基于后驗信息的壓縮感知圖像重構方法

李德高　程濤　許聰　王應山

摘 要：單像素相機的測量數據可采用正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit，OMP）算法重構，但是重構得到的圖像質量不好。本文提出一種提高圖像重構效果的方法，該方法利用先驗信息（列模平均值）判斷重構效果優劣；通過測量數據相鄰列相減的操作，以增強稀疏度。首先，基于OMP對測量數據逐列重構；然后，對重構效果差的列，作相鄰列相減的操作后逐列重構；最后，通過逐列累加操作得到重構效果更好的圖像。實驗結果表明，該方法在僅使用OMP的情況下可以使重構圖像的信噪比（signal to noise ratio，SNR）得到很大提高，雖然重構圖像上有很明顯的條紋，但是重構結果依然獲得很大改善。

關鍵詞：壓縮感知；后驗信息；正交匹配追蹤；單像素相機；近似矩陣

中圖分類號：TP391.41 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.04.002

0 引言

根據奈奎斯特采樣定理，當采樣頻率達到信號最高頻率的2倍及以上時才能精確地重構出原始信號。壓縮感知理論的出現打破了這一局面，它的核心是減少測量點數，實現對原始信號的精確重構，并且在采集信號的同時對信號進行高壓縮[1]。因此，壓縮感知一經出現就在超分辨率顯微鏡[2-3]、遙感[4-5]、磁共振成像[6]、電子計算機斷層掃描[7]和圖像處理[8-9]等領域嶄露頭角。

Duarte等[10-12]基于壓縮感知理論提出的單像素相機中，其核心部件是數字微鏡器件（digital micromirror decive，DMD）。DMD上微鏡的翻轉可以表示為0或1，0表示微鏡不能將光反射到單像素攝像頭，1表示微鏡可以將光反射到單像素攝像頭。單像素攝像頭通過DMD采集和壓縮數據。單像素相機的測量矩陣通過編程控制DMD上微鏡的翻轉來表示0-1隨機矩陣或0-1循環矩陣。相較于0-1循環矩陣，0-1隨機矩陣具有更好的隨機性，但不利于編程實現。0-1循環矩陣的隨機性不足，但勝在更易于編程實現。這2種矩陣所需存儲空間小而且運算速度快。

2 基于相鄰列相減壓縮感知模型的重構結果

對原始圖像的壓縮感知測量數據作相鄰列相減處理，然后基于式（7）采用OMP算法求解重構，最后再對重構結果作相鄰列相加得到最終重構圖像。

圖1、圖2和表1是基于相鄰列相減壓縮感知模型對遙感影像Mulargia lake、心臟冠狀動脈CT影像、火星以及汽車的重構結果。Mulargia lake是意大利撒丁島Mulargia湖的2個遙感影像的差值圖，由Landsat-5衛星在波段4分別拍攝于1995年9月和1996年7月。該圖反映了Mulargia湖水位上升而造成的陸地淹沒情況。為滿足稀疏條件，對2個時相的原始遙感影像作簡單處理，差值圖中未變化區域的灰度值都為0。

圖1和圖2中從左往右，第一列是近似矩陣的重構結果，第二列是近似矩陣采用相鄰列相減壓縮感知模型的重構結果，第三列為原始圖像。對比第一列和第二列的圖像可以清楚地看到，近似矩陣采用相鄰列相減壓縮感知模型的重構效果遠遠好于近似矩陣的重構效果。第一列圖像有模糊不清的條帶，第二列圖像雖沒有第一列圖像的模糊不清，但是多了許多條紋，而且條紋范圍大。這些條紋極大地影響了圖像的重構效果，若能降低條紋的影響，會得到更好的重構效果。

為了更加直觀地比較重構圖像效果，本文用信噪比（signal to noise ratio，SNR）來表示圖像的重構效果。SNR計算公式如式（8）所示，

（8）

式中：SNR表示SNR的值；[x]是真實信號，[x∈RN]；[xR]表示[x]的重構結果；[||?||2]表示向量的模。

從表1中可以看出，相鄰列相減壓縮感知模型對這4幅圖像均有提升。其中對Mulargia lake圖像的提升最大，0-1隨機矩陣的SNR能提高約9.6 dB，0-1循環矩陣的SNR能提高約12.6 dB。對火星圖像的提升最小，0-1隨機矩陣的SNR僅能提高約4.0 dB，0-1循環矩陣的SNR僅能提高約4.2 dB。

