Chen 混沌系統數值仿真及其電路實現

蔣逢靈，劉賢群

（1.湖南鐵路科技職業技術學院，湖南株洲，412006；2.湖南省高鐵運行安全保障工程技術研究中心，湖南株洲，412006）

混沌系統是典型的非線性系統，具有隨機性、遍歷性以及初值敏感等特征，系統軌跡表現出及其的不確定性，非常適合于在安全通信[1]、密鑰加密算法[2]以及圖像處理[3]等方面中的應用，已經成為一門熱門的學科研究。混沌系統經歷了不同階段的研究與發展，前期階段主要關注混沌現象的揭示、混沌系統模型的搭建以及混沌理論的確定，而后期階段的研究工作重點傾向于混沌模型的搭建與仿真、混沌理論的延伸以及混沌理論的應用等。隨著計算機科學技術的發展，仿真技術已經成為科學研究中不可缺少的技術手段，利用仿真技術輔助科學研究，有助力縮短科學研究的周期，解決科學問題，降低科學研究的成本及風險[8]。Matlab/Simulink軟件擁有強大的線性系統和非線性系統的分析功能，非常適合于混沌系統的研究，能夠完成混沌系統的建模、仿真和分析等。并且混沌系統的動態仿真與電路實現，是認識混沌、應用混沌的基礎。1983 年，美國華裔科學家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路，證實了利用電子電路實現混沌現象的電路模型，開創了混沌電路產生混沌現象的先河[4]。隨后研究者們利用電路元器件參數變化可調的便利，再通過運算放大器加減法、比例運算以及微分電路等實現了混沌電路，誕生了Chua’s 混沌電路[5]，Lorenz 混沌電路[6]、Chen 混沌電路[7]等混沌電路模型，這些研究成果為后來研究者研究混沌、分析混沌特性以及混沌應用提供了更多的參考價值。

根據Chen 混沌系統的微分方程，給出了系統方程的仿真建模流程，采用Matlab/Simulink 軟件對Chen 混沌系統進行建模和仿真，通過觀測器觀測到了系統的混沌相空間吸引子和混沌時序圖。最后利用電路原理，在Multisim 中搭建Chen 混沌系統模型進行電路實驗仿真，結果表明系統存在混沌現象，實驗結果進一步驗證了混沌電路同樣是混沌的，與前面動態仿真結果完全吻合。文中利用動態仿真和電路實現揭示了混沌現象，把抽象的混沌理論，復雜的混沌動態狀態該仿真通過仿真軟件簡明、直觀的展示，有利于為從事混沌理論及應用研究提供很好的參考價值，為混沌系統及實驗教學提供了新途徑。

1 Chen 混沌系統的Matlab 仿真

Chen 混沌系統，與Loren 系統、Chua’s 系統和Rssler 系統都是最具有代表性的混沌系統[9]，其中Chen系統的狀態方程為：

其中x，y，z為系統變量，常數a，b，c系統（1）的參數，在電路實現中可以通過改變電阻的取值改變常數的值。

Matlab 數值仿真就是根據系統（1）的數學表達式通過軟件程序的編寫，將數學公式抽象化的理論知識通過計算機的處理圖形化或者數值化，解決復雜問題的分析，但其缺點是受制于仿真速度較慢，以及無法演化系統的動態仿真過程，只能得到最終的輸出結果。其具體的仿真思路如圖1 所示，首先在Matlab 中編寫M 文件，將系統狀態方程的數學公式進行轉換，通過編程語言設置參數和初始值等參數，輸出系統圖形，最后根據輸出相圖分析系統是否為混沌系統。

圖1 Matlab 數值仿真流程

以整數階Chen 混沌系統為例，在數值仿真參數設定中取系統（1）的初始值x(0)=10，y(0)=10，z(0)=10，a=35，b=3，c=28，在Matlab 中運行程序，輸出Chen系統的三維相空間吸引子如圖2 所示。

