2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(A卷)一道解析幾何題的幾種新解法

鄭建濱

(福建省順昌縣第一中學(xué),福建 南平 353200)

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題(A卷)第11題,考的是雙曲線中的等腰直角三角形面積的最小值問題.雖然已過去三年,但經(jīng)典永遠(yuǎn)不會(huì)過時(shí).最近筆者在給學(xué)生做競賽輔導(dǎo)時(shí),又重溫了這道經(jīng)典試題,并且在已有的解法上,又提出了自己的幾種新解法.

1 賽題再現(xiàn)

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(A卷)一試第11題原題如下:

在平面直角坐標(biāo)系中, 點(diǎn)A,B,C在雙曲線xy=1上, 滿足ΔABC為等腰直角三角形,求△ABC的面積的最小值[1].

2 已有解法

圖1 雙曲線及其等腰直角三角形

①

②

③

由①×②, 并利用③, 得

所以由基本不等式, 得

(s2+t2)4=[-s2t2(s2-t2)]2

④

考慮④的取等條件, 有2s2t2=(s2-t2)2,

解法2同解法1得到①式和②式,把a(bǔ)作為常數(shù), 解出s與t.

由均值不等式, 得

3 新解探究

[u(1-4u2)]2=u2(1-4u2)(1-4u2)

由|AB|=|AC|, 知

從而得到:

分別代入xy=1,得

因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,

通過對聯(lián)賽中經(jīng)典解析幾何試題的多解探究和深入研究,可以發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì),讓學(xué)生通過解一道題,達(dá)到會(huì)解一類題的教學(xué)效果.同時(shí),讓學(xué)生體會(huì)到了不等式、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、幾何等知識(shí)和方法在解析幾何最值問題中的應(yīng)用.此外,通過講解與訓(xùn)練,學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)得到了一定程度的提升.