逆向思維在初中數學解題中的應用

姜倩梅

(江蘇省南通市海門區首開東洲初級中學,江蘇 南通 226100)

基于逆向思維的數學解題方式,需要學生能夠學會從問題的結果出發,通過嘗試置換問題的條件和結果進行思考,通過邏輯推理和反向證明的形式解答復雜的數學問題.對此,學科教師應適時引入逆向思維的數學概念,并進行相關類型問題的實踐分析,在激發學生數學學習興趣的基礎上,培養學生的數學解題思維,提升學生的數學核心素養,為學生的發展奠定堅實的能力基礎.

1 置換推演,分析解題思路

在數學知識體系中,數學概念的延伸與推演往往是雙向的,部分數學推理性問題的設計也同樣如此.學科教師可以進行側面引導,學生在傳統的正向思考受阻的情況下,鼓勵學生嘗試將條件與結果的推演順序置換,深入理解不同類型數學問題的概念本質,促進學生形成雙向思考的解題思維習慣.

在初中數學學習中,經常出現平面直角坐標系與圖形幾何相結合的數學問題,如果按照正向順序求解,其過程可能極為復雜,教師應及時引入反向推理的逆向思維方法,分析這類問題的解題思路.

例1在平面直角坐標系中,已知點A的坐標為(3, 4),點B的坐標為(9, 10),當△ABC為等腰三角形時,求點C的坐標滿足的條件.

在傳統正向思維的影響下,學生可能會嘗試計算等腰三角形的兩邊邊長和角度,然后求點C的坐標滿足的條件.但是當學生進行計算時,會發現其計算量極其龐大,求解過程非常復雜.為根據等腰三角形的性質列方程求解,需確定等腰三角形的底邊和腰,這更是讓該數學問題的求解趨于軌跡范疇,情況更趨向多元化.所以數學教師應及時引入逆向思維模型,將數學問題的條件與結果進行置換,輔助學生推演分析解題思路:首先觀察到△ABC是等腰三角形,所以應利用等腰三角形的性質解決問題,而本題中對△ABC的等腰三角形屬性的界定較為模糊,不能夠確定底邊和腰具體是哪條邊,所以需要基于底邊,進行分類討論和逆向推理,通過將C的坐標(x,y)與等腰三角形條件進行置換,進行逆向推理.在解決本題的過程中,學生需要根據等腰三角形性質,分為三種情況求解.

第三種情況:當AB為底邊時,即作為一種特殊情況,學生不能得知AC和BC中其中任意一條的具體長度,那么學生則需要善用兩點之間的距離公式,構建當AC=BC時的方程,即(x-3)2+(y-4)2=(x-9)2+(y-10)2,進一步展開整理得x+y=13,從而可知點C在橫縱截距都為13的直線上.

由此可以看出,通過逆向思維解題思路的引入與分析,將條件與結果進行置換,能使學生準確把握不同情況下的解題思路.因此,逆向思維能夠使學生的數學解題思路清晰完整,培養學生雙向思考的數學解題思維習慣,有助于學生更好地理解和把握數學概念與性質,全面提升學生的數學推理能力和問題解決能力.

2 思維轉換,優化解題效率

在初中數學解題過程中,思維模式的轉化是提高解題效率的關鍵.逆向思維的實踐應用可以幫助學生轉換解題方向,提高解題效率.對此,數學教師應引入逆向思維,減少解題過程中的繁瑣計算,優化解題步驟,實現解題效率的顯著提升.

在初中數學問題解答中,大多數問題都涉及數學公式,常常需要通過代入數值進行計算求解.這種順向思維的方式可能會導致計算量較大,耗費時間較多,而通過逆向思維,轉化解題的思維方式,從而減少計算量,提高解題效率[1].

