基于函數凹凸性命制的高考數學導數試題本質研究

嚴天珍

(甘肅省天水市第一中學,甘肅 天水 741000)

美國數學家哈爾莫斯(P.R.Halmos)曾說:問題是數學的心臟,數學的真正組成部分是問題和解[1];數學作為一門研究規律的學科,毫無疑問數學解題教學有其內在的屬性和規律,而這個屬性與規律就是數學解題的本質[2].

凹凸性是刻畫連續函數性質的重要工具之一,不僅在高等數學中具有廣泛的應用價值,同時也是高考數學試題命制的熱點[3].回顧近年高考試題發現,基于函數凹凸性命制的高考數學試題頻頻出現,但由于普通高中數學課程標準并沒有對函數的凹凸性做具體要求,相關性質在高中數學內容中又分布得較為隱蔽和零散,導致學生不會以整體的視野去統整相關的內容,更難將該思想方法順利遷移到相關的解題中去.因此,函數凹凸性的“學考分離”現象成為高中數學教學和高考備考中一個不容忽視的問題.

為此,筆者從高中學生認知水平的前提出發,在介紹函數凹凸性相關定義和定理的基礎上,對近年基于函數凹凸性的高考數學導數試題進行示例分析和解題本質研究,以期為一線教師的解題教學和高考備考提供參考和啟示.

1 預備知識

定義設f(x)為定義在[a,b]上的連續函數,若對[a,b]中任意兩點x1,x2和任意實數λ∈(0,1)總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)為[a,b]上的凸函數;反之,如果總有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)為[a,b]上的凹函數.

定理[4]設f(x)為定義在[a,b]上的二階可導函數,則在[a,b]上f(x)為凸(凹)函數的充要條件是f″(x)≥0(f″(x)≤0).

2 “ f(x)≤kx+b(或≥)”型導數試題的分析與結論

例1(2017年高考全國Ⅱ卷文科數學第21題)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求實數a的取值范圍.

解析(1)略;(2)因為f(x)=(1-x2)ex,所以f′(x)=ex(-x2-2x+1),進而有f″(x)=-ex(x2+4x+1)<0在[0,+∞)上恒成立。由定理可知f(x)在[0,+∞)上為凹函數,又因為f(x)過點(0,1),所以f(x)在點(0,1)處的切線方程為y=x+1,因為f(x)為[0,+∞)上的凹函數,易知曲線y=f(x)總是在它的任一切線的下方,即f(x)≤x+1,又因為,當x≥0時f(x)≤ax+1,所以a的取值范圍為[1,+∞).

評析含參不等式恒成立求參數取值范圍的問題是高考中的熱點,也是難點.解決的方法主要有分類討論和分離參數,分類討論由于分類標準的復雜多樣往往不被一線師生所使用,而分離參數因其思想簡單而易于被學生接收,但解題過程往往因為構造函數復雜、用到洛必達法則等困難而半途而廢.因此在解決“f(x)≤kx+b型”函數問題時,利用函數的凹凸性并考慮相切的臨界狀態,無疑是一種簡潔有效的辦法.

結論1 設f(x)為定義在[a,b]上的二階可導函數,對[a,b]中任意兩點x,x0,則有:

(1)f(x)為[a,b]上的凸函數?f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0);

(2)f(x)為[a,b]上的凹函數?f(x)≤f(x0)+f′(x0)(x-x0).

不難理解,該定理的幾何意義是:若f(x)為[a,b]上的凸函數,則曲線y=f(x)總是在它的任一切線的上方;若f(x)為[a,b]上的凹函數,則曲線y=f(x)總是在它的任一切線的下方.

回望近年高考,2018年高考全國Ⅰ卷文科數學第21(2)題、2018年高考全國Ⅲ卷文科數學第21(2)題、2019年高考全國Ⅱ卷理科數學第20(2)題、2019年高考全國Ⅱ卷理科數學第20(2)題、2020年高考全國Ⅰ卷文科數學第20(2)題、2020年高考全國Ⅱ卷文科數學第21(1)題等,都是基于函數凹凸性命制的,且均可以借助結論1的思想方法解答.限于篇幅,此處不再做示例分析.

例2 (2020年高考全國Ⅱ卷文科數學第21題)已知函數f(x)=2lnx+1[4].

(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;

構造m(x)=f′(x)(x-a)-[f(x)-f(a)],則m′(x)=f″(x)(x-a)

所以g(x)在(0,a)和(a,+∞)上是減函數.

結論2設f(x)為定義在[a,b]上的二階可導函數,x0∈(a,b),則有:

例3 (2020年高考天津卷數學第20題)已知函數f(x)=x3+klnx(k∈R),f′(x)為f(x)的導函數.

(1)(第一問略);

綜上所述,可以得到如下結論:

結論3設f(x)為[a,b]上的三階可導函數,x0∈[a,b],則有:

解題研究一直是中國數學教育研究的一個基本課題[5].解題不僅僅是給出試題的一種或幾種解答,更應探求解題本質,即不斷深究問題,參透題目本質,實現以題會類,真正把解題教學與“四基四能”的提升、核心素養的形成有機地統一起來.