速度PI 控制及低通濾波器的系統設計

章國光 陳超凡 鄭曉斌 劉文龍

（①湖北工業大學電氣與電子工程學院，湖北 武漢 430070；②湖北韻生航天科技有限公司，湖北 襄陽 441000）

在工業控制伺服系統中，電機與負載之間一般通過傳動軸、齒輪或者聯軸器等傳動機構進行連接，因此電機和負載之間存在彈性傳動，使系統出現機械諧振現象。機械諧振會造成很多不利的影響，如振蕩產生噪聲、降低伺服系統性能，嚴重時甚至損壞機械系統。因此，機械諧振抑制已經成為高性能伺服驅動系統的重要研究課題之一[1]。

現代伺服驅動系統通常采用主動方式和被動方式抑制機械諧振，主動方式需要主動調整控制器參數或結構來消除諧振帶來的影響，被動方式是通過濾波器等來實現的。文獻[2]基于傳統PI（比例積分）控制的二慣性彈性系統，利用相同實部、半徑和阻尼系數的極配置法來分析系統的阻尼特性，并實現控制器的參數的優化配置。文獻[3]分析電機轉速PI 控制、加速度反饋等方法在抑制振蕩和抑制干擾方面的關系，介紹了一種基于極配置的分析框架，評價了各種設計方案的設計特征。文獻[4-5]分析PI 控制下不同反饋控制的效果。文獻[6]提出了轉速負反饋抑制諧振的結構和反饋系數的設計方法，證明轉速負反饋對負載慣量變化的魯棒性。文獻[7-8]提出了參數平面法，通過建立系統特征方程與2 個控制參數之間直接的聯系，通過代數矩陣，實現系統參數的求解，系統設計的自由度較高。因此本研究將參數平面法應用到速度控制系統中。

陷波器可以抑制諧振引起的幅值，并通過適當的參數設置提高系統的動態性能[9]。文獻[10]在傳統擾動觀測器的基礎上引入高通濾波器以消除軸轉矩觀測量的直流分量，從而增大系統阻尼來抑制諧振，同時改善系統動態響應性能。

本文應用參數平面法設計PI 速度控制系統，二參數平面法的設計可以方便地調節系統中支配極的位置，通過配置約束極的位置來分析系統阻尼特性。針對欠阻尼情況，導入濾波器，并利用三參數擴充參數平面法[11]進行系統分析，解析系統的特征與系統參數調節的規律。

本文導入擴充參數平面法，對于高階控制系統改善其設計自由度，且計算簡單。同時，針對濾波器的導入，結合系統的阻尼特征，給出系統參數的調節方法。

1 二慣性系統與系統建模

二慣性系統由一個弾性驅動軸和兩個慣性組成，模型如圖1 所示。

圖1 二慣性系統模型

圖1 中，Jm為電機轉動慣量（kg·m2），JL為負載轉動慣量（kg·m2），Tm為電機轉矩（N·m），Ts為傳動軸轉矩（N·m），TL為負載轉矩（N·m），ωm為電機轉速（rad/s），ωL為負載轉速（rad/s），Ks為傳動軸扭轉剛度（N·m/rad）。

