含裂紋圓拱的模態(tài)參數(shù)分析

熊峻巍, 盧文波, 王高輝, 劉義佳, 王 洋

(1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430072;2.武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430072)

拱結(jié)構(gòu)是水利、土木工程領(lǐng)域常見的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu),在其服役過程中不可避免產(chǎn)生各類裂紋,進(jìn)而結(jié)構(gòu)降低強(qiáng)度和剛度,影響受力特性,降低安全性。分析損傷拱的模態(tài)參數(shù)演變規(guī)律可為結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別與定位提供依據(jù),對(duì)結(jié)構(gòu)的安全運(yùn)行有重要意義。

國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者針對(duì)拱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)、屈曲穩(wěn)定等問題,采用解析法開展了大量研究,并取得了豐碩的成果。由于工程中拱結(jié)構(gòu)截面的對(duì)稱性,研究過程中常對(duì)其面內(nèi)彎曲振動(dòng)和面外扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行解耦分析[1]。Henrych[2]建立了極坐標(biāo)下等截面圓拱的彎曲振動(dòng)物理模型,推導(dǎo)了忽略剪力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切向慣量條件下的拱面內(nèi)自振頻率的解析解。基于此模型,張曉敏等[3]、李萬春等[4]分別研究了初應(yīng)力拱、變曲率拱的自由振動(dòng)特性;趙章泳等[5]、楊洋等[6]對(duì)拱結(jié)構(gòu)彈性支承條件的影響進(jìn)行了探索,分別研究了支承條件對(duì)拱結(jié)構(gòu)自振頻率和屈曲特性的影響。另外,基于能量法建立微分方程研究拱結(jié)構(gòu)的自振與失穩(wěn)特性近年來也得到了廣泛研究[7-8]。

中小企業(yè)普遍存在著利潤(rùn)偏低的問題，原因之一是成本過高，原材料價(jià)格上漲，用工成本居高不下，這些都給中小企業(yè)帶來了很大的成本壓力。成本的大幅度上升極大地壓縮了利潤(rùn)的空間。二是稅負(fù)過重。中小企業(yè)涉稅種類繁多，其中個(gè)別稅種的設(shè)置不夠合理，好多的中小企業(yè)甚至出現(xiàn)了應(yīng)繳稅金總額比企業(yè)的凈利潤(rùn)高的現(xiàn)象； 三是融資難融資貴，好多企業(yè)因?yàn)橘J款而產(chǎn)生的利息遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于了企業(yè)的利潤(rùn)。

而對(duì)于拱中裂紋的模擬,常借鑒梁、柱的裂紋模型,包括等效降截面法、局部柔度法等線性模型和開閉裂紋模型、呼吸裂紋模型等非線性模型[9-13],其中離散扭轉(zhuǎn)彈簧模型被廣泛運(yùn)用于結(jié)構(gòu)的動(dòng)、靜力學(xué)特性及裂紋損傷識(shí)別研究。基于線彈簧模型,賀遠(yuǎn)松等[14]討論了荷載幅值、裂紋深度等因素對(duì)裂紋圓拱動(dòng)力屈曲性能的影響;Eroglu等[15]將線彈簧斷裂力學(xué)模型引入到拋物線拱中,研究了在不同荷載和邊界條件下,含裂紋拱的靜力力學(xué)特性;Cerri等[16]通過降低損傷部位的彎曲剛度,研究了裂紋對(duì)圓拱模態(tài)參數(shù)變化的影響,并進(jìn)行了含裂紋鋼拱模態(tài)試驗(yàn),同時(shí)建立了含裂紋雙鉸拱的結(jié)構(gòu)力學(xué)模型,研究了裂紋沿拱軸相對(duì)位置對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的影響[17]。此外,廣義分布函數(shù)也在裂紋拱的模擬中得到了運(yùn)用, Cannizzaro等[18]推導(dǎo)了多裂紋歐拉圓拱在任意靜分布荷載下的位移、變形等力學(xué)特性,并得到了解析解。

