丹江口水庫入庫洪水概率預報及調度風險分析

王 偉,王 樂,田 逸 飛,崔 震

(1.漢江水利水電(集團)有限責任公司,湖北 武漢 430048; 2.長江水利委員會 水文局,湖北 武漢 430010;3.武漢大學 水資源工程與調度全國重點實驗室,湖北 武漢 430072)

0 引 言

隨著流域產匯流理論研究的深入、計算機技術的迅速發展和預報實踐經驗的增加,水文預報取得了長足發展[1-3]。目前廣泛使用的水文預報大多是確定性的[4],但由于輸入、參數和結構等不確定性因素影響,水文模型輸出的預報結果具有客觀上的不確定性[5-6]。這就導致傳統確定性水文預報的結果是不完善的,而以概率分布的形式定量描述和估計水文預報不確定性,同時給出水文變量的均值和指定概率的置信區間預報結果,比確定性預報成果更加真實合理[7-9]。

概率水文預報的形式多樣靈活,既可以單獨對模型輸入、參數和結構進行不確定性分析,也可以直接對模型輸出進行統計后處理。近年來,國內外學者開發了許多水文預報不確定性量化方法,主要包括貝葉斯概率水文預報方法[10-12]、誤差概率分布法[13]、分位數回歸法[14]、廣義線性模型[15]等。其中,貝葉斯概率水文預報方法理論基礎明確,是目前最具代表性的概率水文預報方法,它不僅能將各個模型預報結果進行加權平均,還能計算模型間和模型內的誤差,但存在需要假定流量服從某些特定分布(如正態分布、Gamma分布)或者數據轉化的不足[16-17]。但實際上,水文變量的相關性非常復雜,其邊緣分布既可能服從正態分布,也可能服從偏態分布。為了克服這種不足,Madadgar和Moradkhani[18]提出了耦合Copula函數的貝葉斯方法,Copula函數是多變量聯合分布構建理論與方法的重大突破,它可以將邊緣分布和相關性結構分開來研究,且對邊緣分布類型沒有任何限制,形式靈活多樣,可以描述變量間非線性、非對稱的相關關系,眾多學者研究發現相較于傳統貝葉斯方法其效果得到改善[19-23]。丹江口水庫是中國南水北調中線工程的水源地,是開展漢江流域水資源配置調度、防洪、發電等措施的重要水利樞紐,科學表達其水文預報的不確定性對開展調度工作有十分重要的意義,但目前對于丹江口的水文預報研究以確定性預報為主,較少有關于丹江口水庫洪水概率預報方面的研究。

因此,本文以丹江口水庫為研究對象,開展了丹江口水庫入庫洪水概率預報模型研究,采用基于Copula理論的貝葉斯概率預報模型對丹江口水庫入庫洪水預報結果進行后處理,實現了入庫流量概率預報,并基于概率預報進行了風險分析,分析概率預報在實時預報調度實踐中的應用,為科學調度決策提供更多風險信息。

1 研究區域

丹江口水利樞紐位于漢江中游,同時具備防洪、供水、灌溉、發電及通航等多項功能[24-25],其建設運行不僅具有顯著的防洪發電效益,而且有助于緩解北方供水區的水資源短缺及生態環境問題。丹江口水庫以上流域集水面積為9.52萬km2,水庫總庫容319.5億m3,防洪庫容110.2億m3,屬于亞熱帶季風氣候,流域內徑流主要源于降水,且年內分布不均,具有夏汛和秋汛的特征[26]。丹江口水庫以上流域如圖1所示。

圖1 丹江口水庫以上流域Fig.1 Watershed of Danjiangkou Reservoir

2 數據來源與研究方法

2.1 數據來源

丹江口水庫入庫流量實況和預報資料由長江水利委員會水文局提供。丹江口水庫區間為非閉合流域,其具體預報方案由孤山、賈家坊、黃龍灘水庫、荊紫關、西坪、西峽-丹江口水庫的河道匯流方案以及丹江口水庫區間預報方案構成。其中河道匯流方案采用分段馬斯京根模型,區間預報方案采用API模型及新安江模型。

在6～72 h預見期預報中選用2013～2020年丹江口水庫汛期(4月1日至10月31日)入庫流量(漢江集團根據水量平衡法計算得到)和長江水利委員會水文局發布的相應確定性預報入庫流量資料,每日上午08:00發布預報,預報間隔為6 h。實測值和預報值均為每日瞬時入庫流量,樣本統計如表1所列。

