局部換元法求解一類多元“根式和”問題

劉 波

(靖江市斜橋中學,江蘇 靖江 215000)

下面舉例說明局部換元法在求解競賽中一類多元“根式和”問題的應用.

1 證明不等式

于是83=83·1=83·xyz=8x·8y·8z

=(a2-1)(b2-1)(c2-1)

=(a-1)(b-1)(c-1)(a+1)(b+1)(c+1)

所以(a+b+c)2≥81.

因為a,b,c>1,所以a+b+c≥9.

點評若本題直接證明,不僅有三個變量,而且目標式中含有三個“二次根式”,證明起來比較困難.這里進行局部換元,將“83=83·1”進行1的代換后代入得到關于引進的參數的式子,分解、組合并兩度利用三元均值不等式求解的.求解本題的關鍵在于為什么由“83”來切入,這需要對題意有較強的分析、把控的能力.

所以由xy+yz+zx+2xyz=1,

得a2+b2+c2+2abc=1.

由柯西不等式,得

(a+b+c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2)

=3×(1-2abc)

=3-6abc,

所以(a+b+c)2+6abc-3≤0,

當且僅當a=b=c時取等號.

又由三元均值不等式,得

當且僅當a=b=c時取等號.

整理得2(a+b+c)3+9(a+b+c)2-27≤0,

所以2(a+b+c)3-3(a+b+c)2+12(a+b+c)2-18(a+b+c)+18(a+b+c)-27≤0,

所以化簡得(a+b+c)2[2(a+b+c)-3]+6(a+b+c)[2(a+b+c)-3]+9[2(a+b+c)-3]≤0,

所以[2(a+b+c)-3][(a+b+c)2+6(a+b+c)+9]≤0,

即[2(a+b+c)-3](a+b+c+3)2≤0,

點評本題對目標式中的三個二次根式進行局部換元,轉化后運用柯西不等式和三元均值不等式證明.在證明過程中,三次式“2(a+b+c)3+9(a+b+c)2-27”的分解是個難點,需要有較強的配湊、變形能力.

2 求最值

所以由a+b+c=1,得m2+n2+p2=6.

所以(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2np+2mp≤m2+n2+p2+m2+n2+n2+p2+m2+p2=3(m2+n2+p2)=18,

點評題由于a,b,c具有輪換性,其和為定值1,所以通過進行“局部換元”,進而結合重要不等式求解的.此解法別具一格,充分體現了“局部換元”法的應用價值和解題魅力.

由柯西不等式,得

(a+b+c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2)

=3×16=48,

點評若本題通過局部換元,運用柯西不等式求解,思路明朗、清晰,易于理解,同時也簡化了運算.

3 求范圍

又因為0≤x,y,z≤1,

所以x≥x2,y≥y2,z≥z2,

于是3x+1≥x2+2x+1=(x+1)2,

故[a]=4.

點評本題首先進行“局部換元”,進而結合重要不等式求得(上確界)上界,然后利用不等式性質得到下界從而得解的.

則由解法1,得a2+b2+c2=6.

構造二次函數

φ(λ)=(λ-a)2+(λ-b)2+(λ-c)2,

即φ(λ)=3λ2-2(a+b+c)λ+a2+b2+c2=3λ2-2Mλ+6.

因為φ(λ)≥0,對?λ∈R恒成立,所以△=(-2M)2-4×3×6≤0,

從而M2≤18<25,

局部換元法作為一種常用的換元方法,其本質在于轉化,其關鍵在于設元,其目的在于變換所研究的問題對象,達到化繁為簡、化難為易之目的.通過上述幾例可以看出,應用局部換元法解答某些競賽題優勢明顯,在解題中應多體會這一方法.