高等背景，初等解法

藍云波

2023年是繼續深化高考改革的一年，新高考數學全國卷試題的命制也體現了《中國高考評價體系》中提出的一核四層四翼的考查要求，突出地落實考查了考生的數學核心素養.特別是新高考Ⅱ卷的導數壓軸試題，主要考查了考生的邏輯推理、數學運算、數學抽象等數學核心素養，對考生具有較大的挑戰性.為幫助大家更加高效地進行新一輪的高考備考，下面，我通過對2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題分析，談談試題賞析、解法探究、題源分析、高數背景揭示與教學反思，以期對廣大師生備考有所幫助.現分析如下，供大家參考．

2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題為：

【試題】（1）證明：當0

（2）已知函數f（x）=cos ax-ln（1-x2），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍．

一、試題賞析

2023年全國Ⅱ卷數學科第22題是一道典型的函數與導數壓軸試題，試題敘述簡潔，整道試題易于入手而深入較難.試題的第一問源于課本而略高于課本難度，難度較為適中，考查了運用導數證明不等式這一核心考點，體現出高考重點問題重點考查的原則.第二問與三角函數進行交匯，集中考查了函數的極值、不等式、函數的奇偶性等考點，較為深入地考查了考生的化歸與轉化、分類討論等數學思想方法.試題難度較大，體現出高考壓軸題作為人才選拔的重要功能．

2023年新高考Ⅱ卷導數壓軸題是一道具有深刻高等數學背景的典型試題，縱觀近幾年全國卷高考數學試題，不難發現，涌現出越來越多的高觀點背景的試題.本題第一問以泰勒公式作為背景進行試題的構建，并為第二問的不等式的放縮奠定了基礎，第二問則以高等數學中的極值第二充分條件作為背景進行試題的構建，但解題的方法卻可以很初等，這體現出高考命題人高屋建瓴的命題藝術．

二、解法探究

1.第一問的解答

設F（x）=x-sin x，x∈（0，1），則f′（x）=1-cos x>0對x∈（0，1）恒成立，則F（x）在（0，1）上單調遞增，可得F（x）>F（0）=0，所以x>sin x，x∈（0，1）；

設G（x）=sin x-（x-x2）=x2-x+sin x，x∈（0，1），則G′（x）=2x-1+cos x，x∈（0，1），設g（x）=G′（x），x∈（0，1），則g′（x）=2-sin x>0對x∈（0，1）恒成立，則g（x）在（0，1）上單調遞增，可得g（x）>g（0）=0，即G′（x）>0對x∈（0，1）恒成立，

則G（x）在（0，1）上單調遞增，可得G（x）>G（0）=0，所以sin x>x-x2，x∈（0，1）.

綜上，當0

【點評】眾所周知，高考壓軸題是很多考生的夢魘，但并非一分都難于得到，只要具有扎實的基礎知識，一般來說，做對第一問，在大多數情形下是并不困難的.因此考生必須克服對壓軸題的恐懼心理，并預留一定的作答時間，是可以得到一定的分數的.如本題第一問，只要直接移項并構造函數進行證明不等式，即可獲得問題的求解，而這種方法也是十分常規的．

2.第一問的解答

（解法1）（放縮法）令1-x2>0，解得-1

因為y=-lnu在定義域內單調遞減，y=1-x2在（-1，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，則f（x）=-ln（1-x2）在（-1，0）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增，故x=0是f（x）的極小值點，不合題意，所以a≠0．

②當a≠0時，令b=a>0.

因為f（x）=cos ax-ln（1-x2）=cos（ax）-ln（1-x2）=cos bx-ln（1-x2），且f（-x）=cos（-bx）-ln［1-（-x）2］=cos bx-ln（1-x2）=f（x），所以函數f（x）在定義域內為偶函數，由題意可得：f′（x）=-bsin bx-2x/x2-1，x∈（-1，1），（ⅰ）當0-b2x-2x/x2-1=x（b2x2+2-b2）/1-x2，且b2x2>0，2-b2≥0，1-x2>0，所以f′（x）>x（b2x2+2-b2）/1-x2>0，即當x∈（0，m）（0，1）時，f′（x）>0，則f（x）在（0，m）上單調遞增，結合偶函數的對稱性可知：f（x）在（-m，0）上單調遞減，

所以x=0是f（x）的極小值點，不合題意.

