說題有道　講題有法

高慧

【摘要】說題比賽一般包括說背景、說思路、說引申、說教法、說反思.很考驗(yàn)參賽者的解題水準(zhǔn)和專業(yè)能力.結(jié)合筆者現(xiàn)場(chǎng)說題情形，賽后對(duì)該題的本質(zhì)進(jìn)行反思并加以探索.

【關(guān)鍵詞】說題；教法；多角度

1 問題呈現(xiàn)與價(jià)值分析

如圖1，△ABC和△ADE是等邊三角形，∠ADB=90°，延長ED交BC 于點(diǎn)F.

求證：F是BC的中點(diǎn).

2 解法分析與通法探究

常規(guī)思路 遇到共頂點(diǎn)模型的問題，可以得到三角形全等，然后得到線段以及角相等.

證明準(zhǔn)備 如圖2易證△ABD≌△ACE，易得BD=CE，∠BDF=∠FEC=30°.將題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

思路1 作垂線構(gòu)造直角

證法1 如圖3，過點(diǎn)C作CM⊥EF，過點(diǎn)B作BN⊥EF的延長線于點(diǎn)N，則△BDN ≌△CEM，所以BN=CM，故△BFN ≌△CFM，故得證.

思路2 平行線法構(gòu)造三角形全等

證法2 如圖4，作BM∥CE，∠M=∠FEC

=∠BDF，BM=BD=CE，可證△BFM≌△CFE，得證.

證法3 如圖5，作CN∥BD，其余同證法2

思路3 借助圓構(gòu)造等腰三角形

證法4 如圖6，以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑作圓交EF的延長線于點(diǎn)M，所以BM=CE，可得∠M=∠FEC，易證△BFM≌△CFE，故得證.

證法5 如圖7，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作圓交EF的延長線于點(diǎn)N，其余同證法4.

思路4 截長補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形

證法6（截長） 如圖8，在EF上截取EM=DF，則△BDF≌△CEM，易得∠MFC=∠FMC，得證.

證法7（補(bǔ)短） 如圖9，在EF的延長線上截取DN=EF，其余同證法6.

評(píng)注 筆者在比賽現(xiàn)場(chǎng)的試卷中給出了七種解法，由于時(shí)間限制，筆者選取了證法1、證法2、證法6進(jìn)行詳細(xì)解說.比賽結(jié)束后筆者意猶未盡，對(duì)該題的解答進(jìn)行了更深一步的思考挖掘．

思路5 構(gòu)造平行四邊形.

證法8（構(gòu)造1） 如圖10，作DM∥CE，截取DM=CE，通過構(gòu)造平行四邊形DECM進(jìn)行求證.

（相似的構(gòu)造還有三種，（構(gòu)造2）如圖11，作EN∥BD，截取EN=BD.（構(gòu)造3）如圖12，作FM∥BD，截取FM=BD=CE.（構(gòu)造4）如圖13，作FN∥CE，截取FN=CE.）

證法9 如圖14，作DM∥CE，截取DM=CE，易證四邊形DECM是平行四邊形，△BDM為等腰三角形，∠BDN=∠MDN，利用等腰三角形三線合一可證.

思路6 構(gòu)造相似三角形或利用角平分線定理

證法10 如圖15，作FM∥BD，MN∥CE，故△MNF為等腰三角形，利用平行線性質(zhì)，可得CM=DM，又FM∥BD，得證.

證法11 如圖16，作DM∥CE，易得DF平分∠BDM，利用角平分線定理得證.

證法12（四點(diǎn)共圓） 如圖17，四邊形ABFD內(nèi)接于一個(gè)圓，利用三線合一得證

3 教學(xué)感悟

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，經(jīng)過此次說題比賽，筆者對(duì)解題教學(xué)有了這樣的認(rèn)識(shí).

（1）任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題的背后，都有其根源．我們?cè)诮虒W(xué)中不能只重視解題結(jié)果，也要對(duì)解題過程進(jìn)行反思.

（2）重視解法的生成過程，要給每種解法尋求一個(gè)自然而然的解釋．讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活處理．

（3）通過變式訓(xùn)練有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生梳理解題方法，讓感受解題方法的相關(guān)性，便于掌握更一般的方法．

參考文獻(xiàn)：

［1］施利強(qiáng).尋試題本質(zhì) 探解題教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2022（2）：20-24．

［2］楊春霞，諸士金.挖掘素材價(jià)值探索解題通法[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2022（8）：63-67．