基于變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的多圖像加密方法

羅 敏，何雨蓮，李宜磊，張懷武，文岐業(yè)

(電子科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 成都 611731)

隨著數(shù)字通信技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字圖像以其易于獲取、處理和存儲(chǔ)的優(yōu)勢，成為人們傳遞信息和感知世界的重要方式，廣泛應(yīng)用于工業(yè)、醫(yī)藥、軍事、航天等各個(gè)領(lǐng)域。與此同時(shí)，伴隨而來的則是嚴(yán)重的安全隱患，包括未經(jīng)授權(quán)地傳播、復(fù)制、篡改及偽造等。因此，如何保護(hù)數(shù)字圖像內(nèi)容的安全成了亟待解決的問題。

目前圖像加密主要采用基于混沌系統(tǒng)的圖像加密技術(shù)[1-4]，簡稱混沌圖像加密方法，主要包括圖像置亂[5-7]與圖像擴(kuò)散[8-10]兩種方法。圖像置亂方法通過改變圖像像素的位置來改變原始圖像，使得肉眼無法直觀地辨認(rèn)明文圖像，以此達(dá)到圖像加密的目的。置亂方法主要包括Arnold 變換[11]、Baker 變換[12]與幻方變換[13]這 3 種。圖像擴(kuò)散方法對圖像中的像素及其相鄰像素進(jìn)行異或操作，再用變換后的像素替換原始像素，即打亂原始圖像的像素值，以此達(dá)到圖像加密的目的。混沌系統(tǒng)用于對置亂和擴(kuò)散提供索引矩陣，常用的混沌系統(tǒng)有Logistic 混沌映射[14]、Chebychev 映射[15]、Lorenz 混沌系統(tǒng)[16-17]、Chen 混沌系統(tǒng)[18]等。

與傳統(tǒng)圖像加密方法相比，混沌圖像加密方法具有密鑰空間大、加密速度快等優(yōu)點(diǎn)。然而，當(dāng)前混沌圖像加密方法依然存在諸多問題亟待解決。具體為：1）普遍采用低維及參數(shù)固定的混沌系統(tǒng)，所設(shè)計(jì)的密鑰系統(tǒng)的密鑰空間不夠大、復(fù)雜度較低，在計(jì)算機(jī)有限精度下，容易出現(xiàn)短周期現(xiàn)象及混沌退化，容易受到攻擊者使用相空間重構(gòu)方法進(jìn)行的攻擊破譯；2）僅采用簡單的像素置亂及像素?cái)U(kuò)散方法，如基于位置變換的置亂方法、基于異或運(yùn)算的擴(kuò)散方法，它們的復(fù)雜度較低、易于破譯，即僅僅對圖像進(jìn)行簡單的像素位置和大小上的變換；3）每一幅圖像都使用相同的密鑰流，安全性較差，攻擊者只要破譯一幅圖像就可以對其他密文圖像進(jìn)行破譯，未有效地將密鑰與明文圖像進(jìn)行聯(lián)系。

1 算法設(shè)計(jì)

為了解決圖像加密方法的上述問題，提供了一種基于變參數(shù)超混沌系統(tǒng)與S 形擴(kuò)散的多圖像加密方法，如圖1 所示。首先借助Alpha 通道的概念，將輸入灰度圖像（原始圖像）進(jìn)行重構(gòu)，然后將其作為初始信息輸入SHA-512 算法生成初始密鑰，再利用變參數(shù)超混沌系統(tǒng)迭代生成的5 組混沌序列對明文圖像進(jìn)行幻方變換，實(shí)現(xiàn)像素位置的變換，最后基于S 形擴(kuò)散實(shí)現(xiàn)像素?cái)?shù)值的變換，從而得到密文圖像。具體技術(shù)方案包括以下3 個(gè)步驟。

圖1 多圖像加密方法的設(shè)計(jì)框架

1）首先對輸入灰度圖像對進(jìn)行圖像預(yù)處理，得到重構(gòu)GA 圖像P，并將其像素序列作為初始信息輸入SHA-512 哈希函數(shù)生成初始密鑰流；