（ⅱ）當b2>2時，取x∈0，1/b（0，1），則bx∈（0，1），由（1）可得f′（x）=-bsin bx-2x/x2-1<-b（bx-b2x2）-2x/x2-1=x/1-x2（-b3x3+b2x2+b3x+2-b2），設h（x）=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2，x∈0，1/b，

則h′（x）=-3b3x2+2b2x+b3，x∈0，1/b，

且h′（0）=b3>0，h′1/b=b3-b>0，則h′（x）>0對x∈0，1/b恒成立，可知h（x）在0，1/b上單調遞增，且h（0）=2-b2<0，h1/b=2>0，所以h（x）在0，1/b內存在唯一的零點n∈0，1/b，當x∈（0，n）時，則h（x）<0，又因為x>0，1-x2>0，所以f′（x）

綜上所述：b2>2，即a2>2，解得a>2或a<-2，

故a的取值范圍為-∞，-2∪2，+∞．

【點評】解法1通過換元b=a，避免了一部分情形的討論，當然不進行這樣的換元也是可以的，如后面的解法2.在解答過程中，如何進行分類討論是解答的難點，可通過利用第一問的結果對f′（x）進行放縮，并結合表達式的特點觀察得到.解題的關鍵在于當02時，利用x-x2

（解法2）（直接法）因為f（x）=cos ax-ln（1-x2）（-1

所以f′（x）=-asin ax+2x/1-x2（-1

①當a=0時，當x∈（0，1）時，f′（x）>0，f（x）單調遞增，當x∈（-1，0）時，f′（x）<0，f（x）單調遞減，所以x=0是f（x）的極小值點，不合題意．

②當a>0時，令m=minπ/2a，1，則當x∈（0，m）時，易知n′（x）>0，所以n（x）單調遞增，所以t′（x）=n（x）>n（0）=2-a2．

（ⅰ）當2-a2≥0，即00（0

所以t（x）在（0，m）上單調遞增，所以f′（x）=t（x）>t（0）=0，所以f（x）在（0，m）上單調遞增，由偶函數的性質知f（x）在（-m，0）上單調遞減．

所以x=0是f（x）的極小值點，不合題意．

（ⅱ）當2-a2<0，即a>2時，當π/2a≤1，即a≥π/2時，因為t′（0）<0，t′π/2a>0，所以x1∈（0，m），使得t′（x1）=0，當x∈（0，x1）時，t′（x）<0，t（x）單調遞減，此時f′（x）=t（x）

所以f（x）在（0，x1）上單調遞減，由偶函數的性質知f（x）在（-x1，0）上單調遞增．

所以x=0是f（x）的極大值點，滿足題意．

當π/2a>1，即20，所以x2∈（0，m），使得t′（x2）=0，當x∈（0，x2）時，t′（x）<0，t（x）單調遞減，此時f′（x）=t（x）

所以f（x）在（0，x2）上單調遞減，由偶函數的性質知f（x）在（-x2，0）上單調遞增．

所以x=0是f（x）的極大值點，滿足題意．

③當a<0時，由偶函數f（x）的圖像的對稱性可得a<-2．

綜上，a的取值范圍為-∞，-2∪2，+∞．

【點評】解法1利用了第一問的不等式進行放縮求解，解法2則直接多次求導進行解答，對考生的能力要求更高.解題中分類討論的關鍵在于對t′（0）=n（0）=2-a2的符號的討論，這需要考生具有較強的邏輯推理與洞察問題能力.本題沒有通過換元b=a進行求解，當然利用這樣處理也是可以的，讀者不妨一試．

三、題源探究

2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題是一道具有較大難度的試題，對考生的能力要求較高.實際上，與這道導數壓軸題具有相同背景的試題在歷年的高考試題中也出現過，如2018年高考北京卷第19題，只不過相比北京卷高考題，難度更大，但考查的方式則是一致的．

