圓環上兩類極值問題

楊 燕

(西華師范大學數學與信息學院,四川南充 637002)

0 引言

20世紀40年代前后,Teichmuller等人在Gr?tzsch問題的啟發下研究了擬共形映射的極值問題,從而產生了Teichmuller空間理論.2005年,Astala等人[1]研究了兩矩形之間的調和能量極值問題.隨后,Iwaniec等人[2]研究了圓環上全能量最小問題.2010年,Astala等人[3]研究了圓環上的平均偏差最小的映射.隨后文獻[4]和[5]研究了雙連通區域上的情形.之后在文獻[6-8]中對矩形上更為一般的情況進行了研究.最近,Kalaj[9]研究了圓環上的組合能量,本文主要研究了圓環上加權調和能量極值問題和加權偏差極值問題.調和能量極值問題與偏差函數的極值問題是相關的,具體見文獻[10-12].

1 預備知識

設A1和A2分別是復平面上的兩個圓環,其中A1={z:1≤|z|≤r},A2={z:1≤|z|≤R},h是A1到A2的微分同胚,并且保持邊界對應,即當|z|=1時,|h(z)|=1;當|z|=r時,|h(z)|=R.H(A1,A2)是由h組成的集合.

由于研究圓環上的映射,用極坐標的形式在討論問題時自然方便,所以令h=ρeiφ,z=teiθ,那么h的徑向導數和切向導數分別定義為

(1)

又由

所以有

J(z,h)≤|hN||hT|.

(2)

f的偏差函數定義為

調和能量與Nitsche現象密切相關.1962年Nitsche[13]猜測,圓環A1與A2之間存在調和同胚的充要條件是以下不等式成立.

(3)

這個猜想最終在2011年被Iwaniec等人[14]解決.

在Nitsche猜想的基礎上,Kalaj[15]提出了ρ-Nitsche猜想,如下:

如果存在從A1到A2的ρ-調和同胚,則

(4)

定理1.1[17]設ρ(w)=|w|-2,則A1與A2之間存在ρ-調和同胚的充要條件是

這給出了ρ(w)=|w|-2的ρ-Nitsche猜想的肯定回答.

在文獻[18]中Iwaniec和Oninnen研究了全能量最小的極值問題.本文分別針對加權能量極值問題和加權偏差函數極值問題給出了兩個主要定理.

定理1.2設h:A1→A2的微分同胚,且滿足Nitsche條件(3),對所有的h∈H(A1,A2),

定理1.3設f:A2→A1的微分同胚,f=h-1,且滿足Nitsche條件(3),對所有的

f∈F(A2,A1),

定理1.3已經出現在文獻[15,17]中,這里借助文獻[18]中的方法,給出了不同的證明方法.

2 定理1.2的證明

設0≤a≤1,0≤b≤1,A≥0,B≥0且|z|=t>0,則由(1)、(2)及平均值不等式有

≥(1-a2)|hN|2+(1-b2)|hT|2+2ab|hN||hT|

+[2ab]J(z,h)-[(1-a2)A2+(1-b2)B2],

(5)

下面分兩種情況討論.

(6)

將(6)式兩邊同時在A1上積分得

所以

ε[h]≥ε[h0].

則(5)式變為

(7)

將(7)式兩邊同時在A1上積分得

證畢.

3 定理1.3的證明

設0≤a*≤1,0≤b*≤1,A*≥0,B*≥0且|z|=t>0,則由平均值不等式有

(8)

(9)

將(9)式兩邊同時在A2上積分得

所以

E[f]≥E[f0].

(10)

將(10)式兩邊同時在A2上積分得

證畢.