盡管該模型能提高重構效果，但是該模型也有缺陷，使用該模型重構圖像會有很顯著的條紋影響，這些條紋無法避免，只能采取某些方法降低它的影響。該模型的本質是利用圖像相鄰列像素值一般不發生突變甚至有少許值是一樣的這一特點，將相鄰列像素值相減，讓列變得更為稀疏。即使有些列變得更為稀疏了，但對于OMP算法，仍然會有重構誤差，不能非常精確地重構出來。該模型重構圖像的最后一步是通過相鄰列相加來還原圖像，因此，對于有重構誤差的列，在相鄰列相加之后，重構誤差會逐漸累積，導致越靠后，偏差累積的越多，條紋越明顯。圖1和圖2中第2列圖像的條紋正是由于這個原因引起的，而且這些條紋越靠右越清晰可見。

3 基于后驗信息的壓縮感知重構

當原始圖像灰度矩陣的某些列足夠稀疏的時候，OMP算法可以獲得更好的重構結果。基于后驗信息的壓縮感知重構詳細算法：1）基于式（2）逐列采集得到測量數據y；2）通過OMP算法重構得到Δx，并計算前文后驗信息中的判斷值m，將Δx分為重構好的列與重構不好的列；3）根據測量數據y采用相鄰列相減壓縮感知模型，并用OMP算法重構得到x；4）將Δx中重構不好的列替換成x中的對應列，從而得到基于后驗信息的壓縮感知重構結果X。

基于后驗信息的壓縮感知重構結果如圖3所示。從左至右第一列圖像是0-1隨機矩陣的近似矩陣重構結果，第二列圖像是0-1循環矩陣的近似矩陣重構結果，第三列圖像是原始圖像。對比圖3與圖1、圖2可知，基于后驗信息的壓縮感知重構結果的條紋影響更小，重構效果更好。

基于后驗信息重構圖像的2種矩陣的SNR結果如表2所示。對比表2和表1可知，相較于近似矩陣，基于后驗信息重構的0-1隨機矩陣和0-1循環矩陣，對于Mulargia lake圖像，其SNR分別提高了約16.4、19.0 dB；對于心臟冠脈CT圖像，其SNR分別提高了約7.8、9.8 dB；對于火星圖像，其SNR分別提高了約8.5、8.8 dB；對于汽車圖像，其SNR分別提高了約10.4、9.5 dB。由此可知，基于后驗信息的壓縮感知重構對這4幅圖像的SNR均有較大提升。

基于后驗信息的壓縮感知重構在一定程度上降低了相鄰列相減壓縮感知模型帶來的條紋影響，但是只適用于類似于這4幅圖的稀疏圖像。對于不稀疏的圖像，因為受限于OMP算法只對足夠稀疏的信號有很好的重構結果，所以該方法的重構圖像會受到更為顯著的條紋影響，而且重構效果不好。

4 結論

本文提出了在重構稀疏圖像時判斷OMP算法重構好壞的后驗信息、相鄰列相減壓縮感知模型以及基于后驗信息的壓縮感知重構方法，并通過實驗給出判斷經驗式作為后驗信息。雖然該模型在OMP算法重構上會有明顯的條紋，但是重構結果依然有很大的改善。基于后驗信息的壓縮感知重構方法充分利用了發現的后驗信息，進一步提高重構效果。該方法只使用了OMP算法，具有OMP算法計算速度快的優點，且SNR得到較大提高，但是該方法對不稀疏的圖像不適用。

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Compressed sensing image reconstruction method

based on posterior information

LI Degao， CHENG Tao*， XU Cong， WANG Yingshan

（School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China）

Abstract： The measurement data of a single pixel camera can be reconstructed with the orthogonal matching pursuit （OMP） algorithm， which， however， generates reconstructed images of non-desirable quality. We propose a method to improve the image reconstruction. We can judge the quality of the reconstruction using prior information （column modulus mean value） in this method. The sparsity is enhanced by subtraction of adjacent columns of measurement data. Firstly， measurement data are reconstructed column by column based on OMP. Secondly， for columns with poor reconstruction results， subtraction of adjacent columns is conducted and then they are reconstructed one by one. Finally， better-reconstructed images are obtained through accumulating column by column. The experimental results show that this method can significantly improve the signal to noise ratio （SNR） of reconstructed images when only OMP is used. Although there are obvious stripes on the reconstructed images， significant improvement is still achieved in the reconstruction.

Key words： compressed sensing; posterior information; orthogonal matching pursuit; single-pixel camera; approximate matrix

（責任編輯：黎 婭）

收稿日期：2022-12-17

基金項目：廣西自然科學基金項目（2022GXNSFAA035593）；國家自然科學基金項目（41461082，81660296）資助

第一作者：李德高，在讀碩士研究生

*通信作者：程濤，博士，研究員，研究方向：壓縮感知和遙感，E-mail：ctnp@163.com