一道高考導數壓軸題的解法探究及背景和推廣

劉 冰

(廈門外國語學校石獅分校,福建 廈門 362700)

2023年高考數學新課標Ⅱ卷的導數壓軸題,第(1)問考查的是證明不等式,構造函數即可解決.而第(2)問考查的是已知函數f(x)的極值點,求參數a的取值范圍,有一定的難度.其難點主要在于對參數a的討論以及對極值的判斷與取點上.該試題很好地考查了考生的分類討論思想和數學運算、邏輯推理等素養.

1 真題再現

2023年高考數學新課標Ⅱ卷第22題如下:

(1)證明:當0

(2)已知函數f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

2 解法探究

(1)先證:當0

設g(x)=x-sinx,x∈(0,1),則g′(x)=1-cosx>0,所以g(x)在(0,1)單調遞增,g(x)>g(0)=0,即sinx

再證:當0

解法1利用x>sinx.設h(x)=x2-x+sinx,x∈(0,1),由x>sinx,得

所以h(x)在(0,1)單調遞增,故h(x)>h(0)=0,即x-x2

解法2兩次求導.設h(x)=x2-x+sinx,x∈(0,1),則h′(x)=2x-1-cosx,h″(x)=2-sinx.當00,所以h′(x)在(0,1)單調遞增,從而h′(x)>h′(0)=0,因此h(x)在(0,1)單調遞增,故h(x)>h(0)=0,即x-x2

(2)解法1令1-x2>0,解得-1

若a=0,則f(x)=-ln(1-x2),x∈(-1,1),

因為y=-lnu在定義域內單調遞減,y=1-x2在(-1,0)上單調遞增,在(0,1)上單調遞減,則f(x)=-ln(1-x2)在(-1,0)上單調遞減,在(0,1)上單調遞增,故x=0是f(x)的極小值點,不合題意,所以a≠0.

當a≠0時,令b=|a|>0,因為

f(x)=cosax-ln(1-x2)=cos(|a|x)-ln(1-x2)=cosbx-ln(1-x2),

且f(-x)=cos(-bx)-ln[1-(-x)2]=cosbx-ln(1-x2)=f(x),

即當x∈(0,m)?(0,1)時,f′(x)>0,則f(x)在(0,m)上單調遞增,結合偶函數的對稱性可知,f(x)在(-m,0)上單調遞減,所以x=0是f(x)的極小值點,不合題意[1].

因為x=0是f(x)的極大值,由函數的連續性,我們知道還需滿足在x=0的左側附近,f′(x)>0,在x=0的右側附近,f′(x)<0.由題意易得,f(x)是關于x的偶函數,也是關于a的偶函數, 因此只需要關注x∈(0,1),a>0的情況.

3 背景分析

本題的高數背景是極值的第二充分條件和第三充分條件.合并后即是如下定理.

定理設函數f(x)在U(x0,δ)內n階可導,且

f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,則

(1)當n為奇數時,f(x)在點x0不取極值;

(2)當n為偶數且f(n)(x0)>0時,f(x)在x0取極小值;

(3)當n為偶數且f(n)(x0)<0時,f(x)在x0取極大值.

利用定理,可得到本題的另一解法.

解法3S表示f(x)的極大值點的集合,則

由定理可得:

4 試題推廣

本題還可以作如下推廣 .

(1)證明:當0

(2)已知函數f(x)=cosax-aln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍[2].

解(1) 略.

(2)顯然f(x)的定義域是I=(-1,1).易見x∈I時

f″(0)=2a-a2;

f?(0)=0;

f(4)(0)=a4+12a.

設S表示f(x) 的極大值點的集合.

由定理可得:

若00,0?S;

若a<0或a>2,則f′(0)=0,f″(0)<0,0∈S;

若a=2,則f′(0)=f″(0)=f?(0)=0,f(4)(0)>0,0?S;

若a=0,則f(x)=1為常數,0?S.

綜上,a的取值范圍為(-∞,0)∪(2,+∞).

試題以三角函數、對數函數為背景.三角函數的導數是中學數學教學的重點與難點.試題巧妙地將三角函數與對數函數相結合,討論函數的極值問題,具有一定的綜合性.試題的高等數學背景是極值的第三充分條件,起點高,但落點低,設計新穎,緊扣課程標準.通過第(1)問鋪設好的不等式,給第(2)問的證明提高了思路,降低了思維強度.