探索規(guī)律：感受字母表示數(shù)的優(yōu)越性

文／趙維坤

同學(xué)們，代數(shù)發(fā)展的歷史經(jīng)歷了三個主要階段：公元3 世紀(jì)之前，人們主要用文字描述來表示數(shù)；接著，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖首次引進(jìn)縮寫字母來代表未知的量，這個階段可以稱為半符號化階段；數(shù)學(xué)真正進(jìn)入符號代數(shù)階段，始于“代數(shù)學(xué)之父”法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)的創(chuàng)新，他系統(tǒng)地使用字母表示已知量、未知量，讓字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，這才是代數(shù)的真正開始。

下面，我們通過動手操作、觀察、猜想、推理、歸納等活動，在形象感知的基礎(chǔ)上，找出規(guī)律、列出代數(shù)式，感受字母表示數(shù)的優(yōu)越性。

畫對角線

連接多邊形不相鄰兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線。如圖1 所示的四邊形，我們可以畫出2條對角線。

圖1

同學(xué)們可以嘗試畫出五邊形、六邊形，并分別畫出五邊形、六邊形的所有的對角線。

猜想七邊形對角線的條數(shù)，然后畫出七邊形，并畫出它所有的對角線，驗證你的猜想。

隨著多邊形邊數(shù)的增加，其對角線的條數(shù)也在變化。請同學(xué)們嘗試寫出多邊形的邊數(shù)n與其對角線的條數(shù)m之間的關(guān)系。

擺放棋子

如圖2，請同學(xué)們按照前4 個圖形中棋子的擺放規(guī)律，依次在后兩個圖形上擺放棋子。

圖2

照此擺法，九邊形圖形中棋子總數(shù)是多少？我們可以通過畫出九邊形來驗證自己的猜想。那么，n邊形呢？

畫出圖形

如圖3，每個圖形都是由邊長為1 的單位長度的小正方形按照某種規(guī)律排列組成的。

圖3

請同學(xué)們手腦并用，做如下操作：

（1）按上述畫圖方式畫出第4個圖形；

（2）猜想：第5 個圖形中小正方形的個數(shù)；

（3）思考：第n個圖形由多少個小正方形組成？

同學(xué)們，用字母表示數(shù)量關(guān)系更具有一般性，能給我們解決問題帶來便利。正如著名天文學(xué)家、物理學(xué)家開普勒所說，“數(shù)學(xué)是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系”，希望同學(xué)們帶著數(shù)學(xué)的眼光繼續(xù)打開“代數(shù)”知識的大門。