追求自然解法 讓更多學生懂數學
——以兩個導數解答題為例

賈士偉

(貴州省凱里市第一中學,貴州 凱里 556000)

近幾日,看到某數學中等學生的筆記本上記載了“泰勒展開式”“帕德逼近”等,也曾目睹某優秀學生花了大量時間啃讀一本關于導數的各種“解題大招”的教輔書,但高考也未見該生考出理想成績.亂套二級結論、亂用秒殺大招,危害極大,也違背數學教學的初衷.還有很多名校教師通過微信公眾號、QQ群等分析試題,尋求題目的自然合理解法,讓數學解題回歸到正路上來.

函數與導數是高中數學的一重要內容,通常以壓軸題的形式出現在各類試卷中,特別是導數解答題,很多同學望而卻步,因為導數解答題題型方法多樣[1].筆者看來,導數的作用基本上體現在兩個方面:一是解決曲線切線問題,二是研究函數的單調性.無論是哪一種題型,用到的解題方法都是高一學的函數思想,利用數形結合研究函數的圖象、函數的性質,利用函數解決方程、不等式問題,導數在其中的唯一作用是充當工具——判斷函數的單調性[2].下面舉例說明:

思維過程顯然0不是函數g(x)的零點,零點問題優先分離,避免煩瑣的討論[3].

由g(x)=0,得

①

(只需要作出函數h(x)圖象的示意圖即可,作函數圖象的第一步就是研究函數的單調性,而導數是解決函數單調性的有力工具.)

則p′(x)=x2(ex+1)≥0.

(二次求導的目的是為了研究函數p(x)的單調性.)

所以p(x)在R上單調遞增.

所以存在x0∈(-2,-1)使得p(x0)=0.

(利用零點存在性定理,研究p(x)與x軸相交的大致位置.)

當x∈(-∞,x0)時,p(x0)<0,h′(x)>0;

當x∈(x0,0)時,p(x0)>0,h′(x)<0;

當x∈(0,+∞)時,p(x0)>0,h′(x)>0.

當x∈(-∞,0)時,

h(x)≤h(x0)

(無法得出x0的具體值,但充分利用x0滿足的等量關系,x0即為隱零點)

(有了單調性和一些特殊函數值,就可以得出函數h(x)的示意圖)

作出函數h(x)的示意圖(如圖1),可知方程①僅有一個解.

圖1 函數h(x)的示意圖

思維過程抓住零點這一條件,建立等量關系.

由題aex1-bx1=aex2-bx2,

(要證的式子未知量太多,需要將多元問題轉化為一元問題,最后轉化為函數問題,用分析法進行轉化)

(視x1-x2為整體,三元變二元)

(二元變量問題最基本的想法就是固定變量,先視a為變量,求左邊的最小值)

(把上面的二元變量變為一元變量了)

(先化簡再證明,化簡原則:指冪分離,求導簡單;合理換元,構造的函數盡可能簡單[5])

②

所以函數g(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以g(x)>g(0)=0,②式得證.

練習已知函數f(x)=ln(x+1)+ax2(a>0),若函數f(x)在區間(-1,0)有唯一零點x0,證明:e-2

通過高中數學的教育教學,應當使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想;使學生表達清晰,思考有條理;使學生會用數學的思考方式解決問題、認識世界.花大量時間死記二級結論、解題時不加思考亂套二級結論、偏離學習主題、用高等數學知識“秒殺”初等數學試題,這些行為對發展學生的數學思維毫無用處.

從近幾年教育部考試中心的高考試題評析中可以知道:現在的高考試題改變了相對固有的試題形式,增強了試題的開放性,減少死記硬背和“機械刷題”.“以考促改”,高考的變革促使教師的解題教學回到“正常”狀態,跳出“模型”“大招”,在解題中應該追求自然合理的解法,教學生解決問題的基本思想和方法,讓學生更好地理解數學的思想方法.“授人以魚不如授人以漁”,只要學生具備了自主思考能力,才會用所學知識解決“萬變不離其宗”的各種問題.