雙減促提質作業落素養
——以“尺規作圖”作業設計為例

浙江省杭州云谷學校(310000)張東東

1 作業設計的背景

2021 年7 月,中共中央、國務院辦公廳印發《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》(以下簡稱《意見》),明確要求“減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔”.在這樣的背景下,學校成為“雙減”政策順利落地的重要一環,一線學科教師需要根據本校學生的特點,制定符合個體發展的作業,通過提高作業質量來滲透數學核心素養.

《意見》中指出:“明確作業總量,初中書面作業平均完成時間不超過90 分鐘;提高作業設計質量,發揮作業診斷、鞏固、學情分析等功能,系統設計符合年齡特點和學習規律、體現素質教育導向的基礎性作業,鼓勵布置分層、彈性和個性化作業,堅決克服機械、無效作業,杜絕重復性、懲罰性作業”.

2 作業設計的類型與形式

喻平教授認為數學作業可以劃分為三種形式和四種類型,并設計了數學作業類型與形式的二維結構框架[1].將這個二維結構框架進行編碼, 如表1, 這個結構框架能夠清晰的反映數學作業的三種形式包括閱讀作業(M1)、習題作業(M2)、寫作作業(M3), 四種類型包括基礎類(T1)、綜合類(T2)、探究類(T3)、實踐類(T4).

表1 數學作業類型與形式的二維結構

3 基于核心素養的作業水平劃分

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》中的核心素養表現為小學9 個,初中7 個[2];《普通高中數學課程標準(2017年版2020 年修訂)》(以下簡稱《標準》)中核心素養表現為6個[3],史寧中校長將中小學核心素養歸為數學眼光,數學思維與數學語言,如表2.從小學到高中,表2 能夠清晰看出核心素養表述的變化,不同階段對學生素養的要求是不同的,但又是一脈相承的.

表2 中小學數學核心素養

《標準》對高中數學核心素養劃分了三級水平,為了體現中小學數學核心素養的一致性與層次性,現將初中數學核心素養劃分為三級水平,如表3 為初中數學核心素養對應的水平的描述.

表3 初中數學核心素養對應的水平描述

4 作業設計的目標解析

筆者以浙教版《義務教育教科書·數學》八上“1.6 尺規作圖”的作業設計為例,將數學作業的類型與形式,初中數學核心素養等內容落實到具體課時.表4 是課時作業的目標解析,對本節課的課時目標進行編碼為O1、O2、O3;由于部分題目同時考察多個目標[4].

表4 課時作業的目標解析

5 課時作業設計的內容

1.下列作圖語言中,正確的是( )

A.過點P作直線AB的垂直平分線

B.延長射線OA到B點

C.延長線段AB到C,使AB=BC

D.過∠AOB內一點P,作∠AOB的平分線

2.根據下列條件,能作出唯一的ΔABC的是( )

A.AB=4,BC=7,AC=2

B.∠A=35°,AC=4,BC=3

C.∠A=90°,BC=5

D.∠B=35.5°,∠C=42°,AB=4

3.如圖,用尺規作圖作∠AOC= ∠AOB的第一步是以點O為圓心,以任意長為半徑畫弧①,分別交OA、OB于點E、F,那么第二步的作圖痕跡②的作法是( )

A.以點F為圓心,OE長為半徑畫弧

B.以點F為圓心,EF長為半徑畫弧

C.以點E為圓心,OE長為半徑畫弧

D.以點E為圓心,EF長為半徑畫弧

(第3 題)

(第5 題)

4.如圖,已知ΔABC,AB＜BC,用尺規作圖的方法在BC上取一點P,使得PA+PC=BC,則下列選項中,正確的是( )

5.給出下列關于三角形的條件: ①已知三邊; ②已知兩邊及其夾角; ③已知兩角及其夾邊; ④已知兩邊及其中一邊的對角.利用尺規作圖,能作出唯一的三角形的條件是____.

6.如圖,在ΔABC中,∠C= 90°,分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑作弧,兩弧分別交于M,N兩點,過M,N兩點的直線交AC于點E,交AB于點D.若AC=6,BE=4,則CE的長為____.

7.如圖,是一塊破損的三角形模具的一部分.

(1)只要從殘留的模具片中度量出哪些邊、角,就可以不帶殘留的模具片到店鋪加工一塊與原來的模具ABC形狀和大小完全相同的模具A′B′C′? 請簡要說明理由.

(2)作出模具ΔA′B′C′的圖形(要求: 尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明).

(第7 題)

(第8 題)

8.如圖所示,已知∠AOB及點M,N,求作一點P,使點P到∠AOB兩邊的距離相等,且PM=PN,不必寫出作法.

※9(選做)閱讀作業: 尺規作圖的簡史.

中國古代“規”就是圓規,是用來畫圓的工具,在我國古代甲骨文中就有“規”這個字.“矩”就像木工使用的角尺,由長短兩尺相交成直角而成,兩者間用木杠連接以使其牢固,其中短尺叫勾,長尺叫股.

《史記》卷二記載大禹治水時“左準繩,右規矩”.趙爽注《周髀算經》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之勢,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先測量地勢的高低,就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的中國古代.

古希臘由于《幾何原本》的巨大影響,希臘人所崇尚的尺規作圖也一直被遵守并流傳下來.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題: 立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.1637 年笛卡爾創立了解析幾何,關于尺規作圖的可能性問題才有了準則.到了1837 年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規作圖不可能問題.1882 年林德曼證明了π 是超越數,化圓為方問題不可能用尺規作圖解決,這才結束了歷時兩千年的數學難題公案.

6 作業設計的實施結果

根據學生完成作業的情況繪制成表5,表中可以看出第1-8 題的形式是M2,第9 題(選做)的形式是M1;第1、2、3、5、9 的題目類型是T1,第4、6、7、8 的題目類型是T2;第1 題考察了空間觀念,第2 至8 題考察了幾何直觀.

表5 課時作業實施結果

第1 題的目標為O1,考察了空間觀念,達成水平一的要求,學生作業用時較少,正確率是0.975,說明學生對基礎知識的記憶與鞏固情況比價扎實;第3、4、6、8 題的目標為O2,考察了幾何直觀, 達成水平二的要求, 4 個問題的層次性明顯,用時也有了明顯的差異,但都能達到0.75,符合預期;第2、5、7 題的目標為O3,考察了幾何直觀,從符號語言的特例到文字語言的一般化,再到動手畫出圖形,不同的考察形式,可以了解學生掌握知識的情況,從正確率的角度看,幾個問題略有差異但都符合預期.第9 題的形式為M1,目標為O1,是針對能力較強學生的一項有關數學文化的閱讀作業,從中國的簡史中可以讓學生了解到中國古代數學的發展,讓學生感受到在不同時間、不同空間尺規作圖的演變,從而激發學生學習數學興趣.

本節課第1-8 題的平均用時約為17 分鐘,閱讀(選做)作業約1 分鐘,共約18 分鐘,符合“雙減”要求,作業設計圍繞著教學目標有效進行,基礎知識訓練到位,數學核心素養能夠有效落實,符合學生的學習規律,通過作業能夠培養學生良好的思維習慣,發揮作業診斷、診斷、學情分析等功能.