例談整式加減中的缺項與無關問題

【摘要】本文結合具體題目闡述整式加減中常見的缺項問題和無關問題，提供解題的一般方法，以幫助學生鞏固含參數整式的加減運算，提升解決含參數整式問題的能力．

【關鍵詞】整式的加減；參數；缺項問題；無關問題；變式

“整式的加減”是人教版數學七年級上冊第二章的學習內容，本章在學習整式的概念、合并同類項、去括號以及化簡求值的過程中，會遇到較多含參數的整式問題，其中較典型的有缺項問題和無關問題.本文以八道題目的解答為例，闡述了整式缺項與無關問題的解題原理和方法，能有效鞏固含參數整式的加減運算，進一步提升解決含參數整式問題的能力．

1 知識回顧

通過以下四道選填題，回顧含參數整式中的合并同類項、求系數、次數、項數問題，初步接觸含參數整式的缺項問題和無關問題.

（1）關于x，y的單項式mxy2和-6y2x合并的結果為．

（2）已知整式x|m|-（m-2）x+3是關于x的二次三項式，則m的值為．

（3）已知（a-1）x3+（b+2）x2+1是關于x的二次多項式，則a，b的值可以是（）．

A．0，0B．0，-1C．1，0D．1，-2

（4）已知整式x2+mxy-y2+3不含xy項，則m的值為．

解答 （1）（m-6）xy2．

（2）依題意|m|=2，-（m-2）≠0，所以m=-2．

（3）依題意a-1=0，b+2≠0，解得a=1，b≠-2，所以答案選C．

（4）因為不含xy項，所以m=0．

2 解題探究

2.1 缺項問題

缺項問題指的是整式中不含某項的問題．解決缺項問題的一般方法是先將整式進行化簡，再根據題目要求，不含哪一項則令該項的系數為0，從而解出其中的參數．其原理是因為無論某項中的字母取何值，只要該項系數取0，則該項的值就為0，所以要使某項不存在，就令該項的系數為0．

下面以四道例題為例，例1和例2是直接應用，例3需要先化簡整式找出系數，例4需要先列式求出該整式再進行解答，解題時還應注意正確區分題目中的自變量和參數．

例1 已知關于x的整式x4-（m+2）x3+（n-1）x2-3x+5不含x3項和x2項，求m，n的值．

解 因為該整式不含x3項和x2項，所以這兩項的系數為0，即-（m+2）=0，n-1=0，解得m=-2，n=1．

例2 已知整式（a-2b）x4-（2a+b）x3+x2-2是關于x的二次多項式，求3a-b的值．

解 因為該整式是關于x的二次多項式，故不含x4項和x3項，所以這兩項的系數為0，即a-2b=0，-（2a+b）=0，所以a-2b+（2a+b）=0，即3a-b=0．

例3 已知關于x，y的整式ax2+xy+2x2-3x-bxy+y不含二次項，求3a-5b的值．

解 將整式合并化簡，得（a+2）x2+（1-b）xy-3x+y．因為該整式不含二次項，所以二次項（a+2）x2和（1-b）xy的系數為0，即a+2=0，1-b=0，解得a=-2，b=1，所以3a-5b=-11．

例4 已知關于x，y的整式A=3x2-mx-n和B=y2+2x-5，如果A+B中不含一次項和常數項，求（m+n）m的值．

解 先求出A+B=3x2-mx-n+y2+2x-5=3x2-（m-2）x+y2-n-5．因為A+B中不含一次項和常數項，所以-（m-2）=0，-n-5=0，解得m=2，n=-5，所以（m+n）m=（-3）2=9．

2.2 無關問題

無關問題指的是整式的值與某字母取值無關的問題．與缺項問題類似，若與某字母取值無關，則說明含該字母的項不存在．所以解決無關問題的一般方法是先將整式化簡，再根據題目要求，令含該字母的項的系數為0，進而解出其中的參數．

下面以四道例題為例，例5是直接應用，例6需要先列式化簡求出該整式，例7和例8通過定值問題的形式呈現，考查綜合運用能力．

例5 已知整式（a+3）x2+（b-2）x+5的值與x的取值無關，求a，b的值．

解 因為該整式與x的取值無關，所以令（a+3）x2和（b-2）x的系數為0，即a+3=0，b-2=0，解得a=-3，b=2．

例6 已知整式A=x2+mx+2m，B=2x2-2mx+x-3，如果2A-B的值與x的取值無關，求2A-B的值．

解 因為2A-B=2（x2+mx+2m）-（2x2-2mx+x-3）=（4m-1）x+4m+3．由于2A-B的值與x的取值無關，所以含x的項的系數為0，即4m-1=0，解得m=14，所以2A-B=0+4m+3=4．

例7 已知整式A=2x2+mx-2x+3，B=-x2+2mx-1，小明在計算3A+6B時發現，無論x取何值，3A+6B的值恒不變，求m的值．

解 先求出3A+6B=3（2x2+mx-2x+3）+6（-x2+2mx-1）=（15m-6）x+3．因為無論x取何值，3A+6B的值恒不變，說明其值與x的取值無關，所以含x項的系數為0，即15m-6=0，解得m=25．

例8 已知無論x，y取何值，整式2mx2-ny+5與nx2+4y-10的差都等于定值15，求m2+n2的值．

解 先求出（2mx2-ny+5）-（nx2+4y-10）=（2m-n）x2-（n+4）y+15．因為無論x，y取何值，該差值都等于定值15，說明其值與x，y的取值無關，所以含x，y項的系數為0，即2m-n=0，n+4=0，解得m=-2，n=-4，所以m2+n2=20．

參考文獻：

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