在拱結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別方面,大量研究基于模態(tài)試驗(yàn)并結(jié)合有限元分析展開:韓西等[19]對(duì)不同損傷程度的素混凝土拱進(jìn)行了模態(tài)試驗(yàn),結(jié)合數(shù)值模擬結(jié)果證明了拱結(jié)構(gòu)的損傷對(duì)其振動(dòng)特性的影響是明顯的;聶振華[20]推導(dǎo)了拱結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)理論,并采用ANSYS計(jì)算分析了損傷對(duì)應(yīng)變模態(tài)動(dòng)力特性的影響規(guī)律,同時(shí)進(jìn)行了圓拱損傷試驗(yàn),結(jié)果表明應(yīng)變模態(tài)較位移模態(tài)對(duì)損傷更敏感但試驗(yàn)中誤差較大;趙俊等[21]利用基于徑向位移的曲率模態(tài)差進(jìn)行拱結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別與定位,并用數(shù)值方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

目前,對(duì)于含裂紋拱的模態(tài)參數(shù)演變規(guī)律與內(nèi)在力學(xué)機(jī)制的相關(guān)研究較少,已有研究大多通過有限元計(jì)算建立模態(tài)參數(shù)與裂紋位置、裂紋深度等參數(shù)的關(guān)系,通常忽略了結(jié)構(gòu)模態(tài)變化規(guī)律背后的力學(xué)機(jī)制,缺乏理論支撐;另外在討論裂紋參數(shù)時(shí)未結(jié)合結(jié)構(gòu)自身力學(xué)特性,往往更多關(guān)注裂紋沿拱軸的位置變化而忽略了裂紋在截面相對(duì)位置的影響。針對(duì)上述問題,本文以圓拱為研究對(duì)象,基于面內(nèi)振動(dòng)微分方程,引入基于斷裂力學(xué)的線彈簧模型,建立含裂紋拱力學(xué)模型,得到含裂紋拱模態(tài)參數(shù)的閉合解,研究裂紋沿拱軸相對(duì)位置、裂紋深度等參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響,利用攝動(dòng)理論分析裂紋對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)變化的影響機(jī)制,通過數(shù)值方法研究裂紋在截面的相對(duì)位置對(duì)各階模態(tài)頻率的影響。相關(guān)成果可為拱結(jié)構(gòu)損傷定位提供依據(jù)。

1 含裂紋圓拱自由振動(dòng)模型

1.1 完整圓拱振動(dòng)微分方程

根據(jù)表3工況計(jì)算圓拱固有頻率變化率和模態(tài)保證率,繪制結(jié)構(gòu)損傷后前4階模態(tài)參數(shù)變化,如圖6所示。

半徑為R的等截面圓拱截面面積為A、慣性矩為I,如圖1所示。取拱一微段的受力情況如圖2所示。

聯(lián)合物理方程與幾何變形關(guān)系,引入達(dá)朗貝爾慣性力,可以得到拱平面運(yùn)動(dòng)的彈性平衡方程,如式(1)

(1)

根據(jù)線性系統(tǒng)振動(dòng)的簡(jiǎn)諧特征,基于式(2)可對(duì)平衡方程采用變量分離求解

2.2.2 腎臟病患病率 初次問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，腎臟疾病患者7例(11.9%)；再次問卷發(fā)現(xiàn)腎臟疾病患者9例(15.3%)，其中新增糖尿病腎病1例、高血壓腎病1例，均為手冊(cè)組患者。兩次腎臟疾病患病率差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

(2)

式中,ω為結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)角頻率。

對(duì)于圓拱,半徑R為常數(shù),則有ds=Rdθ。計(jì)算過程中,假設(shè)振動(dòng)時(shí)拱軸不收縮,得到v=u′且′=d/dθ,將式(2)代入式(1),并消除EA和v項(xiàng),可以得到關(guān)于u的6階微分方程

u(6)+(1+η2)u(4)+(η2-Ω)u(2)+Ωu=0

(3)