2）再將初始密鑰流作為初始值，輸入變參數(shù)超混沌系統(tǒng)迭代生成混沌序列X1、X2、X3、X4與X5，并基于混沌序列X1、X2、X3計(jì)算得到索引序列；再根據(jù)索引序列對重構(gòu)GA 圖像P采用幻方變換進(jìn)行置亂，得到置亂后的密文圖像C；

3）最后對密文圖像C進(jìn)行順向S 形擴(kuò)散得到順向擴(kuò)散后矩陣，再對順向擴(kuò)散后矩陣進(jìn)行逆向S 形擴(kuò)散，得到最終密文圖像T。

1.1 變參數(shù)超混沌系統(tǒng)

根據(jù)Fan 超混沌系統(tǒng)的定義[19]，其數(shù)學(xué)模型如式(1)所示，其典型特征是：當(dāng)a=30、b=10、c=15.7、d=5、e=2.5、f=4.45、g=38.5 時(shí)，該混沌系統(tǒng)存在兩個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)，即存在復(fù)雜的混沌行為。

式中，x1、x2、x3、x4、x5為系統(tǒng)變量；a、b、c、d、e、f、g為系統(tǒng)參數(shù)；x˙1、x˙2、x˙3、x˙4、x˙5為每次迭代產(chǎn)生的新系統(tǒng)變量（Lyapunov 指數(shù)）。

為了增強(qiáng)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性和隨機(jī)性，采用Logistic 混沌映射作為擾動(dòng)系統(tǒng)，對Fan 超混沌系統(tǒng)的參數(shù)施加擾動(dòng)來構(gòu)造變參數(shù)混沌系統(tǒng)，以生成具有更高隨機(jī)性的混沌序列，Logistic 映射為非線性的迭代方程，如式(2)所示，其典型特征是：當(dāng)滿足3.57<μ<4 時(shí)，Logistic 映射工作于混沌狀態(tài)，即為Logistic 混沌映射。

式中，y為系統(tǒng)變量；μ為系統(tǒng)參數(shù)；y˙為每次迭代產(chǎn)生的新系統(tǒng)變量。

引入?yún)?shù)擾動(dòng)項(xiàng)后的變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如式(3)所示，根據(jù)混沌系統(tǒng)的定義，無論初始值如何變化，系統(tǒng)變量都會(huì)回到一個(gè)固定的吸引域，由于式(1)、(2)均為混沌系統(tǒng)方程，因此Lyapunov 指數(shù)的數(shù)值經(jīng)過式(3)多次迭代后，只跟擾動(dòng)強(qiáng)度λ 有關(guān)，與y、xi(i=1,2,···,5)的初始值無關(guān)，y、xi的初始值可取實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的任意值，最終穩(wěn)定的Lyapunov 指數(shù)的數(shù)值只依賴于擾動(dòng)強(qiáng)度λ。

式中，x1、x2、x3、x4、x5為系統(tǒng)變量；a、b、c、d、e、f、g為系統(tǒng)參數(shù)；x˙1、x˙2、x˙3、x˙4、x˙5為每次迭代產(chǎn)生的新系統(tǒng)變量；λ 為擾動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)；y為Logistic 混沌映射的系統(tǒng)參數(shù)。

為了確定擾動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)λ 的取值范圍，確保變參數(shù)超混沌系統(tǒng)始終處于混沌狀態(tài)，對變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)和系統(tǒng)相圖進(jìn)行仿真分析，在系統(tǒng)參數(shù)a=30、b=10、c=15.7、d=5、e=2.5、f=4.45、g=38.5、μ=3.8 時(shí)，取y=1、xi=0.1 作為初始值，當(dāng)變參數(shù)超混沌系統(tǒng)自身迭代300 次后，Lyapunov 指數(shù)的數(shù)值趨于穩(wěn)定，將第301 次迭代產(chǎn)生的y、xi以及系統(tǒng)參數(shù)代入式(3)，得到了變參數(shù)超混沌系統(tǒng)（λ 在-5～4 之間變化）的Lyapunov指數(shù)變化曲線，如圖2 所示。當(dāng)擾動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)λ 在-4.0～2.35 之間時(shí)，x1(λ)和x2(λ)始終大于零，即始終存在兩個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)，使變參數(shù)超混沌系統(tǒng)保持混沌狀態(tài)。圖3 給出了擾動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)λ 為0 時(shí)，變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)相圖，通過系統(tǒng)相圖能夠更直觀地表現(xiàn)出變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

