源于生活，小處入手
——談中小學數學論文的寫作

鄭麗，王永軍

（1.重慶市高新技術產業開發區石橋鋪小學，重慶 400039；2.重慶市廣益中學校，重慶 400065）

一、為什么寫數學論文

（一）專業成長需成果固化

中小學數學教師的專業成長有多個維度：學生的考試成績、學生的數學美感、學生的核心素養達成度等都是重要的維度。新時代的教師，還應該用自己的專業學術引領學生學業的成長。教師的學術水平離不開教學論文的撰寫，這些論文就是教學成果的主要固化形式。數學教師需要數學論文彰顯自己的專業成長，學術論文是專業技術人才專業自信的表現。

（二）職業美譽需論文強化

人生一世，草木一秋；來如風雨，去似微塵。中小學數學教師，在教好書育好人的前提下，應在生活中處處陽光向上。一些學術論文的嵌入有助于教師職業美譽度的提升。在中小學校中亦有不少數學大家，其中包括正高級教師、教授級教師、研究生指導教師、享受國務院政府特殊津貼專家教師等，他們無不著述頗豐，高質量的數學論文為其人生添彩很多，這些論文同時也引領了數學教育教學的深入發展與深刻變革。數學論文強化了數學教師的職業美譽度和社會影響力。

二、怎樣積累論文素材

（一）在生活游戲中尋找數學奇點

案例1 （平方和問題）證明：12+22+32+…+n2=

將圖1按順時針方向旋轉120°得到圖2，將圖2按順時針方向旋轉120°得到圖3。結合圖1、圖2、圖3，分別考慮三個圖中的第i行第j列的數字，其和為i(n-j+1)[(ni+1)+(j-1)]=2n+1，這是一個常數。

圖1

圖2

圖3

生活中這樣的案例很多，它們常常可以處理復雜的數學問題，它們生動有趣、形象直觀，如通過走樓梯的方法總數可以“走”出Fibonacci（斐波那契，意大利）數列等。數學論文如果采用這樣的生活素材，可以增加可讀性、實用性，它們是傳承、發揚優秀數學文化的重要載體。

（二）在文獻閱讀中收集興趣支點

在閱讀文獻中注重歸類與歸檔，就中小學數學解題類文獻而言可以有一題多解，也可以有多題一解，前者是發散思維，后者是聚合思維、化歸統一，數學的通解通法常常在此產生。

案例2 （多問題同解）考慮不等式鏈：lnx≤x-1＜x＜x+1≤ex，同時結合相應的函數圖像（數形結合），可以輕松處理一些高考數學中的“大題”，以下高考真題在某種意義下是同解的：2018年新課標卷Ⅲ文科第21題、2019年天津卷文科第20題、2020年新課標卷Ⅱ文科第21題、2021年全國甲卷理科第21題、2022年新高考卷Ⅰ第22題。

閱讀文獻資料教師可以站在科研的前沿，杜絕研究了很久的東西其實網絡上（資料庫）早已存在，這種“重復”研究工作本質上是毫無意義的。通過大量的文獻閱讀，其實就是與優秀的科研工作者對話，學習、借鑒好的工作方法、工作思想、工作路徑，收集教師自己感興趣的問題，這些問題常常是日后論文寫作的素材與靈感，是個人興趣的支撐點。閱讀文獻的過程是教師學習提升的修行之旅。

（三）在課堂生成中關注學情拐點

中小學數學論文的一個主要特點就是大部分論文都來源于課堂教學實踐。在課堂教學中教學相長可以產生論文，而論文的精彩之處常常在課堂知識生長中的學情拐點處，這完全出乎教師的課堂預設，甚至超出“正常”的教學目標。

案例3 （范圍與導數）關于x的不等式ex≥ax+1在區間(0,+∞)內恒成立，則a的取值范圍為（ ）。

學生3：分離系數后，結合不等式方向,a可以無限小，題中所給的選擇項直接選C。全程口算。

學生4：用基本圖像、數形結合。考慮曲線y1=ex、直線系y2=ax+1，實際上函數y1=ex在點(0,1)處的切線即為y3=x+1，由直線的斜率、傾斜角等關系，結合相應的圖像，立即可選C。

課堂上如果教師對比學生1和學生4的解題方法，強調切線不等式的應用是無可厚非的。但是本題的通解通法應該優先是分離系數法。學生3的解題方法絕對是課堂教學中的學情拐點，值得教師十分關注，應給予十足的表揚與鼓勵，他給出了選擇題的一種重要解題思路——排除法，就求解本題而言，學生3的解題方法是最好的。

（四）在教學反思中總結思維亮點

教有法，教無定法，教學必須反思。教師在反思中成長，在反思中卓越。教學反思為論文的書寫提供第一手的素材，中小學數學論文中的絕大部分內容其實就是教師的教學反思、學生的學習反思，它們是教學中思維的亮點，是值得記憶和發揚光大的。

案例4 （橢圓的定義）在橢圓的教學中，教材給出的橢圓定義是下述的第一定義，從教材例題中可以總結第二、三、四另外三個“定義”：橢圓第一定義距離之和，橢圓第二定義：距離之比，橢圓第三定義：斜率之比，橢圓第四定義：壓扁的圓。

在教學反思中還可以嘗試得到橢圓的其他“定義”形式，如“雙動向量”式定義等。

在教育教學中類似“橢圓定義”的素材比比皆是，教師要注意留心積累、提煉、升華這些思維訓練的亮點，講好教材、不拘泥于教材，做好深度教學的大單元教學設計，發散學生的思維層次，提高教師的教學品位。