例2某家服裝店以每件30元的價格購進一批T恤,如果以每件40元的價格售出,那么在一個月內,能夠售出300件,但是根據過去積累的銷售經驗,當出售價格每提升1元,當月T恤的銷售量則會減少10件,設T恤的出售價格漲價x元,現服裝店要求該種T恤當月的利潤總額達到3 360元,并盡可能減少庫存,則x的值應為多少?售價為多少時,利潤最大?

由此可見,逆向思維能夠顯著提高解題效率.通過轉換思維模式,減少繁瑣計算,優化解題過程,幫助學生更好地理解問題,找到更簡便、更直接的問題解決方法,以促進解題速度和正確率同步提升.

3 邏輯構建,探明解題本質

逆向思維是解決問題的重要思維方式,而邏輯分析作為逆向思維的主軸,是探明數學問題本質的基本方法.對此,數學教師需通過培養學生的逆向思維,幫助學生探明數學問題的本質,培養學生的邏輯思維能力和分析問題能力,提高學生的解題能力和創造力,促使學生深入思考問題,掌握數學問題的解題策略.在進行抽象概念的證明時,可運用逆向思維分析問題.

通過反證法,學生可以更為清晰地把握證明的思維邏輯,幫助學生理解抽象概念的證明過程,并培養學生的逆向思維邏輯和探究問題本質的能力.

可見,通過逆向思維和邏輯分析,數學教師可以幫助學生理解復雜的數學概念,解決更為抽象的問題,并掌握解題的關鍵思路.這種方法不僅能提高學生的解題能力,還能培養學生的創造力和深入思考問題的能力,使學生的數學思維更加靈活和清晰.

4 反向檢驗,驗證解題答案

逆向思維在初中數學解題中的應用,不僅僅停留于問題的解答,同樣也適用于答案的檢驗.通過逆向思維,學生依托于計算結果,通過推理和分析,驗證解題答案的正確性,培養學生的邏輯推理能力,提高解題的正確率和準確性.

在初中數學試題的設計與設置中,方程求解、不等式求解和因式分解求解是代數部分的重點內容,這一系列題型的設計是為了檢驗學生的計算能力和基礎知識水平,所以該部分數學問題的答案具有初中數學的特殊性,其求解過程即便需要應用多種數學解題方法,但最終得到的答案更偏向基礎[3].

例4解一元二次方程2x2+5x-3=0.

當學生進行正確解答時,最終所得到的答案應為x1=-3和x2=0.5.但是當學生未能完全掌握逆向思維的解題方法,不使用十字相乘法,而繼續使用公式法求解時,往往會在公式的使用上出現紕漏,造成不必要的錯誤.所以,學生在解決此類題型時,可以借助逆向思維進行反向檢驗,驗證所得到答案的正確性.借助逆向思維,學生可以將x的值代入原方程,然后計算等式是否成立.將x=-3代入方程左邊,得到2×(-3)2+5×(-3)-3=18-15-3=0,與原方程左邊等于右邊的條件一致.將x2=0.5代入方程,同樣進行計算,最終得到2×0.52+5×0.5-3=0.5+2.5-3=0,與原方程左邊等于右邊的條件一致,所以通過逆向思維驗證,學生得出的解答x1=-3和x2=0.5是方程的解.

由此可以看出,逆向思維在初中數學解題中的應用,不僅可用于較為復雜問題的解答,也可用于答案的檢驗.在初中數學教學中,教師需有意識地培養學生的逆向思維能力,在學生學會逆向求解和反向檢驗的同時,夯實自身的數學基礎,從而提升學生的數學核心素養.

總之,逆向思維的培養對學生數學能力水平的提升具有長遠的價值和意義.在初中數學教學中,數學教師可通過設計逆向思維教學活動,引導學生嘗試置換問題的條件和結果,深入理解其中蘊含的數學思想,探求數學問題的本質,在培養學生的數學邏輯思維,提高整體解題效率的基礎上,把握反向證明與逆向求解的技巧,提升學生的數學核心素養.