【題源】（2018年北京卷文科數學第19題）設函數f（x）=［ax2-（3a+1）x+3a+2］ex．

（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為0，求a；

（2）若f（x）在x=1處取得極小值，求a的取值范圍．

【解析】（1）因為f（x）=［ax2-（3a+1）x+3a+2］ex，所以f′（x）=［ax2-（a+1）x+1］ex．

f′（2）=（2a-1）e2，由題設知f′（2）=0，即（2a-1）e2=0，解得a=1/2．

（2）由（1）得f′（x）=［ax2-（a+1）x+1］ex=（ax-1）（x-1）ex．

①若a>1，則當x∈1/a，1時，f′（x）<0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）>0.所以f（x）在x=1處取得極小值．

②若a≤1，則當x∈（0，1）時，ax-1≤x-1<0，所以f′（x）>0.所以1不是f（x）的極小值點．

綜上可知，a的取值范圍是（1，+∞）．

【點評】本題的考查方式與2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題是一致的，只不過難度沒有那么大，但考查的內核則是一致的．

四、高數背景揭示

通過對2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題進行解法探究與題源揭示，筆者發現，本題具有濃郁的高等數學知識背景，主要體現在兩方面，一是第一問的命題背景是正弦函數的泰勒公式，二是第二問的命題背景是極值的第二充分條件.如果能適當了解一些高等數學知識背景，無疑對解題是具有極大的幫助的．

1.泰勒公式

sin x=x-x3/3！+x5/5！-…+（-1）n-1x2n-1/（2n-1）！+ο（x2n）（x→0）．

2.極值的第二充分條件

設函數y=f（x）在x=x0處二階可導，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，則當f''（x0）<0時，f（x0）是函數y=f（x）的極大值；若f''（x0）>0，f（x0）是函數y=f（x）的極小值．

利用泰勒公式，可以得到2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題第一問的其他解題思路：可先構造函數先證明sin x>x-x3/3！，即sin x>x-x3/6，又因為x-x3/6>x-x2，所以sin x>x-x2．

利用極值第二充分條件，可以得到如下的2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題第二問的高等解法：

（解法3）（高等解法）因為f（x）=cos ax-ln（1-x2），x∈（-1，1），

所以f'（x）=-asin ax--2x/1-x2=-asin ax+2x/1-x2，

滿足f'（0）=-asin 0+0=0．

f''（x）=-a2cos ax+2-2x2+4x2/（1-x2）2=-a2cos ax+2+2x2/（1-x2）2，所以f''（0）=-a2+2．

由極值的第二充分條件得f''（0）=-a2+2<0，解得a<-2或a>2．

所以a的取值范圍為-∞，-2∪2，+∞．

2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題第二問的高數背景是極值第二充分條件，事實上，在高考中，以極值的第三充分條件為背景的試題也曾考過，如2018年高考全國Ⅲ卷理科數學導數壓軸題．

3.極值的第三充分條件

設函數y=f（x）在x=x0處n（n≥2）階可導，滿足f′（x0）=f″（x0）=…=f（n-1）（x0）=0，且f（n）（x0）≠0．

（1）若n為偶數，那么x0是函數y=f（x）的極值點，且當f（n）（x0）>0時，f（x0）是函數y=f（x）的極小值，當f（n）（x0）<0時，f（x0）是函數y=f（x）的極大值；

（2）若n為奇數，那么x0不是函數y=f（x）的極值點，但x0是函數y=f（x）的拐點．

【試題】（2018年高考全國Ⅲ卷理科數學第21題）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x．

（1）若a=0，證明：當-10時，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a．

【解析】（1）當a=0時，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，f′（x）=ln（1+x）-x/1+x.

設函數g（x）=f′（x）=ln（1+x）-x/1+x，則g′（x）=x/（1+x）2.

當-10時，g′（x）>0，故當x>-1時，g（x）≥g（0）=0.