圖2 變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)變化曲線

圖3 變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)相圖

1.2 多圖像加密方法

多圖像加密方法的流程圖如圖4 所示，包括圖像預(yù)處理與密鑰生成、置亂階段和擴(kuò)散階段3 個(gè)步驟。以下使用如圖5 所示的傳統(tǒng)圖像辣椒（灰度圖像P0）與狒狒（灰度圖像P1）為例進(jìn)行說明，兩張圖像的像素大小均為512×512，記為M×N，M為圖像像素長度、N為圖像像素寬度。

圖4 多圖像加密方法的流程圖

圖5 原始圖像

1.2.1 圖像預(yù)處理及密鑰生成

1）引入Alpha 通道的概念，將灰度圖像P1作為Alpha 通道嵌入至灰度圖像P0，進(jìn)而形成一幅具有不同透明度的Grayscale-Alpha(GA)圖像P；

2）將圖像P分解為灰度通道PG與Alpha 通道PA兩路數(shù)據(jù)矩陣（矩陣大小均為M×N），再將灰度通道PG與Alpha 通道PA轉(zhuǎn)換為一維矩陣，并拼接構(gòu)成一維矩陣PC，將一維矩陣PC作為初始信息，輸入SHA-512 哈希函數(shù)，生成512 bit 的二進(jìn)制哈希值，具體運(yùn)算為：

式中，reshape( )表示將指定矩陣變換為特定行列數(shù)的矩陣。

3）將二進(jìn)制的哈希值以每8 bit 為一位轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，進(jìn)而得到64 位十進(jìn)制數(shù)據(jù)ci(i=1,2,···, 64)；

4）對64 位十進(jìn)制數(shù)據(jù)進(jìn)行異或運(yùn)算得到加密方法所需要的初始密鑰流，具體運(yùn)算為：

需要說明的是：式(5)中λ 的歸一化過程能夠保證其取值在-4.0～2.35 之間，進(jìn)而保證變參數(shù)混沌系統(tǒng)保持混沌狀態(tài)。

1.2.2 置亂階段

1）根據(jù)初始密鑰流，應(yīng)用四階龍格庫塔算法對變參數(shù)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行迭代，為避免暫態(tài)效應(yīng)的影響，舍棄前500 組數(shù)據(jù)，從第501 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行截取，最終得到5 組一維混沌序列X1、X2、X3、X4與X5，其中，每組混沌序列的長度均為M×N；

2）將混沌序列X1按行升序排列，得到置亂后矩陣I1與索引序列，具體運(yùn)算為：

式中，sort( )表示排序函數(shù)；‘2’表示按行排序；ascend表示升序排列；

圖6 混沌序列置亂示意圖

圖7 幻方變換示意圖

式中，reshape( )表示將指定矩陣變換為特定行列數(shù)的矩陣。

1.2.3 擴(kuò)散階段

1）將混沌序列X4與X5進(jìn)行向下取整數(shù)運(yùn)算，得到十進(jìn)制整數(shù)的混沌序列，然后將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的一維序列（長度均為M×8N）：

式中，dec2bin( )表示將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制；floor( )為向下取整函數(shù)。

