例析曲線公切線問題求解策略

金保源

(華南師范大學附屬惠陽學校,廣東 惠州 516200)

切線問題是近幾年的高考熱點問題,考查導數的綜合運用,對考生有很好的區分度.如2016年全國Ⅲ卷文第16題、2017年全國Ⅰ卷文第14題、2018年全國Ⅰ卷文第6題、全國Ⅱ卷文第12題均考了與切線有關的題型.本文從常考的幾種類型探討公切線問題的應用策略,以供讀者參考.

1 切點相同的公切線

例1若一直線與曲線y=lnx和曲線x2=ay(a>0)相切于同一點P,則a的值為( ).

則函數y=lnx在x=x1處的切線方程為

故選A.

點評若兩函數y=f(x)與y=g(x)有切點相同的公切線,則在切點處的導數值相等.解題基本思路是:先設出公共點建立方程,再利用共切線得出公切線斜率相等的方程,聯立方程組消元求解.

2 切點不同的公切線

例2 若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=____.

設直線y=kx+b與曲線y=ln(x+1)相切于點M(x2,y2),則y2=ln(x2+1),y=ln(x+1)在M(x2,y2)處的切線方程為

所以b=lnx1+1=1-ln2.

點評若切點不同,先假設y=f(x)上的切點A(x1,f(x1)),得到切線方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);設y=g(x)上的切點為B(x2,g(x2)),得到切線方程y-g(x2)=g′(x2)(x-x2),因為切線是同一條直線,故得到兩個等式f′(x1)=g′(x2),f(x1)-x1f′(x1)=g(x2)-x2g′(x2),聯立解方程組即可.

3 存在公切線求參數范圍

例3 若f(x)=1-ax2(a>0)與g(x)=1-lnx的圖象存在公切線,則實數a的最小值為( ).

解析設切點為(t,1-lnt),代入f(x),得1-lnt=1-at2.即lnt=at2.

點評本題是兩條曲線存在公切線問題,涉及二次函數和對數函數的性質.求解時,先考慮兩條曲線具有切點相同的公切線情形求出a的值,再由函數圖象相離時存在兩條公切線,可得到a的范圍,充分體現了函數與方程、數形結合的思想.

4 利用公切線解決零點個數問題

例4 已知函數f(x)=ax2-x-lnx有兩個不同的零點,則實數a的取值范圍是( ).

解析令f(x)=0,得ax2-x=lnx.由f(x)有兩個不同的零點,可知y=ax2-x的圖象與y=lnx(x>0)的圖象有兩個交點.當a≤0時,函數y=ax2-x與y=lnx的圖象有一個交點,不合題意.

當a>0時,考慮y=ax2-x的圖象與y=lnx的圖象相切的臨界狀態情形.

設公切線為l,公切點為(t,at2-t),則at2-t=lnt.

由y=ax2-x,得y′=2ax-1.

由at2-t=lnt,2at2-t=1,得1-t=2lnt.

易知x=1是1-x=2lnx的唯一實數根.

所以t=1,從而a=1.

也就是說,當a=1時,拋物線y=x2-x與y=lnx的圖象相切.當0

圖2 例4解析圖

綜上,實數a的取值范圍是(0,1).故選B.

點評本題是已知函數的零點個數求參數范圍問題,將零點問題轉化為兩曲線交點個數問題是常見的求法.借由例1的求解過程,可先求兩曲線相切的臨界情形,由公切線求出參數的值,根據圖象變化特征即可得到參數的取值范圍.

5 利用公切線解決恒成立問題

例5若關于x的不等式ex-alnx≥a恒成立,則實數a的取值范圍是( ).

A.[0,e] B.(-∞,e] C.[0,e2] D.(-∞,e2]

解析設f(x)=ex和g(x)=alnx+a=alnex.

當a<0時,ex-alnx≥a不能恒成立.

當a=0時,由ex-alnx≥a可得ex≥0.而ex>0恒成立.

當a>0時,設f(x)=ex和g(x)=alnex的公切線為l,且公切點為(m,n).

由f(x)=ex,得f′(x)=ex.

根據圖形(如圖3),若ex-alnx≥a,則0

圖3 例5解析圖

綜上所述,0≤a≤e,即實數a的取值范圍是[0,e].故選A.

點評本題可直接構造函數F(x)=ex-alnx-a,通過對參數進行討論,求解單調性,證明函數F(x)min≥0,但此種解法運算量大,不適合在選擇題中使用.將原式分離為兩個函數f(x)=ex和g(x)=alnex,可知它們的凹凸性相反,公切線無疑是二者的分界線.

公切線的實質是導數幾何意義的綜合應用,將曲線間的位置關系轉化為函數的單調性、凹凸性、極(最)值、零點等,考查轉化與化歸、推理與論證的能力.解決公切線可考慮從數與形兩方面著手,將問題轉化為兩個函數的圖象關系,由圖象凹凸反轉的特征,利用切線不等式放縮[1].求解方法蘊含泰勒展開、函數逼近的背景,滲透著數形結合、動靜轉化的思想,是命題者難以抗拒的源泉.