根據(jù)式(17),頻率變化是由損傷前損傷部位彎矩的平方與損傷后該截面彎曲模量的比值決定的。這一結(jié)論與第2章計(jì)算規(guī)律一致:不同階模態(tài)對(duì)于不同部位損傷的敏感性不同,當(dāng)損傷位于某一振型模態(tài)峰值點(diǎn)或者固定端附近時(shí),對(duì)應(yīng)階的固有模態(tài)頻率下降最顯著,而當(dāng)其靠近某階振型節(jié)點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)固有頻率變化較小;這是因?yàn)楦麟A模態(tài)振型中,振型峰值點(diǎn)處彎曲變形大,微拱段的曲率改變量大,而彎矩大小與單位長(zhǎng)度拱段的轉(zhuǎn)角增量呈正比,故振型峰值段和固定端附近承擔(dān)了較大的彎矩。式(9)損傷部位彎曲模量計(jì)算公式表明損傷彎曲剛度隨裂紋深度的增加而減小,而頻率變化與呈反比,故對(duì)于同一部位的損傷,頻率變化隨裂紋深度的增加而增加。

2) 烘絲機(jī)筒壁Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)升溫速率優(yōu)化：即當(dāng)烘絲機(jī)筒壁Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)溫度控制器啟動(dòng)后，通過新增配方參數(shù)對(duì)烘絲機(jī)不同加工模式下的筒壁Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)額定升溫速率進(jìn)行限制(表1)。

u(6)+(1+η2)u(4)+(η2-Ω)u(2)=0

(4)

(5a)

C5cosαx+C6sinαx

(5b)

C5αsinαx+C6αcosαx

(5c)

C4(1+β2)shβx+C5(1-α2)cosαx+

(5d)

C4(β+β3)chβx+C5(-α+α3)sinαx+

(5e)

C4(β2+β4)shβx+C5(-α2+α4)cosαx+

C6(-α2+α4)sinαx]

(5f)

C4(-Ωβ+β3+β5)chβx+C5(Ωα+α3-α5)sinαx+

C6(-Ωα-α3+α5)cosαx]

(5g)

將式(5b)～式(5g)代入拱的邊界條件即可求解結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。其中兩端固結(jié)拱在工程中常見,其邊界條件滿足法向速度、切向速度及轉(zhuǎn)角為0,如式(6)

u(0)=0,u′(0)=0,u″(0)=0

u(θ)=0,u′(θ)=0,u″(θ)=0

(6)

1.2 線彈簧裂紋模型

完整結(jié)構(gòu)產(chǎn)生裂紋后,裂紋處的彎曲剛度隨之發(fā)生變化,大量學(xué)者通過斷裂力學(xué)法研究和發(fā)展了梁、柱等結(jié)構(gòu)的局部柔度理論,其中描述裂紋引起局部柔度變化的Rice-Levy線彈簧裂紋模型表達(dá)簡(jiǎn)潔,運(yùn)用廣泛[22-23]。該模型通過引入轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為KC的彈簧鉸模擬裂紋,采用斷裂力學(xué)中常用的評(píng)價(jià)裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法來模擬裂紋處的剛度,裂紋兩側(cè)兩拱按照拱的基本方程處理,裂紋處滿足位移和力連續(xù)條件,如圖3(a)和圖3(b)所示。零長(zhǎng)度的線彈簧模型中軸力、剪力與彎矩不會(huì)產(chǎn)生交互作用,故力與變形的關(guān)系可以采用胡克定律表示,如圖3(c)所示。考慮到在面內(nèi)振動(dòng)中,懸臂梁、圓拱主要表現(xiàn)為彎曲振動(dòng)。為簡(jiǎn)化計(jì)算在裂紋處僅考慮彎矩引起的彎曲作用,忽略剪力和軸力作用,則裂紋處轉(zhuǎn)角變形與彎矩滿足式(7)

(a) 含裂紋拱幾何模型

(7)

式中,K為剛度系數(shù)。同時(shí)在裂紋處滿足彎矩、軸力、剪力、法向及切向位移連續(xù)條件。綜上,拱裂紋處的連續(xù)條件滿足式(8),下標(biāo)+,-分別為裂紋左、右兩側(cè)。

u+(nθ)=u-(nθ)

u?+(nθ)=u?-(nθ)

(8)

矩形截面梁在裂紋處的剛度為

(9)