一般情況下，二慣性系統的機械阻尼較小，在分析時可以忽略。為了進一步分析二慣性彈性系統，建立其框圖和傳遞函數。二慣性系統框圖如圖2所示。

圖2 二慣性系統框圖

由圖2 可以得到，從電機轉矩Tm到電機轉速ωm和負載轉速 ωL的傳遞函數：

式中：ωa為反諧振頻率，ω0為諧振頻率，R為負載與電機的慣性比。

2 系統的設計與分析

2.1 速度控制系統

速度控制系統框圖如圖3 所示。

圖3 速度系統框圖

圖3 中，Kp為比例反饋系數，Ki為積分反饋系數，ωr為電機的參考輸入轉速。

由圖3 可以得到從電機參考輸入轉速 ωr到電機轉速 ωm和到負載轉速 ωL的傳遞函數：

該系統有四個極點需要分配，但只有Kp和Ki兩個控制參數，控制階數高，可控參數少，因此可使用二參數設計的參數平面法。

2.2 參數平面法的設計導入

通過對速度控制系統進行分析，得出其極點分布，驗證參數平面法對系統參數調節的可行性。式（5）的設計式樣為

式中：ω1為設計極角頻率，ω2為約束極角頻率（假定 ω1＜ω2），ζ1、ζ2為相對阻尼系數。

參數平面法的設計計算過程以及系統特征方程的一般形式為

式中：ak為特征方程的各階系數，m為系統階數。

復極s1,2表示為

式中：函數Uk(ζ1) 為第二類切比雪夫函數，參數ζ1的范圍為 0 ≤|ζ1|≤1，表達式為

將式（9）代入特征方程式（7）中，令實部和虛部之和各自為零后得到：

系數ak作為控制參數Kp和Ki的函數：

式中：bk、ck、dk為系統結構系數。

式（11）可表示為

求解式（13），可以計算出控制參數Kp和Ki：

可以通過調節設計極角頻率和阻尼系數的值來設計控制參數Kp和Ki。本研究通過參數平面法建立了特征方程根與兩個控制參數之間的關系來解析系統[7-8]。

參數平面法的導入過程如下，速度控制系統分母的各階系數從式（5）中得到，分別為

式中：bk、ck、dk各系數按式（12）展開順序，并對照式（16）各系數后得到：

而bk、ck、dk的其他各系數均為0。

將式（17）代入式（14）可求得B1、B2、C1、C2、D1、D2，再根據式（15）可計算出Kp和Ki。

以上，參數平面法提供了二參數系統的計算方法，對于PI 速度控制系統的Kp、Ki兩個控制參數，通過參數平面法可以進行參數計算。

2.3 速度PI 控制系統的仿真分析

傳動軸扭轉剛度Ks=2.33 N·m/rad，負載側轉動慣量JL=1.3×10-4kg·m2。通過改變設計極分析極點分布（圖4 中*為設計極，×為約束極），調查設計極、慣性比等特征參數對系統阻尼的影響。

圖4 極點分布（ω1=0.6ωa）

（1）設計極ω1=0.6ωa、0.8ωa，阻尼系數ζ1=0.707，慣性比R=0.5～2，系統極分布如圖4 和圖5 所示。

圖5 極點分布（ω1=0.8ωa）

由圖4 和圖5 可以看出，約束極的位置會隨著慣性比的增大而遠離虛軸。由此可以得出：慣性比相對小時系統的阻尼特性變差。

（2）慣性比R=0.56、0.73，設計極頻率ω1=0.3ωa～0.9ωa，PI 控制系統極點分布如圖6 和圖7所示。

圖6 極點分布（R=0.56）

圖7 極點分布（R=0.73）

由圖6 和圖7 可以看出，約束極位置隨著設計極頻率的增大而遠離虛軸，而設計極頻率增大到一定程度后，約束極位置又會靠近虛軸。由此可以得出：增大設計極頻率的值在一定程度上可以提高系統的阻尼特性，但超出某一范圍后，系統阻尼特性反而變差。

（3）設計極 ω1=0.6ωa、0.8ωa，慣性比R=0.56、0.73、1，負載側階躍響應曲線如圖8 和圖9 所示。

圖8 階躍響應曲線（ω1=0.6ωa）

圖9 階躍響應曲線（ω1=0.8ωa）

通過圖8 和圖9 可以看出，當R＜1時，系統呈現欠阻尼特性，系統發生振蕩。針對欠阻尼情況，需導入新的方法來改善系統阻尼特性。

3 濾波器的導入與設計分析

3.1 濾波器的建模與設計

伺服系統機械諧振是一種常見的問題，為了解決這個問題，考慮導入低通濾波器進行機械諧振的抑制。在伺服系統中，濾波器通常被放置在控制器的控制回路中，以濾除機械諧振的信號。通過結合控制器與濾波器參數，抑制機械諧振。