表1 確定性預報流量樣本統計Tab.1 Sample statistics of deterministic flow forecast

2.2 研究方法

2.2.1基于Copula函數的貝葉斯預報處理器

傳統的貝葉斯預報處理器(Bayesian Processor of Forecast,BF)通過建立預報值與觀測值的統計關系將確定性預報轉化為對應的概率預報,但其要求水文變量服從正態分布和線性結構,而實際的水文過程往往是非線性過程,且其變量分布更為復雜,這就限制了BF方法的應用范圍。Copula函數可將多個隨機變量的邊緣分布連接得到它們的聯合分布,且對邊緣分布類型沒有任何限制,通過Copula連接可以有效克服傳統BF方法中邊緣分布非正態的難題。采用Copula函數構造實況流量和預報流量的聯合分布,以實況流量的邊緣概率密度作為先驗概率密度,以給定實況流量時預報流量的條件概率密度作為似然函數(Copula函數計算),通過貝葉斯公式對先驗密度和似然函數進行耦合得到實況流量后驗密度函數,從而基于Copula函數貝葉斯預報處理器(Copula-based Bayesian Forecast,CBF)實現概率水文預報。

圖2為CBF的概念流程示意圖。令Hk,Sk(k=1,2,…,K)分別表示待預報的實況流量和確定性預報流量,K為預見期長度;hk,sk分別為隨機變量Hk,Sk的實現值。

圖2 CBF處理器流程示意Fig.2 Schematic diagram of CBF processor flow

CBF處理器中實況流量Hk和預報流量Sk的相關性結構如圖2所示。實況流量Hk被認為只與對應的預報流量Sk相關。根據貝葉斯公式,預見期k的實況流量Hk的后驗密度函數為

(1)

式中:φk(hk|sk)為Hk的后驗密度函數;gk(hk)為流量先驗概率密度,代表了真實流量過程的先驗不確定性;對于確定的Sk=sk,函數fk(sk|hk)為Hk的似然函數,反映了確定性預報模型的預報能力。

總體而言,在建模階段,通過輸入的實況和預報流量資料估計CBF處理器的參數;在預報階段,CBF處理器可以將輸入的確定性預報流量轉化為對應的實況流量的后驗密度函數,從而實現概率預報。CBF處理器的先驗分布、似然函數和后驗分布的數學表達式、計算和優選方法參照文獻[20-21],最終確定的實況流量邊緣分布選用P-Ⅲ型分布函數,Copula聯結函數選用Gumbel-Hougaard函數。

通過上述方法可以給出不同置信度的概率預報區間(即概率預報上下限)、概率預報期望值結果(通過概率預報計算推薦的最可能預報值)。

2.2.2評價指標

采用模型納什效率系數(NSE)、平均絕對誤差(MAE)、徑流總量相對誤差(RE)和均方根誤差(RMSE)來評價確定性預報精度[22],由于該方法應用廣泛,本文不再介紹。

采用覆蓋率(CR)、平均相對帶寬(RB)、單位平均相對區間寬度所包含的實測點據比例(PUCI)和連續概率排位分數(CRPS)來評價概率預報的性能[27-29]。

(1) 覆蓋率(CR):指預報區間覆蓋實測流量數據的比率。它是最常用的預報區間評價指標。CR值越大,表示預報區間覆蓋率越高,CR越接近指定的置信水平。

(2)

式中:n為預報區間上下界范圍內的時刻,T為所有的時刻。

(2) 平均相對帶寬(RB):預報區間上界和下界之間的距離與實況流量的比值。對于指定的置信水平,在保證有較高的覆蓋率前提下,預報區間平均帶寬或平均相對帶寬越窄越好。

(3)

式中:htu,htl分別為第t時刻的預報區間的上界和下界;ht為第t時刻的實況流量。

(3) 單位平均相對區間寬度所包含的實測點據比例(PUCI):綜合CR和RB的指標。對于指定的置信水平,在保證有較高的覆蓋率前提下,預報區間平均相對帶寬越下越好。PUCI值越大,預報區間表現優良,其表達式如下:

(4)

(4)連續概率排位分數(CRPS):連續概率排位分數是結合可靠性和分辨率的綜合指標,是評估概率預報結果總體效果的標準方法,數學表達式為

(5)