圖2 Chen 系統三維相空間吸引子

2 Chen 混沌系統的Simulink 動態仿真

Simulink 是Matlab 軟件中重要的組成部分之一，具有功能強大，使用簡單方便的優點，是一種有效的可視化仿真工具，非常適合于動態系統的數學建模、仿真與分析，不需要編寫大量復雜的程序，只需要根據系統表達式建立模塊化模型，并且仿真效果直觀，非常適合于復雜非線性系統的仿真分析。

Simulink 有數十種以上的功能集合，文中對系統（1）進行動態數值仿真主要用到Simulink 功能集中“Simulink Library Browser”，里面涵蓋了系統建模、函數調用、運放、數學運算以及狀態監控等功能。具體流程如圖3 所示。

圖3 Simulink 數值仿真流程

在Simulink中建立Chen 系統的仿真模型如圖4所示。

圖4 Chen 系統Simulink 數值仿真模型

圖3 中Gain 表示數乘放大，對應系統（1）中的a，b，c，可以通過修改Gain 的值進行改變系統參數的值。Product 表示變量的乘法“X”運算，“1/S”表示積分。仿真設置參數a=35，b=3，c=28，運行仿真時間50，通過觀測器觀察系統的二維空間相圖如圖5所示，x，y 相的時序圖如圖6 所示，從圖5 和圖6 發現Chen 系統是混沌的。

圖5 Chen 系統x-y 相圖

圖6 x，y 的時序圖

3 Chen 混沌系統的電路仿真

混沌系統的動態仿真研究是基于計算機仿真手段分析混沌特征的重要手段，而混沌系統電路實驗是混沌系統在實際工程中應用需要解決的問題。混沌系統因為初始值敏感的特性，一點點細微的差別，導致結果天壤之別，對實際電路實驗提出了極其苛刻的要求，需要高精度、高可靠的實驗元器件。隨著計算機技術的法陣，構造出很多輔助演示研究的仿真平臺，其中Multisim 電路仿真平臺就能很好地解決混沌電路的仿真問題，能夠獲得效果顯著的系統仿真結果。

基于電路原理知識，根據Chen 混沌系統的數學表達式，利用運算放大器虛短和虛斷的原理設計系統的電路模型，其中運算放大器（LF347BD）主要實現數學公式的加減計算、變量的反相器設計以及微分方程等運算，模擬乘法器AD633 實現Chen 混沌系統的非線性變量的運算如圖7 所示。

圖7 系統電路原圖

運算放大器電壓等級如圖7 所示，取±18V。為了有效的對系統電路進行仿真實驗，這里將輸出變量的信號縮小到原理的1/10，設變量 u=10x1，v=10x2，w=10x3，其輸出結果不會影響系統的性能，令u=x，v=y，w=z，則系統（1）變換為：

根據電路理論以及電器元器件的運算，設計出仿真電路為：

由式(2)和式(3)可得：

由式(4)和式(5)，取系統參數如表1 所示。

表1 Chen混沌系統電路參數

由Chen 混沌系統參數計算可得到a=35，b=3，c=28，在Multisim電路仿真中對電路進行仿真，通過示波器觀察到系統（2）的二維及時序相圖如圖8～圖11 所示，從圖8～圖11中可以看出，系統（2）是混沌的，與系統（1）仿真結果完全項吻合，驗證了電路實驗的可行性與準確性。

圖8 x-y 二維空間相

圖9 x 時序圖

圖10 y 時序圖

4 結束語

根據Chen 系統動態方程，采用Matlab/Simulink 仿真軟件實現了Chen 混沌系統的建模和動態仿真，給出了仿真建模的流程，并對模型進行仿真分析，系統確實存在混沌相圖吸引子和時序圖。最后在Mulitisim 中搭建Chen 混沌系統電路模型，設置合適的電路元器件參數，通過示波器觀察系統是混沌的，并且電路實驗結果與數值動態仿真結果完全相吻合。文中采用多種仿真軟件對Chen 混沌系統進行動態仿真與電路實現，把混沌系統抽象化的問題具體直觀化，在一定程度上彌補了科學研究者物理實現的短板，同時也為后續從事混沌理論及應用研究提供參考價值，為混沌系統和混沌實驗研究提供新途徑。