所以f（x）在（-1，+∞）上單調遞增．

又f（0）=0，故當-10時，f（x）>0．

（2）①若a≥0，由（1）知，當x>0時，f（x）≥（2+x）ln（1+x）-2x>0=f（0），這與x=0是f（x）的極大值點矛盾，不合題意；

②若a<0，設函數h（x）=f（x）/2+x+ax2=ln（1+x）-2x/2+x+ax2，由于當｜x｜0，故h（x）與f（x）符號相同．

又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點，當且僅當x=0是h（x）的極大值點.又因為h′（x）=1/x+1-2（2+x+ax2）-2x（1+2ax）/（2+x+ax2）2=x2（a2x2+4ax+6a+1）/（x+1）（2+x+ax2）2，

（ⅰ）如果6a+1>0，則當00，故x=0不是h（x）的極大值點，不合題意．

（ⅱ）如果6a+1<0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故當x∈（x1，0），且｜x｜

（ⅲ）如果6a+1=0，則h′（x）=x3（x-24）/（x+1）（x2-6x-12）2，則當x∈（-1，0）時，h′（x）>0；當x∈（0，1）時，h′（x）<0．

所以x=0是h（x）的極大值點，從而x=0是f（x）的極大值點．

綜上，a=-1/6．

（解法2）（高等解法）因為f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2+x+ax2/1+x-2，且f′（0）=0，f″（x）=2aln（1+x）+3ax2+4ax+x/（1+x）2，且f″（0）=0，

f（x）=2ax2+（6a-1）x+6a+1/（1+x）3，且f（0）=6a+1．

由極值第三充分條件知f（0）=6a+1=0，即a=-1/6．

【點評】解法1是教育部考試院給出的官方解法，將x=0是f（x）的極大值點這一問題化歸為x=0是h（x）的極大值點問題是解答的一大難點，當然直接對函數f（x）進行多次求導進行解答也是可以的，只不過解答過程更為復雜.解法2則使用了高等解法，極快地得到答案，雖然在考場中不能直接使用，但卻可以給解題帶來一定的思路引導，比如如何進行分類討論也會變得相對較為明朗．

五、備考反思

1.克服對導數壓軸題的畏懼心理，爭取多拿幾分

一直以來，導數壓軸題都是考生極為畏懼的一大難題，不少考生對這一問題甚至達到了談之色變的程度.實際上，高考的導數壓軸題第一問大多數情況下都是比較基礎的，只要具有一定的基礎，拿下來并不是難事，只有極少的年份導數壓軸題的第一問是較為困難的.因此，在平時，我們要注重對導數的基礎主干知識的重視，把握核心考點.平時也要克服對導數壓軸題的畏懼心理，在拿下第一問的基礎上，爭取第二問盡可能多拿一些分數．

2.注意研究歷年高考真題，并注重挖掘課本中有價值的材料

筆者認為，高考真題是所有習題中質量最高的試題，因此，在平時的備考中，我們要加強對高考真題的研究，特別是對較為經典的問題，要做適當的梳理與總結，并選取具有一定代表性的試題進行分析、比較和總結，從而加強對歷年高考真題的演練與總結.對課本中具有一定價值的材料，也要作一定的拓展，如2023年新高考全國Ⅱ卷導數壓軸題的第一問的本質是泰勒公式，實際上，在人教A版必修1課本中有相關的材料.因此，在平時的備考中，我們要特別注重挖掘教材中有價值的材料．

3.加強理論學習，要站在更高的角度審視問題

眾所周知，很多高考數學試題，往往具有深刻的高等數學背景.如果能適當掌握一些高等數學知識，對數學的解題與教學具有很強的指向性與指導性.如上述所探討的2023年新高考全國Ⅱ卷導數解答題即是基于高等數學中的泰勒公式與極值第二充分條件而命制的一道典型問題.這就對我們高等數學的掌握提出了一定的要求，通過掌握一定的高等數學知識，就能抓住問題的本質，從而能更好應對高考，并最終實現笑傲高考考場的目標．

責任編輯徐國堅