函數不等式的幾種放縮法

肖 剛 陳彥男 何紅梅 馬 杰

(1.宜賓學院理學部,四川 宜賓 644000;2.宜賓三中,四川 宜賓 644000;3.簡陽中學,四川 宜賓 641499)

文章通過將數列不等式視為函數不等式,通過構造法、聯想法等方法來證明不等式的成立.

1 巧用Sn構造放縮函數

通過上述方法,我們很容易處理在自主招生和強基計劃中出現過的類似數列不等式問題,例如復旦自主招生試題和上海交大自主招生試題.

2 善用聯想法構造新數列

對于常見的數列不等式,通常證明其小于或大于一個常數.此時,可以將常數聯想成常見的數列[2].將數列不等式的證明轉換成兩個通項式的證明.例如卓越聯盟自主招生考試的壓軸題.

(1)若對?n∈N+,an≥2n成立,求α的取值范圍.

即需要證明:(1)an-2>(n-1)·n或(2)an-2>2n-1,對于(1)式,通過代入特例a1=3,a2=4,a3=6,a4=16,…,很容易否定(1)式不成立.而(2)式代入特殊項均成立.因此,需要證明an-2>2n-1,此式用數學歸納法即可證明.此題只給出第(2)問的詳細解答過程.

證明(2)當n=1時,a1-2≥21-1,即a1≥20+2成立;

假設當n=k時,ak-2≥2k-1,即ak≥2k-1+2成立;