從算盤到三角形數(shù)

文／萬廣磊

我國的珠算是世界文明的瑰寶。明清時(shí)期，能夠到店鋪站柜臺(tái)的人，都要有打算盤的童子功——算百子，也就是能用算盤快速計(jì)算1+2+3+4+…+100+…的結(jié)果。

我在童年時(shí)學(xué)打算盤，會(huì)經(jīng)常練習(xí)1+2+3+…+36。為什么只加到36呢？因?yàn)樗慕Y(jié)果是666，我很喜歡這個(gè)數(shù)字。據(jù)說，數(shù)學(xué)家高斯8 歲時(shí)就能很快計(jì)算出1+2+3+4+…+100 的結(jié)果。同學(xué)們，如果你不會(huì)算盤，也沒關(guān)系，我們現(xiàn)在可以直接用等差數(shù)列的計(jì)算公式得到它的結(jié)果。1+2+3+4+…+100=×100×（100+1）=5050。5050 這個(gè)數(shù)字也很特殊，因?yàn)?050其實(shí)是一個(gè)“三角形數(shù)”。

什么是“三角形數(shù)”呢？古希臘的大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯喜歡用“小石子圖形”研究數(shù)列。他把一定數(shù)目的點(diǎn)或圓，進(jìn)行等距離的排列，如果能得到一個(gè)等邊三角形，那么這樣的數(shù)就被稱為“三角形數(shù)”。如圖1 所示，1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91……這些數(shù)量的石子都可以排成等邊三角形，所以這些數(shù)都是“三角形數(shù)”。

圖1

從“三角形數(shù)”的構(gòu)成方法中，我們可以發(fā)現(xiàn)它有以下特點(diǎn)：

1.第n個(gè)“三角形數(shù)”是從1開始的n個(gè)自然數(shù)的和。

舉例：第5 個(gè)“三角形數(shù)”是15，15=1+2+3+4+5。

2.所有大于3 的“三角形數(shù)”都不是質(zhì)數(shù)。

舉例：6=2×3，28=4×7。

3.從1開始的n個(gè)立方數(shù)的和是第n個(gè)“三角形數(shù)”的平方。

舉例：1+8+27+64=100=102=（1+2+3+4）2。

4.任何“三角形數(shù)”乘8，再加1，結(jié)果是一個(gè)平方數(shù)。

舉例：10×8+1=81=92。

5.兩個(gè)連續(xù)的“三角形數(shù)”之和是平方數(shù)。

舉例：1+3=4，3+6=9，21+28=49。

6.一部分“三角形數(shù)”（3、10、21、36、55、78……）可以用n2n+1表示；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用n2n-1表示。

7.所有“三角形數(shù)”的倒數(shù)之和是2。

8.所有偶完美數(shù)都是“三角形數(shù)”。

完美數(shù)又稱完全數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身。第一個(gè)完全數(shù)是6，它有約數(shù)1、2、3、6，除去它本身6 外，其余3 個(gè)數(shù)相加，1+2+3=6。第二個(gè)完全數(shù)是28，它有約數(shù)1、2、4、7、14、28，除去它本身28 外，其余5個(gè)數(shù)相加，1+2+4+7+14=28。第三個(gè)完全數(shù)是496，有約數(shù)1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496 外，其余9個(gè)數(shù)相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。

9.大數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)：任何自然數(shù)是最多三個(gè)“三角形數(shù)”的和。

對(duì)于以上特點(diǎn)，同學(xué)們可以自由選幾個(gè)數(shù)，動(dòng)手算算看。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)之后，我們可對(duì)“三角形數(shù)”的以上特點(diǎn)進(jìn)行說理。后面4 個(gè)特點(diǎn)的說理比較有難度，尤其是第9 個(gè)，如果你感興趣，說不定可以自主解決哦。