式中:a為損傷裂紋深度;B、W為拱截面寬度、沿徑向的高度;F(a/W)是一自變量為a/W的無量綱函數(shù),隨應(yīng)力強(qiáng)度因子公式選擇的變化而變化,形式多樣。Okamura局部柔度模型[24]提出較早,精度高且得到了廣泛的運(yùn)用[25-26],即:

1.3 含裂紋圓拱模態(tài)評(píng)價(jià)指標(biāo)

根據(jù)前述,將圓拱視為一維彎曲拱建立拱運(yùn)動(dòng)微分方程,在裂紋處采用降低截面抗彎模量的方法模擬裂紋對(duì)整體結(jié)構(gòu)柔度變化的影響,結(jié)合裂紋處連續(xù)條件和邊界條件,可以對(duì)結(jié)構(gòu)頻率、振型等模態(tài)參數(shù)進(jìn)行求解,并討論不同損傷參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響。

圓拱結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)圓心角θ=120°,半徑R=1.0 m,拱截面寬B=0.10 m,高W=0.05 m;鋼材密度ρ=7 800 kg/m3,彈性模型E=206 GPa,泊松比μ=0.3;圓拱兩端固結(jié),如圖4所示。

在幼兒園區(qū)域活動(dòng)開展過程中，教師應(yīng)該給予幼兒更多合理的指導(dǎo)，但是不能在活動(dòng)進(jìn)行過程中將自己的想法強(qiáng)加給幼兒，應(yīng)該給予幼兒更多的自主權(quán)，讓幼兒自己來進(jìn)行活動(dòng)區(qū)域以及玩伴的選擇。

農(nóng)業(yè)，為民生之本。當(dāng)各種各樣的農(nóng)田作物成為人們的盤中餐時(shí)，被棄用的農(nóng)用地膜的去向卻成了一大難題。因?yàn)椴豢山到馇一厥粘杀局鹉暝黾樱陱?fù)一年，農(nóng)民們只能任由廢棄的農(nóng)膜堆在田間地頭，隨風(fēng)漫天飛舞，白色垃圾貽害萬年。

圖4 含裂紋圓拱計(jì)算模型

損傷參數(shù)如表1所示。其中裂紋比例距離按n=Ld/L=θd/θ計(jì)算。

表1 裂紋參數(shù)

含裂紋前后,圓拱在振動(dòng)方向上的前4階模態(tài)如圖5所示。模態(tài)固有頻率與模態(tài)振型是常用的損傷識(shí)別指標(biāo),圓拱損傷后的頻率變化率η與模態(tài)置信度IMAC,如表2所示。頻率變化率和模態(tài)保證準(zhǔn)則計(jì)算公式[27]分別按式(10)、式(11)計(jì)算

2.繼續(xù)推進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化升級(jí)，使之成為我國(guó)工業(yè)低碳發(fā)展的不竭動(dòng)力。堅(jiān)持可持續(xù)發(fā)展的原則，注意協(xié)調(diào)好各類碳排放工業(yè)行業(yè)的發(fā)展規(guī)模和速度，優(yōu)先發(fā)展高新技術(shù)、清潔型工業(yè)，限制污染密集型工業(yè)過快發(fā)展。政府可在政策和監(jiān)管方面給予低碳清潔企業(yè)更多的支持，從而激勵(lì)其開展低碳生產(chǎn)工藝的研發(fā)等技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，以助于提升我國(guó)工業(yè)整體的低碳全要素生產(chǎn)率。

表2 含裂紋前后頻率及振型變化對(duì)比表

(a) 1階振型

(10)

(11)

探索建立檢察公益訴訟與生態(tài)環(huán)境損害賠償制度改革相銜接機(jī)制。檢察機(jī)關(guān)對(duì)發(fā)現(xiàn)的生態(tài)環(huán)境公益損害案件，擬提起公益訴訟的，應(yīng)當(dāng)依法公告，有關(guān)組織及省、設(shè)區(qū)市政府如不提起訴訟，檢察機(jī)關(guān)依法提起訴訟。對(duì)省、設(shè)區(qū)市政府啟動(dòng)的生態(tài)環(huán)境損害賠償磋商，同級(jí)檢察院可派員列席磋商活動(dòng)；對(duì)磋商不成的省、設(shè)區(qū)市政府提起的生態(tài)環(huán)境損害賠償訴訟案件，檢察院可通過提供法律咨詢、協(xié)助調(diào)查取證、出具書面意見等方式支持起訴。