三、如何選擇論文題目

（一）定好寫作題目

有了論文素材之后，就可以考慮構思論文。首先要定好寫作的方向，寫作中小學數學論文大的方向有教育類、教學類、解題類等。其次是確定論文的題目，有簡單明快式，如《“集合”新舊教材對比分析》，這是教育類的論文；有直奔主題式，如《拼圖游戲在小學數學計數中的應用研究》，這是教學類的論文；有文采飛揚式，如《忽逢桃花林，曲徑通幽處》，這個題目看不出文章的主旨，要確定范圍，需要再加一個副標題，可以修改為《忽逢桃花林，曲徑通幽處——橢圓中三角形面積的取值范圍微探》，這是解題類的論文。最后根據選擇的素材再對題目進行修改、定稿。

（二）推敲寫作難度

一般來說文章的題目越寬泛文章越難寫，大的范圍常常也不容易把控，很多論文題目都是采用大標題加小標題的形式縮小寫作的范圍。例如題目《促進小學生從形象思維向抽象思維過渡的幾種方法》[1]，寫作范圍很小，可以介紹小學生從形象思維向抽象思維過渡的三到四種方法即可；例如題目《溯源——利用點差法深究圓錐曲線中點弦的存在性問題》[2]，分別介紹在橢圓、雙曲線、拋物線中處理中點弦問題的一般情況，給出了點差法適用的充要條件，論文小巧，結構緊湊；例如題目《忽逢桃花林，曲徑通幽處——橢圓中三角形面積的取值范圍微探》，可以由高考真題引出問題三角形，一般解法加上變式探究，還可以將三角形從橢圓中遷移到其他圓錐曲線中。其他學科的論文題目等都可以拿來借鑒，如文章《用論證式教學促成深度學習——以“探究種子萌發的條件”實驗教學為例》[3]，大標題范圍很大，要寫好此文很難，加上小標題后寫作范圍變窄，寫作容易得多。

四、如何展開論文論述

（一）遵循邏輯順序

寫論文就是展開論述問題，要遵循寫作論文的邏輯順序，首先要搭好論文“骨架”，學術論文講究嚴謹、務實、求真。論文論述的展開可以有一些“文采飛揚”，但這樣的情況很少。如本文實際上是針對教師培訓的教學類論文，構思“骨架”時考慮的是：為什么寫論文→寫些什么→這樣選擇論文題目→如何論述→潤色與發表，考慮文章的屬性，本文著力構思論文該“寫些什么”，也就是文章素材的收集，怎樣積累素材、積累什么內容，很明顯如果沒有大量“原材料”是不可能寫出文章的。寫作的邏輯順序要符合一般的認知規律，寫作要水到渠成、一氣呵成。

（二）恰好選擇素材

有寫作素材，有寫作意向，擬定了寫作方向、題目，接下來要選擇素材。選素材一要契合論文的主題，二要理論聯系實際，有一定的應用推廣價值，這也是論文“引領”的價值體現。中小學數學論文切忌大而空，切忌泛泛而談。數學圖表要清晰可辨、數學計算要準確無誤，素材搭配要著力分析、論述同類問題（論文主題），所選素材要連點成線，要邏輯關聯，要結構緊湊、有條有理。組織論文的素材時要注意詳略得當，不可平均用力，要重點突出論文的主題思想，要思考好的論文成果推廣應該具有可借鑒性、操作性、復制性。

五、論文的修改與潤色

（一）精工細琢的文字魔力

文章都是改出來的，文字是有魔力的。首先要寫好論文的各級標題，從標題的內容到字數的安排等都要精工細琢。可以跨學科鑒賞其他形式的標題書寫格式，如曹雪芹《紅樓夢》中的章回標題：第一回 甄士隱夢幻識通靈 賈雨村風塵懷閨秀，以后各章回標題均沿用2句每句8個漢字的格式，字數對等、整齊劃一，讀起來朗朗上口；全書目錄很有氣勢，寫出這樣的目錄顯然是下了極大功夫，也足見作者的文學文字功底深厚。題目《循“義”而行 精準立意——寫作時明確“概念”的三個步驟》[4]、《深入探討化繁為簡 一題多解浸潤素養——以一道高考函數題的多解為例》[5]，這里標題2句都是對稱工整的。本文在寫作中嘗試題目為《源于生活，小處入手》，采用2句話每句4個漢字的格式，且句與句之間用逗號隔開，正文中五個一級標題均采用8個漢字的形式，每個一級標題下的二級標題均采用相同字數的漢字，由于本人能力所限，現在還做不到所有的二級標題均采用相同字數的漢字。其次是對文章內容的修改，除了文法、句法，還主要體現中小學數學論文的價值，實踐研究與理論架構相結合，著力凸顯數學專業的特色。

（二）契合報刊的編排風格

中小學數學論文一般不會涉及秘密，好的論文應該公開刊發，這是固化教學研究成果的重要方式。首先要根據論文的內容選擇一本恰當的雜志。不同的雜志會有不同的風格，有的偏向課堂教學操作，有的偏重解題類教學，有的偏好學習思維指導；有數學綜合類雜志，有教育特別策劃類報刊；有國家級期刊，有省市級期刊，還有一些所謂的“內刊”。選好意向投稿報刊后，要研究該刊文稿的編排格式，包括作者及參考文獻的編排、標號序號的字體字號、正文的字體字號、公式符號的換行方式、標點是全角還是半角、圖形圖表的處理、文稿長度等，要對文稿做進一步修改與潤色，剩下就是投稿了。如果論文有幸發表，那成就感必定滿滿；萬一還被核心期刊選中，就太好了，也許教師職業的新階段已悄然開啟。