2）將密文圖像C分解為灰度通道CG和Alpha通道CA兩路數(shù)據(jù)矩陣（矩陣大小均為M×N），先對灰度通道CG和Alpha 通道CA分別進(jìn)行順向S形擴(kuò)散，再進(jìn)行十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，得到二進(jìn)制的一維矩陣（長度均為M×8N）；然后根據(jù)式(10)進(jìn)行異或運(yùn)算，得到二進(jìn)制的一維矩陣B1與B2（長度均為M×8N），將二進(jìn)制矩陣B1與B2轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制矩陣，并將一維變換為二維，得到順向擴(kuò)散后矩陣（矩陣大小均為M×N）：

式中，mod( )表示取余運(yùn)算；M、N為輸入灰度圖像的像素長度和像素寬度；bin2dec( )表示將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制。

順向S 形擴(kuò)散的定義如圖8a 所示，具體運(yùn)算為：

圖8 順向和逆向S 形擴(kuò)散示意圖

式中，Sforward( )表示順向S形擴(kuò)散運(yùn)算；Q為原始矩陣；Q′為順向S形擴(kuò)散結(jié)果。

逆向S 形擴(kuò)散的定義如圖8b 所示，具體運(yùn)算為：

式中，Sreverse( )表示逆向S形擴(kuò)散運(yùn)算；Q為原始矩陣；Q′′為逆向S形擴(kuò)散結(jié)果。

1.3 多圖像解密方法

圖像解密方法使用與加密方法相同的密鑰，具體包括以下3 個(gè)步驟。

1）將密文圖像分解為兩通道十進(jìn)制數(shù)據(jù)矩陣，即灰度通道J與Alpha 通道K（矩陣大小均為M×N），對J與K分別進(jìn)行順向S 形擴(kuò)散的逆操作，再進(jìn)行十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，得到二進(jìn)制的一維矩陣J′與K′（長度均為M×8N）；根據(jù)式(16)進(jìn)行異或運(yùn)算，得到二進(jìn)制的一維矩陣J1和K1（長度均為M×8N），將二進(jìn)制矩陣J1和K1轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制矩陣，并將其變換為二維矩陣（矩陣大小均為M×N），具體運(yùn)算如式(17)所示：

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 加解密實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過上述多圖像加解密方法，對如圖5 所示的傳統(tǒng)圖像辣椒與狒狒進(jìn)行加解密實(shí)驗(yàn)，得到的仿真圖如圖9 所示。由圖可見，密文圖像是完全無序的，無法分辨出原始圖像的任何有效信息。

圖9 原始圖像加解密實(shí)驗(yàn)的結(jié)果展示圖

2.2 算法的性能分析

為了驗(yàn)證多圖像加密方法的安全性能，圖10給出了加解密前后的直方圖；由圖可見，圖像辣椒與圖像狒狒的密文圖像直方圖均近似均勻分布，攻擊者很難從中獲取有效信息。

圖10 灰度通道和Alpha 通道的明文和密文直方圖

此外，為了更加直觀地說明多圖像加密方法打破相鄰像素相關(guān)性的能力，圖11 給出了加密前后灰度通道與Alpha 通道的像素相關(guān)性分布圖。由圖可見，加密后的相關(guān)性分布遍布整個(gè)區(qū)域，有效地破壞了明文圖像的像素相關(guān)性分布。

圖11 灰度通道和Alpha 通道的明文和密文相鄰像素相關(guān)性對比圖

信息熵用于表征一個(gè)數(shù)字圖像像素的分布情況，信息熵越接近理想值8，像素分布越隨機(jī)。為驗(yàn)證加密算法擾亂明文圖像像素分布的能力，對辣椒和狒狒加密前后圖像進(jìn)行信息熵分析。表1 給出了經(jīng)加密算法加密后，明文圖像與密文圖像的信息熵。可以看出，密文圖像的信息熵接近理想值8，這證明設(shè)計(jì)的加密算法可以更加有效地打亂明文像素分布。

