體驗商品的包裝不止考慮節約包裝紙這一個角度，還有美觀、醒目、便于攜帶等不同角度，但也因為時間不夠未能呈現。

二、針對問題進行教學分析與改進

商品中的包裝不只考慮節約包裝紙這一個角度，“超市的包裝節約包裝紙嗎？”這一設計能培養學生看待問題的多元視野，有時間的情況下這個設計還是很有必要的。但對于“包裝中的學問”來說，這可能還不是最重要的。

1.包裝中到底有什么學問？

《包裝中的學問》屬于綜合與實踐領域，綜合與實踐是以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標的。從這個角度來說，這節課顯然是要利用長方體表面積的相關知識來探索多個相同長方體疊放后使其表面積最小的最優策略。因此，將“節約包裝紙”這個生活問題轉化為“表面積最小”這個數學問題是其中的學問之一，這對學生來說不難，稍作思考和交流學生就能建立這樣的認知。關鍵是“哪種包裝方案表面積最小呢？”這個問題就很有學問了。首先要探索有多少種不同的方案，這是培養學生空間想象能力的過程；其次是要在這些方案當中找到最能節約包裝紙的方案，也就是表面積最小的方案，這是發展學生優化思想的過程。也可以說，“優化”解決問題的方法是包裝中的學問之魂。

2.如何發展學生的優化意識和優化能力？

這里其實涉及兩個層面的優化，第一個層面就是優化包裝方案，也就是解決“哪種方案最節約包裝紙？”的問題。

只能通過計算每種方案的結果來比較才能解決嗎？顯然不是。如果所有學生都只是不假思索地埋頭計算各種方案所需要的包裝紙，再通過計算結果選出最優方案，這不僅沒有優化思想的滲透，甚至是在僵化學生的思想。為什么這么說呢？我們來看兩盒維他奶的三種包裝方案（見圖1）：

當學生拿著兩盒維他奶，擺出上述三種包裝方案時，他能不能直觀判斷哪種包裝的表面積最小？我們需不需要培養他這樣的數感和量感？答案是肯定的，只要我們拋出問題：“你覺得哪種包裝的表面積最小？”再稍微給一點時間，讓他們擺弄、思考、交流，他們一定不需要通過計算就能有理有據地說明“兩個最大的面重合后，得到的新長方體的表面積一定是最小的”。道理一看就明：單盒維他奶有6個面，兩盒維他奶12個面，每種包裝方式都是在12個面的基礎上重疊掉兩個面，那當然是重疊掉兩個最大的面，剩下的面積就最小。這樣看一看、想一想就能推理出確定結論的問題還需要埋頭苦算嗎？教學中，我們恰恰應該鼓勵學生用自己的方法去判斷、去分析、去推理，實現問題的解決，而不是馬上就僵化地去運算。

那么運算有沒有必要呢？當然有必要。什么時候需要運算呢？在面對復雜問題，憑感覺無法確定判斷時，就需要進行確定的運算來佐證。比如：“四盒維他奶的包裝方案，哪種更省包裝紙？”（見圖2）

顯然，學生借助解決第一個問題的活動經驗和辦法就不能完全解決這個問題。① ③ ⑤是可以直觀判斷、稍作推理就能排除的，但是② ④ ⑥就比較接近，直觀判斷就有困難或者不能完全確定。到底哪個更省包裝紙呢？這時才產生計算長方體表面積的必要，學生是因為有必要才去算，而不是不假思索地埋頭苦算。

第二個層面的優化是長方體表面積計算方法的優化。

既然有必要計算，那我們就要思考如何計算新拼成的長方體的表面積。在此是不是特別強調找到新拼出長方體的長、寬、高，再運用長方體表面積的計算公式來計算呢？其實不然，我們更應該鼓勵學生用自己的方法去計算拼成的長方體的表面積，甚至要鼓勵學生動筆計算之前思考一下如何計算能化繁為簡。顯然，對于計算新長方體的表面積有多個思路，其中算長方體中有幾個大中小面的和就是其中一種很簡潔的思路。總之，我們應該通過交流分享讓學生感悟和理解多種算法，從而培養學生優化的眼光和思維的靈活性，而不是僵化學生的思維：長方體表面積只能用公式來算。

從上述教學改進案例可以看出，教師引導、鼓勵學生盡可能自主解決問題，并實現自我解決問題方法的不斷優化，才能更好促進學生思維的靈活性和嚴謹性。