三角恒等變換視角下構(gòu)建圓錐曲線參數(shù)方程

金 毅

(呼和浩特市第二中學(xué),內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000)

解決這三個問題的主要思路是消參,通過配湊和換元消去參數(shù)t,進(jìn)一步得到對應(yīng)的方程.

以上三個問題屬于求解軌跡方程的問題,且均為參數(shù)方程的形式,解決問題的過程并不復(fù)雜.從求解的結(jié)果來看,三道題目分別對應(yīng)橢圓、雙曲線和拋物線.從表象來看,似乎這些參數(shù)方程并未在我們學(xué)習(xí)的課本當(dāng)中正式呈現(xiàn),但在題目中卻頻繁考查,難道是高考的方向與教材脫鉤?事實上,經(jīng)過我們的分析,結(jié)論卻恰恰相反,這幾道題目正是來源于教材中的圓錐曲線參數(shù)方程.我們將從三角函數(shù)恒等變換的視角對以上問題的背景進(jìn)行探討.

1 三角恒等變換視角下的圓錐曲線參數(shù)方程

1.1 對橢圓參數(shù)方程的探討

因t=tan(θ/2),且0≤θ≤2π,可知θ≠π.這樣我們得到的參數(shù)方程無法表示橢圓上的所有點.

綜上,橢圓的一個參數(shù)方程為

①

點評結(jié)合以上討論,可知①式是問題1的背景知識,問題1對應(yīng)①式中令a=1,b=2時的情形.①式得到的過程主要依托于三角恒等變換中的萬能公式,在恒等變換公式的加持下,得到了分式結(jié)構(gòu)特征的橢圓參數(shù)方程.從這個角度來說,問題1的背景知識源于課本,但是經(jīng)過了恒等變換公式的“精加工”,使得題目的呈現(xiàn)高于課本.同時,因橢圓是中心對稱圖形,則橢圓的另一個參數(shù)方程為

②

1.2 對雙曲線參數(shù)方程的探討

令t=tan(θ/2),可得雙曲線的一個參數(shù)方程為

③

我們基于恒等變換,得到了雙曲線的一個參數(shù)方程.我們看到,②式與問題2的匹配程度存在差異,似乎是一次不成功的代數(shù)變形.但是,②式的推導(dǎo)思路為我們推導(dǎo)另一個雙曲線的參數(shù)方程提供了思路,為我們打開了另一扇大門.

令t=tan(θ/2),得雙曲線的另一個參數(shù)方程為

④

點評③④式本質(zhì)上是對三角恒等變換平方關(guān)系進(jìn)行換元,并做進(jìn)一步運算,結(jié)合萬能公式得到最后結(jié)果.事實上,對于④,因雙曲線是關(guān)于x軸對稱的圖形,故我們得到以下公式

⑤

可知,⑤式也是雙曲線的一個參數(shù)方程.因此⑤式為問題2的背景知識,只需令a=2,b=2即可得到問題2.

從以上討論可看出,對于橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程下的某個參數(shù)方程,我們可以根據(jù)曲線的對稱性,靈活調(diào)配正負(fù)系數(shù),得到新的參數(shù)方程.

1.3 對拋物線參數(shù)方程的探討

事實上,對拋物線(y-y0)2=-2p(x-x0),可得其參數(shù)方程為

⑥

以上參數(shù)方程,表示開口向左,且頂點在(x0,y0)處的拋物線.

點評問題3的命制本質(zhì)就是在⑥式的基礎(chǔ)上進(jìn)行了簡單的三角恒等變換得到新的題干.

2 反思與學(xué)習(xí)建議

從以上討論過程發(fā)現(xiàn),在高考的命題中,有相當(dāng)一部分題目的背景源于教材.可以說,教材作為高考命題的“題源”,有非常大的學(xué)習(xí)和思考的價值[1].以下給出幾點建議,以幫助大家做好對教材的學(xué)習(xí)和挖掘.

2.1 重視數(shù)學(xué)教材中對知識的研究視角

教材對橢圓參數(shù)方程、雙曲線參數(shù)方程研究的出發(fā)點是三角恒等式的“平方關(guān)系”,這說明教材非常重視通過恒等變換的研究視角得到參數(shù)方程.所以,在后續(xù)的學(xué)習(xí)中,不僅要重視教材的基本知識內(nèi)容,更要在研究方法上增強(qiáng)其“延續(xù)性”,也就是沿著教材給出的研究視角進(jìn)一步探索新的知識.

2.2 重視數(shù)學(xué)教材中的例題

數(shù)學(xué)教材中例題及其解答過程的呈現(xiàn),向我們展示了數(shù)學(xué)問題從提出到解決的完整過程.首先要重視問題提出的形式,弄清在不同的視角下呈現(xiàn)的形式是什么.如橢圓的參數(shù)方程在三角恒等變換下會有不同的呈現(xiàn)形式.其次是例題的解法.教材中例題的解法會向我們呈現(xiàn)解決問題的一般方法,也就是通法,要加以積累和思考.

2.3 重視數(shù)學(xué)教材中的章節(jié)起始課

文獻(xiàn)[1]中指出,教材中章、節(jié)的引言和小結(jié)往往都給出了研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路.其基本要點為:背景——概念——性質(zhì)——結(jié)構(gòu)——應(yīng)用.其中,背景指現(xiàn)實世界中的一類現(xiàn)象;概念明確了研究對象;性質(zhì)是在概念基礎(chǔ)上,明確概念的要素與相關(guān)要素之間的關(guān)系、變化規(guī)律等;結(jié)構(gòu)是相關(guān)知識的聯(lián)系;最后再進(jìn)行綜合應(yīng)用.所以,章節(jié)起始課的重要性不言而喻.

本文將高考試題與教材知識結(jié)合,闡釋其來龍去脈,強(qiáng)調(diào)教材知識與研究視角的重要性,給出學(xué)習(xí)建議,希望能開拓大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思路,提升解決相關(guān)問題的能力.