作業巧分層 教學更高效
——以人教版第十九章“一次函數”為例

高凌潔

(福建省福州第十八中學,福建 福州 350001)

基金項目：本文系福建省福州市教育科學研究“十四五”規劃2022年度立項課題“雙減背景下初中數學校本作業分層設計助力數學課堂減負增效的實踐研究”成果之一(課題編號:FZ2022ZX017)

分層作業是指優化的彈性作業結構,它依據學生的學習水平層次進行分類,一般按照學生的知識基礎、個性特征、接受能力、認知結構等因素展開層次劃分,主要目的是使不同層次學生的學習得到不同程度的提高.在初中數學教學中,布置分層作業不僅符合新課程標準的基本要求,而且還能滿足學生自身發展的需求,可有效培養學生的數學核心素養,且起到“減負增效”的效果,與“雙減”政策相接軌,最終讓教學變得更高效[1].

1 設計基礎型作業

(1)下列函數中,屬于正比例函數的有____,屬于一次函數的有____.

A.該函數的圖象經過點(-2,2)

B.該函數的圖象經過第一、二、四象限

C.y的值隨著x的增大而增大

D.y的值隨著x的增大而減小

(3)在圖1中,一次函數y=2x-3的大致圖象是( )

圖1 基礎型作業(3)題圖

(4)已知一次函數的圖象經過點A(-2,-1),并同直線y=2x-1是平行關系,那么該一次函數的解析式是什么?

(5)如果某一次函數y=kx+b的圖象如圖2所示,那么當y>0時,x的取值范圍是什么?方程kx+b=0的解是什么?

圖2 基礎型作業(5)題圖

(6)如圖3所示,直線l是一次函數y=kx+b的圖像,求:

圖3 基礎型作業(6)題圖

①該函數的解析式是什么?

②當x=4時,y的值是什么?

設計意圖這部分作業中的題目考查基礎知識,主要面向數學基礎較為薄弱的學生.在完成一次函數相關內容的學習后,學生需主動梳理一次函數知識,包括一次函數的概念、一次函數圖象和性質、簡單的一次函數和方程、不等式的關系以及運用待定系數法求解一次函數解析式等,使其掌握一次函數的基礎知識,初步體會數形結合思想[2].

2 設計中等型作業

(1)已知函數y=(k+1)x+k2-1,當k為何值時,它是一次函數?當k為何值時,它是一個正比例函數?

(2)函數y=2x+b的圖象上有兩點P1,P2,它們的坐標分別是(-1,y1),(3,y2),下列說法正確的是( )

A.y1>y2B.y1=y2C.y1

(3)如圖4所示,它是正比例函數y=kx(k≠0)的圖象,那么一次函數y=x+k的圖象是圖5中的( )

圖4 中等型作業(3)題圖

圖5 中等型作業(3)題選項圖

圖6 中等型作業(4)題圖

設計意圖這部分作業中的題目屬于中等型題目,雖然考查的仍然是一次函數相關知識,但與基礎型題目相比,難度有所提升,其中第(1)題要求學生以深刻理解一次函數的概念為基礎進行判斷與運算,通過分類討論得出相應結果;第(2)(3)兩題主要從“數”和“形”兩個方面深化理解一次函數的圖象與性質,考查數形結合思想的綜合應用;第(4)題能夠讓學生深刻體會一次函數和方程、方程組、不等式之間的本質聯系,知道彼此之間存在著一定的關聯性,感知與理解數形結合思想的重要作用[3].

3 設計發展型作業

(1)已知有A、B兩種規格客車,2輛A客車與3輛B客車一共能坐乘客180人,1輛A客車和2輛B客車一共能坐乘客105人.

①A、B兩種客車能夠分別載客多少人?

②某校初中八年級共有師生240人,現計劃全部出行,計劃租A、B兩種客車共6輛,一次將所有人送至目的地,假如A客車租金為400元/輛,B客車租金是280元/輛,請找出費用最低的方案,且求出最低費用.

(2)聲音在空氣中傳播的速度y(m/s)(簡稱音速)是溫度x(°C)的一次函數,表1中給出一組不同溫度時的音速大小:

表1 不同溫度時的音速大小

①求音速y(m/s)與溫度x(℃)的函數關系;

②當氣溫為22 ℃時,一個人看到煙花燃放5 s后聽到響聲,請求他與煙花燃放點之間的距離.

設計意圖本層次作業中的題目均以現實生活中的現象為情境,從情境中引出數學問題,屬于發展型作業.主要目的是從具體到抽象中引領學生認識一次函數,提高學生分析與解決數學問題的能力,使其充分體會到數學與生活之間的緊密聯系,以及數學知識的實用性和價值[4].

4 設計挑戰型作業

(1)如圖7,在平面直角坐標系中,點O是坐標的原點,四邊形ABCO是菱形,點A的坐標是(-3,4),點C位于x軸的正半軸,直線AC與y軸相交于點M,AB邊與y軸相較于點H,連接BM,解答以下問題:

圖7 挑戰型作業(1)題圖

①求菱形ABCO的邊長;

②求直線AC的解析式;

③現有一個動點P從點A處先出發,沿著A→B→C的方向以2個單位/秒的速度往終點C處勻速運動,設△PMB的面積是S,點P的運動時間為t秒,那么S和t之間的函數關系式是什么?

(2)如圖8所示,直線y=kx+6與坐標軸分別相交于點E,F,點E的坐標是(-8,0),點A的坐標是(-6,0),點P(x,y)是第二象限的一個動點,請解答以下問題:

圖8 挑戰型作業(2)題圖

①求出k的值;

②點P在運動過程中,請寫出△OPA的面積S和x的函數關系式,寫出自變量x的取值范圍;

設計意圖本層次作業中的題目都屬于綜合性題目,是挑戰型作業.將一次函數同幾何圖形結合起來,這也是初中數學解題中的重點與難點,通常靈活多變,可以很好地檢測學生對分類討論思想、數形結合思想以及幾何圖形的掌握情況,對其綜合能力要求較高,讓有余力的同學去選做.

總之,初中數學是一門綜合性較強的學科,對學生的數學抽象、數學建模與邏輯推理等核心素養有著較高要求.在初中數學學習中,學生出現層次性與差異性是不可避免的,初中數學教師要做的便是整體考慮教學對象,使其數學水平均得到不同程度的提升.這就要求教師布置作業時堅持分層原則,巧妙設計一系列分層作業,要求學生根據個人能力范圍自主選擇與完成對應的作業,鼓勵學生嘗試向高層次作業發起挑戰,使其獲得最大限度的提升.