含濾波器的PI 速度控制系統（以下簡稱為IPF）框圖如圖10 所示。

圖10 IPF 速度系統框圖

圖10 中，Td為濾波器時間常數。

由圖10 可以得出從電機參考輸入轉速 ωr到負載轉速 ωL的傳遞函數：

該系統為五階，但只有Kp、Ki和Td3 個控制參數。

導入擴充參數平面法求解三控制參數。擴充參數平面法建立了特征方程根與控制參數之間的直接關聯，可以對三參數系統的控制參數進行解耦計算。

系統特征方程的各階系數為

IPF 速度控制系統有3 個設計參數，通過配置3 個設計極來開展解析，步驟如下。

復極s1,2和實極s3分別設定為

借鑒第2 節的參數平面法思路，將sk代入特征方程中，并令其實部和虛部之和各自為零后得到：

ak作為控制參數Kp、Ki和Td的函數：

式中：bk、ck、dk、ek為系統結構系數。

式（21）可表示為

通過式（23），可以計算出3 個控制參數Kp、Ki和Td：

bk、ck、dk、ek各系數按式（22）展開順序，對照式（19）各系數后得到：

而bk、ck、dk、ek的其他各系數均為0。

將式（26）代入式（24）可求得B1、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2、D3、E1、E2、E3，最后，根據式（25）即可計算出Kp、Ki和Td。

3.2 仿真分析

在上述系統結構參數不變的情況下，將PI 控制系統和IPF 控制系統作對比。

（1）當設計極 ω1=0.6ωa、0.8ωa，ω2=ω1，慣性比R=0.5～2時IPF 系統極點分布（*為設計極，×為約束極）如圖11 和圖12 所示。

圖11 IPF 極點分布（ω1=0.6ωa）

圖12 IPF 極點分布（ω1=0.8ωa）

通過圖11 和圖12 與圖4 和圖5 對比可以看出，在PI 系統中導入濾波器后，約束極（×）的位置向左移動，說明系統阻尼特性得到改善。

（2）當慣性比為0.56、0.73 和1 時，負載側階躍響應曲線如圖13 和圖14 所示。

圖13 IPF 階躍響應曲線（ω1=0.6ωa）

圖14 IPF 階躍響應曲線（ω1=0.8ωa）

圖13 和圖14 與圖8 和圖9 對比可以看出，在控制系統中導入濾波器后，系統振蕩減??；說明在PI 控制系統中導入濾波器可以提高系統的阻尼特性，有效抑制系統中的機械諧振。

4 實驗結果

對二慣性系統進行實驗，兩臺永磁電機通過彈性軸連接。其中一臺作為驅動電機，另一臺作為負載。電機位置傳感器為磁阻傳感器，轉速通過傳感器位置計算得到。慣量盤固定在電機側和負載側的傳動軸上，通過改變慣量盤的大小改變特性，調節負載側與電機側之間的慣量比。圖15 所示為實驗系統。

圖15 實驗系統

系統參數見表1。

表1 系統參數

設定電機的參考輸入轉速為1 000 r/min，對系統的設計進行實驗測試。

當設計極頻率 ω1=0.8ωa、慣性比為0.56 和0.73時，負載側階躍響應曲線如圖16 和圖17 所示。

圖16 階躍響應實驗（R=0.56,ω1=0.8ωa）

圖17 階躍響應實驗（R=0.73,ω1=0.8ωa）

圖16 和圖17 與圖9 和圖14 對比可以看出，IPF控制提高了系統的阻尼特性，且實驗結果符合仿真分析。

5 結語

本文針對速度PI 控制系統應用參數平面法，解析系統的阻尼特性，分析表明系統小慣量比時呈現欠阻尼特性。

針對欠阻尼特性，在系統中導入低通濾波器，提高系統的阻尼特性。同時導入擴充參數平面法，開展系統仿真及分析，實驗結果表明導入濾波器并結合傳統的PI 控制可以解決系統欠阻尼特性的問題。

本文解決了五階三參數系統設計自由度不足的問題，并提出了PI 控制器與濾波器結合的控制與設計法。研究結果表明，擴充參數平面法對二慣性系統三參數調節的直觀性、簡便性和實用性。