借球問道 巧建模型
——對2022年新高考Ⅰ卷數學試卷第8題的探究與思考

張夢婷

(福建省福清第三中學,福建 福清 350300)

統計近五年的高考真題,筆者發現高考真題對于球的考查主要有以下幾個方面:(1)考查球與幾何體的體積和表面積;(2)考查球的截面截線問題.學生解決此類問題的難點在于無法準確作出球與幾何體的直觀圖,對于多變的幾何載體學生難以確定球心的位置與半徑.以下對2022年新高考Ⅰ卷數學試卷第8題的求解進行詳細分析,探究其規律.

1 試題呈現

考查意圖本題考查了正四棱錐的外接球、函數的最值等基礎知識,有較強的綜合性.需要學生擁有立體幾何空間感以及分析解決問題的能力,能在有限的時間內做到立體幾何問題平面化,構建目標函數將問題轉化為三次函數的最值問題.本題突出了轉化思想和模型思想的應用,考查了數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養,強化基礎考查,突出關鍵能力[1].

2 解法探析

解法1如圖1,設頂點為P,P在底面的射影為O1,由對稱性可知球心O在PO1上,設PO1=h,正方形邊長為a,則OP=OA=R.

圖1 2022年新高考Ⅰ卷第8題圖

化簡可知,l2=6h,a2=2l2-2h2=12h-2h2.

令V′=0,解得h=4.

解法2 如圖1,設頂點為P,P在底面的射影為O1,由對稱性可知球心O在PO1上,記四棱錐側棱與底面夾角為θ,高為h,則h=lsinθ,O1A=lcosθ.

則(lsinθ-3)2+(lcosθ)2=9.

則l=6sinθ,h=lsinθ=6sin2θ,

所以y′=-3x2+1.

即Vmax=144(ymax)2

3 方法剖析

解決球相關的切、接問題關鍵要精準作圖.對于球內接錐體、柱體、臺體問題,想要確定球心、半徑與多面體幾何元素之間的關系比較困難,需要學生能夠熟練掌握球中幾何體的圖形特征,應付多元變量之間的相互轉化.因此,需要在作圖時將幾何體的底面放置在水平的截面圓上,這樣可以直觀看出球心、截面圓圓心所構成的直線與截面圓垂直,可以得到多個直角三角形,并且水平的截面可以更好地觀察頂點的位置,從而確定高的信息[2].

而在解題過程中涉及一個球內典型的計算模型,如圖2,此模型可以稱為圓錐模型或斗笠模型.球面上的點與截面的圓心及球心構成一個直角三角形,利用勾股定理可以得到球半徑與幾何體底面外接圓半徑之間的關系.此模型在求解球與幾何體切接問題、截面截線問題上有著廣泛的應用[3].

4 應用賞析

應用1 球與幾何體的體積和表面積問題.

題1 (2022年全國乙卷9)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當該四棱錐的體積最大時,其高為( ).

解析本題與2022年新高考Ⅰ卷第8題一樣都是球內接四棱錐問題,但是此題的底面四邊形是未知四邊形,頂點是球心O.因此一旦底面確定,高就固定下來,需要確定底面四邊形面積與高之間的關系.基于方法剖析可知首先作出底面四邊形所在的截面圓,如圖3所示將底面擺平.當底面所在外接圓固定,則錐體的高度固定,因此要四棱錐體積達到最大,需要底面四邊形面積最大.

圖3 2022年全國乙卷第9題示意圖

因為sinα+sinβ+sinθ+sinφ≤4,

SABCD=2r2=2(1-h2).

應用2 球的截面截線問題.

題2 (2022年北京卷第9題)已知正三棱錐P-ABC的6條棱長均為6,S是ΔABC及其內部的點構成的集合,設集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區域的面積為( ).

解析此題集合T={Q∈S|PQ≤5}構成的集合就是球表面以及內部的點的集合,本題考查的本質就是球與平面ABC的截面問題,球與平面的截面就是一個圓面.

設球面上點Q,則PQ=5.

則動點Q在以O1為圓心,以1為半徑的圓上,所以面積為π,故選B.

總之,與球有關的問題的題目小巧靈活、立意新穎,其內涵豐富,知識交匯性也比較強,能夠很好地檢測學生對空間幾何體的想象、識別、判斷的能力.借助模型教學可以讓解題規律模型化,這是一種有效的教學方式,因此在教學中要善于引導學生歸納解題模型,幫助學生在考場上能夠胸有成竹地解決此類問題.