拉格朗日插值法在鐵路貨運量的探究與應用

文/馬萱航 孫語聰 羅純

鐵路運輸在整個運輸領域中占有重要的地位，并發揮著愈來愈重要的作用，在一定程度上反映了我國經濟發展水平。考慮到鐵路貨運量影響因素較多導致預測準確性較低的問題，提出基于拉格朗日插值的灰色GM（1，1）模型預測鐵路貨運量數據，并推算避免龍格現象的改進拉格朗日插值預測模型，預測結果表明，所提預測方法能夠有效提高預測精準度，鐵路運輸效率較好。

0.引言

鐵路貨運在我國交通運輸行業中的位置和作用至關重要，鐵路貨物運輸是我國的經濟命脈。國外一些國家較早地對鐵路貨運量就展開研究并得到相關結論。文獻[1]中考慮到對于鐵路貨運量影響因素的作用力不同，利用神經網絡構架鐵路貨運量影響因素圖表并進行預測分析；文獻[2]中首次提出將Box-Jenkins模型運用到鐵路貨運量的預測中，得到了較為準確的結果。鐵路貨運量的大小受到社會、自然環境和經濟等因素影響，且相關數據不夠完善，準確的判斷并分析所有的影響因素存在較大難度，使得傳統方法如線性回歸模型、時間序列分析模型等對鐵路貨運量的預測一直無法達到較好的擬合效果。灰色GM（1，1）模型以貧信息、小樣本為研究對象，提供了不確定性系統解決問題的新思路[3]。如果將鐵路貨運量看做是一個灰色系統模型，對可以被監測到的鐵路貨運量進行累加變換，得到一個指數增長模型后進行預測，得到結果再將累加模型以此進行累減還原原數列，從而得到一個對鐵路貨運量的未來預測值。傳統GM（1，1）模型基本思想是:為方便數學建模，對原序列進行一次累加生成，因累加后序列具有指數增長趨勢，所以利用近似一階微分方程建立模型，最后由建模序列累減生成預測序列完成原序列發展趨勢的預測[4-5]。

1.灰色GM（1，1）模型

1.1傳統GM（1，1）

傳統GM（1.1）具體建模過程如下：

設原始數據序列AGO為

X（0）={X1（0），X2（0）X3（0），…，Xn（0）}，n=1，2，3……

對原始數據X（0）做一次累加，得到新序列1-AGO

X（1）={X1（1），X2（1）X3（1），…，Xn（1）}，n=1，2，3……

構造數據矩陣B及數據向量Y，定義白化模型

1.2傳統灰色模型誤差分析

傳統GM（1，1）建模時，原始數列中并不能直觀體現其規律性，而對其累加后可以得到具有明顯指數增長規律的新數列，此建模方式沒有考慮到累加得到的數據也只是近似指數增長的數列，而非完全指數增長，在這個過程中會產生較大誤差，無法準確擬合原序列，預測精度并不理想。由于對于累加數列所求得的微分方程只能近似看做指數增長，在這個過程中，曲線的彎曲程度直接影響了模型的精度，卻無法對曲線進行預知，圖像說明如下。

圖1 灰色預測模型白化表示

同時考慮到拉格朗日插值擬合的過程中會出現龍格現象導致預測結果出現偏差，由此，再對拉格朗日插值進行改進。

對區間[k，k+1]求其插值函數可以得到

2.實證分析

本文選取中國貨運量2000-2020年的數據進行建模分析，數據來源為國家統計局中國統計年鑒[8]。用2000-2015年的相關數據測算得到GM（1，1）預測模型，對2016-2020年的貨運量總量進行驗證從而預測未來三年的數據，采用前文所敘述的原理和方法進行分析，利用MATLAB建立模型計算結果如下。

表1.2000-2015年我國鐵路貨運量總量（萬噸）

表2.2016-2020年我國鐵路貨運量（萬噸）預測結果

由此可以對比看出，經過改進拉格朗日插值的GM（1，1）預測模型精度相比拉格朗日插值GM（1，1）有所提高，有著更高的精度，采用上述基于改進拉格朗日插值改進的灰色模型進行預測未來5年我國鐵路貨運量總量情況如下表所示。

表3.2021-2025年我國鐵路貨運量（萬噸）預測

根據原始數據和預測結果顯示，可以看出未來我國鐵路貨運量總量將不斷上升，這與我國鐵路的不斷完善有著密不可分的關系，數據從2000年的178581萬噸到2020年的455236萬噸，預測結果顯示未來鐵路貨運量仍然會持續增長，尤其隨著我國鐵路線路的增多和延長，我國鐵路貨運量將會迎來新的高峰。

3.結語

本文基于拉格朗日插值灰色預測模型對白化背景值進行分析，提出消除拉格朗日插值造成的龍格現象的改進拉格朗日插值灰色GM（1，1）預測模型，并對我國鐵路貨運量總量進行實證探究和分析，改進模型所得到的結果具有一定的科學性，可為我國鐵運相關部門的科學決策提供一定的理論依據和參考價值。C

引用出處

[1].KLODZINSKI J，AL-DEEK H.Transferability of an intermodal freight transportation forecasting model to major florida seaports[J].Transportation R esearch R ecord Journal of the Transportation Research Board，2003，1820:36-45.

[2].CULLINANE K P B，MASON K J，CAPEM.A comparison of models for forecasting the baltic freight index:box-jenkins revisited[J].International JournalofM aritime Economics.1999（1）:15-39.

[3].曾祥艷.灰色預測GM（1，1）模型的幾種拓廣模型研究[D].成都:電子科技大學，2016.

[4].N ING X U，DANG Y.Characteristic adaptive GM（1，1）modeland forecasting ofChinese traffic pollution em ission[J].SystemsEngineering-Theory＆Practice，2018，38（1）:187-196.

[5].劉思峰等.GM（1，1）模型的幾種基本形式及其適用范圍研究[J].系統工程與電子技術，2014，36（3）:501-508.

[6].張春曉，陳又圣，黃鴻展.基于拉格朗日插值的電子耳蝸分數延遲和參數失配分析[J].中國醫學物理學雜志，2021，38（04）:468-471.

[7].鐘凱強，周建平，薛瑞雷，熊瑩.一種采用Lagrange插值的相貫線簡化算法[J].熱加工工藝，2021，50（15）:131-135+140.

[8].中華人民共和國統計局.中國統計年鑒[M]北京：中國統計出版社，2020.