從圖5可知,該工況下圓拱振型表現(xiàn)為反對(duì)稱模態(tài)、對(duì)稱模態(tài)交替出現(xiàn),其中1階模態(tài)為反對(duì)稱,與文獻(xiàn)[1]結(jié)論一致:對(duì)于矢跨比較大的單拱(f/L>1/12),1階振型為反對(duì)稱,這是因?yàn)檎駝?dòng)引起的附加軸力為0,阻力較小,固有頻率最低。

那日，媽媽又提及此事，嘆息道：“男人都要面子，當(dāng)年，你爸爸也是，那時(shí)候你還小，我的身體也不好，他寧可挺著也不接受你姥爺?shù)馁Y助。”

觀察圖5及表2的計(jì)算結(jié)果,裂紋圓拱對(duì)不同階模態(tài)參數(shù)的變化幅度不一致,其中1階、2階模態(tài)參數(shù)變化較大,頻率下降約5%～7%,振型模態(tài)保證率為0.983～0.984,而4階模態(tài)參數(shù)變化較小,固有頻率僅下降0.15%,模態(tài)保證率變化同樣較小。作為表征圓拱模態(tài)變化的模態(tài)參數(shù),產(chǎn)生裂紋后模態(tài)振型與固有頻率的變化規(guī)律基本一致,但后者變化幅度較小且準(zhǔn)確性依賴測(cè)點(diǎn)布置。因此,選擇損傷后多階頻率變化率作為評(píng)價(jià)指標(biāo),能夠有效進(jìn)行損傷定位和損傷程度評(píng)估。

2 含裂紋圓弧拱模態(tài)特征分析

以往研究表明,裂紋沿軸相對(duì)位置和裂紋深度對(duì)拱結(jié)構(gòu)力學(xué)特性有重要影響。而從結(jié)構(gòu)形狀特性出發(fā),直梁通常沿軸線表現(xiàn)出對(duì)稱性,對(duì)于結(jié)構(gòu)的自由模態(tài),裂紋無論位于上側(cè)還是下側(cè),對(duì)直梁模態(tài)的影響相同;但拱軸線彎曲不能視為對(duì)稱結(jié)構(gòu),因此裂紋在拱截面的相對(duì)位置(即拱內(nèi)、外側(cè))對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響不容忽視。

2.1 裂紋沿軸相對(duì)位置

采用前文所述裂紋拱模型研究裂紋沿軸位置對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的影響。拱結(jié)構(gòu)幾何與力學(xué)參數(shù)同1.3節(jié)所述,裂紋參數(shù)如表3所示。裂紋相對(duì)高度為0.4,考慮到結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,取1/2模型進(jìn)行研究,即裂紋比例距離為n∈[0,0.5]。

在拱圈的振動(dòng)過程中,總是有更大比例的拱段與振型峰值相對(duì)大處的運(yùn)動(dòng)方向一致,例如振型峰值相對(duì)大處向外運(yùn)動(dòng),則有拱結(jié)構(gòu)受軸向拉力,反之則受軸向壓力。結(jié)合上文分析可知:拱結(jié)構(gòu)各階振型峰值相對(duì)大處,外側(cè)裂紋對(duì)模態(tài)影響更大;而振型峰值相對(duì)小的部分,結(jié)構(gòu)模態(tài)變化對(duì)拱內(nèi)側(cè)裂紋更敏感。

表3 裂紋參數(shù)計(jì)算

對(duì)于圓拱的自由振動(dòng)特性求解,眾多學(xué)者已經(jīng)給出了完整的敘述,一般通過結(jié)構(gòu)的平衡方程、幾何方程、物理方程和達(dá)朗貝爾原理構(gòu)建結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)微分方程,結(jié)合邊界條件計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的頻率、振型方程等模態(tài)特征。

(a) 1階