式中:Ft是第t時段預報流量的累積分布函數;積分變量r表示流量;Hs(r-ht)是實際流量的累積分布函數,當r

3 概率預報結果及評價分析

3.1 確定性預報結果評價

基于誤差分布計算概率預報,首先需要確保用于基礎計算的確定性預報精度要達到較高水平且預報結果穩定。表2給出了不同評價指標下的丹江口水庫6～72 h預見期瞬時入庫流量預報精度。可以看出,隨著預見期的延長,丹江口水庫的瞬時流量預報精度逐漸下降,24 h預見期內的NSE系數均在0.87以上;30～48 h預見期內,NSE系數為0.74～0.83;54～72 h預見期內,NSE系數為0.59～0.76。平均絕對誤差和均方根誤差隨著預見期的增長也逐漸增加,但總體而言確定性預報結果的精度較高,可以為概率預報奠定良好的計算基礎。表2中后驗期望值結果表明,經過CBF處理器校正以后,概率預報期望值NSE系數提升相對較小,基本和確定性預報結果維持相同水平;RE提升效果最為明顯,校正后的RE值基本在1%以下,在各預見期上均明顯優于確定性預報結果;MAE和RMSE在絕大多數預見期上也有所降低,降低幅度多為5～20 m3/s。總體來看,后驗期望值預報結果在多數情況下較原始確定性預報各項指標均有所提升,也驗證了概率預報的有效性。

表2 丹江口水庫6～72 h預見期預報流量精度Tab.2 Assessment of flow forecast of Danjiangkou Reservoir in 6～72 h forecast period

3.2 置信區間評價

表3統計了丹江口水庫6～72 h預見期瞬時預報流量95%置信區間指標。由表3可知,在6～72 h預見期中,隨著預見期的增加,其平均相對帶寬RB由初始6 h預見期的3.64逐漸增加到了72 h的6.36;PUCI值由6 h預見期的0.25逐漸減小至72 h預見期的0.14,說明總體上概率預報置信區間的性能隨預見期的延長呈下降趨勢。但其中CR值受預見期的影響較小,置信區間的覆蓋率均在0.87以上,接近置信水平95%,因此置信區間是合理可靠的。

表3 丹江口水庫流量概率預報95%置信區間評估Tab.3 Assessment of 95% confidence interval of probabilistic flow forecasts in Danjiangkou Reservoir

圖3顯示了不同預見期下丹江口水庫的實況流量、后驗期望值流量過程線和95%,99%置信區間。由圖3可知,在1～3 d預見期,基于CBF處理器得到的概率預報后驗期望值結果與實況流量序列擬合效果較好,但擬合效果隨著預見期的延長而降低,且對于極少量的高洪流量點,出現了99%置信區間無法覆蓋實況流量點的情況,這主要是由于率定概率預報區間時考慮了樣本總體的率定效果,導致異常個例模擬效果相對一般。總體而言,預報區間基本上可以包含實況資料,表明得到的概率區間預報是可靠的,可以為防洪決策提供更多的信息。

注:圖中時間間隔為剔除缺測數據后,按照實際流量數據的天數平均分配計算得到,最后一個日期為數據統計截止時間。圖3 不同預見期下丹江口水庫的實測流量、后驗期望值流量過程線和95%,99%置信區間Fig.3 Observation,posteriori expected flow process line and 95% and 99% confidence intervals of Danjiangkou Reservoir under different forecasting periods

3.3 概率預報性能評價

表4給出了丹江口水庫6～72 h預見期瞬時預報流量概率預報整體評價指標。由于當預報結果為單一確定性值時,CRPS變為預報平均絕對誤差MAE,從而可以更加直觀地比較確定性預報和概率預報結果的性能優劣。由表4可知,在6～72 h預見期中,隨著預見期的增加,概率預報的CRPS逐漸增加,由初始6 h預見期的247 m3/s增加到72 h預見期的471 m3/s,但不同預見期概率預報的CRPS值總是小于確定性預報流量的平均絕對誤差值,概率預報的降幅在25%～30%區間,彰顯了概率預報的有效性。

表4 丹江口水庫流量概率預報整體性能評估Tab.4 Overall performance assessment of probabilistic flow forecast in Danjiangkou Reservoir

4 基于概率預報的調度風險分析

2021年9月18日,受持續強降雨影響,漢江上游多條支流發生較大漲水過程,上游來水疊加區間來水,丹江口水庫發生20 000 m3/s以上量級的漲水過程。丹江口水庫最大入庫流量分別為9 570 m3/s(9月18日21:00)、22 800 m3/s(9月19日19:00),9月20日22:00出現最高調洪水位168.25 m,9月23日08:00退至167.87 m。本節采用前述構建的CBF概率預報處理器對2021年9月18～20日場次洪水進行概率預報后處理,并將其作為典型個例進行調度風險分析。

4.1 來水預報

(1) 確定性預報:根據預見期降雨和考慮上游水庫調度,預計丹江口水庫未來3 d的日均入庫流量為10 840 ,19 970 ,10 030 m3/s,9月19日20 h前后將有一次20 000 m3/s 量級的漲水過程。

(2) 概率預報。概率預報后處理結果顯示,丹江口水庫未來3d的日均入庫流量概率預報期望值分別為10 300,19 260,9230 m3/s,9月19日20 h丹江口水庫入庫洪峰流量為22 420～27 140 m3/s。