表1 信息熵分析表

加密算法的抗差分攻擊能力主要體現(xiàn)在對同一明文圖像任一像素點(diǎn)施加微小改變，密文圖像隨之產(chǎn)生相應(yīng)變化的能力。本文將明文圖像某一像素點(diǎn)的像素值減1，然后通過計(jì)算NPCR 和UACI，對抗差分攻擊能力進(jìn)行評估，結(jié)果如表2 所示。可以看出，加密算法的NPCR 和UACI 接近理想值99.609 4%和33.463 5%，說明設(shè)計(jì)的加密算法對明文的微小變化具有更高的敏感性，可以更加有效地抵御差分攻擊。

表2 抗差分攻擊能力分析表 %

當(dāng)圖像進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)，可能會(huì)引入各種噪聲干擾，導(dǎo)致密文圖像某些像素點(diǎn)的像素值發(fā)生改變，進(jìn)而影響到原始圖像有效信息的恢復(fù)。本文對辣椒和狒狒加密后的密文圖像分別加入5%、10%和20%的椒鹽噪聲，以此驗(yàn)證加密算法的抗噪聲能力。圖12 為辣椒和狒狒引入椒鹽噪聲后的密文圖像以及運(yùn)用解密算法解密后的圖像。可以看出，引入不同程度的椒鹽噪聲后，解密圖像雖然受到一定程度的損壞，但是依舊可以分辨出大部分有效信息，因此所提加密算法具有良好的抗噪聲能力。

圖12 算法性能對比：抗噪聲分析

為驗(yàn)證加密算法的抗剪切能力，本文將辣椒和狒狒加密后的密文圖像，在不同位置剪切不同像素大小的信息，然后再對其進(jìn)行解密，剪切后的密文圖像以及相應(yīng)的解密圖像如圖13 所示。從圖中可以看出，密文圖像受到人為剪切后，加密算法仍然可以恢復(fù)出原始圖像的主要信息，具備良好的抗剪切能力。

圖13 算法性能對比：抗剪切分析

3 結(jié) 束 語

基于變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的多圖像加密方法，主要由4 個(gè)部分構(gòu)成：變參數(shù)超混沌系統(tǒng)構(gòu)建、圖像預(yù)處理與密鑰生成、幻方變換置亂和S 形擴(kuò)散。首先借助Alpha 通道的概念，將輸入灰度圖像對進(jìn)行重構(gòu)，然后將重構(gòu)圖像作為初始信息輸入SHA-512算法生成初始密鑰，再將其輸入變參數(shù)超混沌系統(tǒng)迭代生成5 組混沌序列，進(jìn)而對重構(gòu)圖像進(jìn)行幻方變換，實(shí)現(xiàn)像素位置的變換，最后基于S 形擴(kuò)散實(shí)現(xiàn)像素?cái)?shù)值的變化，從而得到密文圖像。

與傳統(tǒng)圖像加密方法相比，基于變參數(shù)超混沌系統(tǒng)的多圖像加密方法，具有如下優(yōu)點(diǎn)：

1）將混沌系統(tǒng)的參數(shù)作為加密過程中的控制變量之一，運(yùn)用另一個(gè)混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量對其施加一定的擾動(dòng)，以構(gòu)造變參數(shù)超混沌系統(tǒng)，同時(shí)確保該混沌系統(tǒng)依舊處于混沌狀態(tài)，生成具有更高復(fù)雜度和隨機(jī)性的偽隨機(jī)序列，有效地改善了傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)的低隨機(jī)性、低復(fù)雜度以及混沌系統(tǒng)退化等缺陷；

2）采用幻方變換的置亂方法，最大程度地對圖像像素進(jìn)行位置上的置亂，并創(chuàng)造性地提出S 形擴(kuò)散方法，提高了密文圖像的無序性，打破了像素相關(guān)性分布，具有更優(yōu)越的加密性能表現(xiàn)，難以被暴力破譯；

3）采用SHA-512 算法，結(jié)合明文圖像生成初始密鑰，保證一幅圖像僅僅對應(yīng)一種密鑰流，有效地提高了加密算法抵抗明文攻擊的能力；

4）本文設(shè)計(jì)的加密算法可以有效地打亂明文像素分布、有效地抵御差分攻擊，具有良好的抗噪聲能力和具備良好的抗剪切能力。