變式教學在“對數概念及運算”中的應用*

廣東省廣州市廣州大學(510006) 狄華斐 朱雪云

江蘇省無錫市江南大學(214122)李丹楊

1 問題提出

變式教學對我國數學教育有著深遠的影響,它也是數學教師普遍使用的教學方法.《教育大辭典》中解釋“變式教學是學生掌握數學概念的重要方式之一.它通過在教學中運用不同材料或者變化同類事物的非本質屬性,以讓學生了解事物的本質屬性,抽象出數學概念”.

實踐表明[1-2],將變式教學應用于數學教學,有以下益處:第一,激發學生學習數學的熱情;第二,培養學生靈活解決問題的思維能力,從而避免機械反復的訓練;第三,有益于提高課堂教學的效率.但是在實際教學中,對于變式教學絕大多數教師僅停留在變式訓練上,變式教學的功能和價值也被弱化[3].吳晨昊、鐘萍等人[4-5]從數學史的角度對對數的概念進行教學設計.為使學生對“對數的概念”的內涵和外延理解更加清晰,對相應題目達到觸類旁通的效果,本文基于變式教學的教學原則從概念的引入、辨析等幾個方面進行教學設計,將其貫穿于整個課堂教學過程當中.

2 變式教學的教學原則

劉長春,張文娣[6]指出,變式教學應遵循以下教學原則:

①目標導向原則: 圍繞教學目標展開教學活動,有助力于提高課堂教學效果.因此,教師應首先根據教學內容和學生實際情況制定切實可行的教學目標.教學中,以目標為導向,逐步引導學生學習.

②啟迪思維原則: 教師循循善誘地引導對培養學生的思維至關重要.因此,運用變式教學,教師要以學生最近發展區的問題為出發點,精心設置懸念,啟發學生思維,激起學生的求知欲.

③暴露過程原則: 數學是思維活動的過程.因此,教學中,教師應注意引導學生發現問題、分析問題、形成概念、推導結論、思考方法、總結規律等過程,在這些“過程”中鍛煉學生思維.

④主體參與原則: 學生是學習的主體,教師所教的知識經驗只有通過學生主動建構才能內化為自己的.因此,變式教學中,教師尤其要注重調動學生參與的主動性與積極性.

⑤探索創新原則: 教師要注重培養學生獨立思考、敢于質疑、探索創新的學習精神.這就要求教師要設計能夠引起學生思考的新穎變式,并且注重培養學生自主探索新穎變式.

⑥因課而異原則: 任何一種教學模式都不是萬能的,不可能適用所有的課.因此,在教學中,教師要根據所教授的內容和學生的認知基礎,選擇有利于學生發展的教學模式.

3 “對數概念及運算”變式教學設計

“對數的概念及運算”是人教A 版高中必修第一冊第四章第三節的內容,它是學生學習了指數和指數函數的基礎上,從運算的角度,對其進一步鞏固、深化、延續,它也為學生后繼學習對數函數、函數的零點與方程的解等內容奠定基礎.因此,本節內容在本章乃至整個高中數學學習中起著承前啟后的作用.

對學生來說,本節內容雖是第一次接觸,但是,從知識層面, 學生已掌握指數和指數函數; 從能力層面, 學生具備類比、分析、歸納等能力.

基于以上分析,本節課主要教學目標為理解對數符號、對數的概念以及對數與指數間的等價轉換,培養學生數形結合、轉化與化歸、邏輯推理等數學素養.

3.1 題目變式,引入新課

師: 16 世紀中葉,天文學和航海迅速發展起來,當時人們急需快速解決大數間的計算問題,老師給同學們幾個和當時相比比較簡單的計算題,同學們能快速算出它們的答案是多少嗎?

①32×1024=②131072÷128=③(64)3=

生: 32×1024=32768.

老師展示以下數表:

表1

師: 如果用x表示表格中第一行的數,用y表示表格中第兩行的數,則y與x之間有著怎樣的對應關系?

生:y=2x.

引導學生得出:

①32×1024=25×210=215=32768.

②131072÷128=217÷27=210=1024.

③(64)3=(26)3=218=262144.

當兩個數相乘時,運算結果等于這兩個數對應的指數相加后的結果所對應的數;當兩個數相除時,運算結果等于這兩個數對應的指數相減后的結果所對應的數;當求一個數的幾次冪時,運算結果等于這個數對應的冪與它的幾次冪相乘的結果所對應的數.

師: 這里簡化計算所用的方法就是蘇格蘭數學家納皮爾發明的,這個方法涉及我們學過的哪個運算性質?

生: 指數運算性質.

師: 對上述計算題目其中一個做如下變式后,同學們繼續用指數運算性質計算下.

①31×1024=?②81×251=?

生: ①31×1024=2□×210.②81×251=34×3□.

師: ①2x=31,x=?②3x=251,x=?

設計意圖: 教師引導學生理解運算對象,選擇運算方法,得出運算結果的基礎上,通過將計算題由特殊變為一般,激起學生認知沖突,過渡到新知學習,并體會對數的學習價值.

3.2 歸納類比,得出概念

師: ①中x的值存在嗎?

生: 存在,介于4 和5 之間.

師: 作出指數函數y= 2x的圖象,當y= 31 時,根據圖象x的值唯一嗎? 為什么?

生: 唯一,根據圖象有且只有一個x的值與之對應.

師: ②中x的值呢?

生: 也存在,且是唯一的.

師: 根據我們學過的知識能不能把①②中的x分別表示出來?

生: 不能.

師: 已知x2=a,x=?

生:x=log3251.

師: ①2x= 31,x= log231.②3x= 251,x=log3251.③ax=N(a＞0,且a1),x=?

生:x=logaN.

師:x=logaN中a和N的取值范圍有限制嗎?

生:a＞0 且a1,N＞0,和指數中a的取值范圍應保持一致.

對數的定義一般地,如果ax=N(a＞0,且a1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x= logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.

設計意圖: 通過類比,引導學生理解對數符號的引入,并體會其對數學問題解決的重要性.接著,歷經從具體逐漸抽象出概念的過程,感受對數與指數之間等價轉換的思想.

3.3 辨析變式,理解概念

(1)填空.

①指數和對數的關系:

②兩個常用對數:

常用對數: 以10 為底的對數( ),簡記為( ).

自然對數: 以無理數e=2.71828··· 為底的對數( ),簡記為( ).

③當a＞0,且a1 時,loga1=( ),logaa=( ),所以可以得到關于對數的一個結論是( ).

(2)判斷對錯,并說明理由.

①對數的運算實質是求冪指數.( )②logaN是loga與N的乘積.( )③因為(-4)2= 16,所以2 = log(-4)16.( )④⑤lgx=10,則x=10.( )⑥lg(ln e)=1.( )

設計意圖: 引導學生明確對數與指數間的關系,并學習兩個常用對數和得出關于對數一個重要結論,為學生學習換底公式、對數函數等奠定基礎.并通過對對數概念辨析,讓學生深入理解對數的本質.

3.4 語言變式,加深理解

師: logaab=?為什么?

生: 當已知ab=N可以得到b= logaN,把ab=N帶入到b=logaN得到logaab=b.

師:alogaN=?為什么?

生: 當已知ax=N可以得到x=logaN,把x=logaN帶入到ax=N得到alogaN=N.

師: 也即“a的logaN次冪等于N”.

總結: logaab=b,alogaN=N.

設計意圖: 數學語言是數學知識和思想的載體,基于學生已深入理解對數概念基礎上,對對數概念的語言變式,有助于培養學生理解知識并靈活表達.

3.5 方法變式,理解運算

師: 對比我們上面的3 個運算,設M=am,N=an,同學們思考以下幾個問題

(邀請幾名同學到黑板上展示,然后帶領學生一起探究)

師: 因為MN=am·an=am+n,根據對數與指數之間的關系可得: logaM=m,logaN=n,loga(MN) =m+n,所以就得到了對數的一個運算性質: loga(MN) = logaM+logaN.

師: 同學們可以仿照上述過程, 于是因為M÷N=am÷an=am-n, 根據對數與指數之間的關系可得:logaM=m, logaN=n, 所以,所以.

因為Mn= (am)n=amn, 根據對數與指數之間的關系可得: logaM=m, logaMn=mn, 所以logaMn=nlogaM(n∈R).

于是,就得到如下的對數運算性質: 如果a＞0,且a1,M＞0,N＞0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2);(3)logaMn=nlogaM(n∈R).

變式證明同學們課后利用學習過的alogaN=N證明對數的運算性質.

設計意圖: 讓學生學會理解公式的具體推導,而不僅僅只會記憶公式,最后給出變式的具體證明加深學生對數的學習.

3.6 變式訓練,鞏固新知

例1: 已知b=log5(a-2),則實數a的取值范圍為____.

變式訓練1已知b=log(5-a)(a-2),則實數a的取值范圍為____.

例2: 先將下列式子化成對數式,再求各式中x的值: (1)5x=125;(2)10x=0.01;(3).

變式訓練1求下列各式中x的值: (1)lg 100 =x; (2)-ln e-2=x;(3);(4)logx27=3.

變式訓練2求下列各式中的值: (1); (2)elnx=2;(3)log2(log5x)=0;(4)log3(lgx)=1.

例3: 用lgx, lgy, lgz表示下列各式: (1) lg(xyz); (2);(3).

變式訓練1求下列各式的值: (1) lg 5 + lg 2; (2);(3)log35-log315;(4)log3(27×92).

變式訓練2求值: (1); (2);(3)

例4: 證明: (1)logab·logbc·logca= 1; (2)

變式訓練1化簡下列各式: (1)log23×log35×log516;(2)2(log43+log83)(log32+log92).

設計意圖: 通過變式訓練,加強學生對知識的理解運用,培養學生靈活變通、舉一反三能力.

3.7 課堂小結

師: 通過本節課的學習,同學們收獲了什么?

4 變式教學的幾點反思

4.1 根據學生實際情況,恰當采用變式

實際教學過程中,學生的認知發展現狀存在差異性.因此作為教師要提前了解學生的認知水平,根據學生學習情況,恰當采用變式教學,使得教學最大限度地促進學生發展.

4.2 基于學生知識經驗,科學合理變式

采用變式教學時應以學生的原有知識經驗為出發點,設計變式問題,引起學生的認知沖突,調動學生參與的積極性,激發學生學習的熱情.尤其要注意變式的科學合理性,不能為變而變,否則會給學生造成認知障礙和心理負擔,起到事倍功半的效果.

4.3 注重新舊知識遷移,巧用變式教學

數學各知識間不是孤立的,而是相互聯系的.作為教師,在教學中運用變式教學,使學生理解和掌握新舊知識間的聯系和區別.同時,教師也應注重培養學生的知識遷移能力.

4.4 立足學生長遠發展,啟迪學生思維公式的記憶、做題的方法等會隨著時間逐漸淡忘,但是,在數學學習過程中學生發現問題、分析問題、解決問題的能力以及基本思想方法的積累,對后續學習乃至終身發展都發揮著積極的影響.因此,在運用變式教學時,要將知識所蘊含的思想呈現給學生.