4.2 調度方案

考慮未來丹江口水庫入庫流量將漲至20 000 m3/s以上,在通過丹江口水庫攔洪削峰為漢江中下游河段減輕防洪壓力的同時,應盡可能降低丹江口庫區水位。因此,擬定以下3組調度方案用于比較:

(1) 方案1考慮丹江口水庫維持當前出庫流量6 000 m3/s,采用確定性預報預計預見期內調洪水位最高達到168.60 m。

(2) 方案2考慮丹江口水庫加大下泄流量至7 000 m3/s,采用確定性預報預計預見期內調洪水位最高達到168.40 m。

(3) 方案3考慮丹江口水庫加大下泄流量至8 000 m3/s,采用確定性預報預計預見期內調洪水位最高達到168.10 m。

對于概率預報結果,采用等信度抽樣法抽取流量過程線,通過調洪演算可得到每條信度流量過程線對應的水位過程線,也就是水位概率預報區間。圖4給出了3組出庫方案下的流量和水位概率預報區間結果。可以看出,隨著預見期的增加,預報區間寬度逐漸變大,表明水文預報不確定性的影響加大。隨著出庫流量的增加,3種方案下丹江口水庫的水位區間呈逐漸下降的趨勢,在6 000 m3/s的出庫流量方案下,庫水位概率區間最高值在168.90 m附近,在7 000 m3/s的出庫流量方案下,最高值在168.60 m附近,在8 000 m3/s的出庫流量方案下,最高值在168.40 m附近。

4.3 水庫調度風險分析和檢驗

當確定某一目標水位時,統計由上述計算得到的水位過程線超過目標水位的過程線條數,計算該數值與所有過程線條數的比值,則可以反映出預見期內水位概率預報區間超過某一水位的概率,這里將其稱作水庫調度的超目標水位風險率。

2021年9月18日,丹江口未來3 d入庫洪水預報量級約為20 000 m3/s,小于10a一遇,且漢江中下游防洪形勢較為緊張。按照調度規程,當丹江口水庫預報入庫洪水不大于10 a一遇時,控制皇莊(碾盤山)流量秋汛期不超過相應允許泄量12 000 m3/s,同時控制水庫調洪最高水位秋汛期不超過168.60 m。因此,此次調度過程,對丹江口水庫庫水位的調度控制目標為在不超168.60 m的基礎上盡可能降低丹江口水庫水位。表5給出了不同方案下概率預報計算的超目標水位風險率,從表中可以看出,隨著目標庫水位的抬高,不同方案下的超目標水位風險率降低。本次調度過程中,若按167.50 m進行水位控制,則3種方案下維持丹江口庫水位167.50 m的超目標水位風險率均超過100%,調度風險過大,應適當放寬調度目標;若按168 m 進行水位控制,則3種方案的超目標水位風險率均在50%以上,風險同樣過大;若按168.50 m進行控制,則方案1超目標水位風險率偏高,為46.7%,方案2超目標水位風險在10%以內,方案3超目標水位的風險基本為零,但對應的出庫流量較大,不利于緩解下游防洪壓力。因此在綜合考慮風險可控和緩解下游防洪壓力的基礎上,以丹江口庫水位168.50 m為調度目標,可推薦方案2。

表5 不同方案下9月1～21日概率預報得到的超目標水位風險率Tab.5 Risk rate of exceeding target water level obtained by probabilistic forecasts of September 18～21 under different scenarios

2021年9月18～20日,丹江口水庫實際日均入庫流量分別為8 890,19 550,10 360 m3/s,出庫流量為6 550,7 000,7 790 m3/s左右。本次概率預報區間基本涵蓋了確定性預報和實況流量的波動范圍,且帶寬較窄,表明概率預報區間合理可靠。實況出庫流量與方案2基本一致,丹江口水庫的實際最高庫水位為168.25 m(9月20日22:00),超過168.00 m且小于168.50 m,說明采用方案2的概率預報區間結果較好地反映出了本次調度的風險。

從概率預報的區間角度來看,當95%置信度的流量和水位區間均能包含發布預報流量水位過程線時,表示本次預報的誤差在概率預報的許可范圍內,可以認為未來3 d丹江口水庫調度風險可控,相反若置信區間不能包含確定性流量和水位預報,表明本次預報較以往的預報誤差特征有所異常,存在風險不可控的情況;從具體方案的概率預報來看,在確定當前的預報調度目標后,可以通過概率預報判斷水位和流量預報值超過調度目標的風險,從而為科學調度決策提供風險參考信息。

總體而言,相較于確定性預報,概率預報可以提供不同水位目標下的風險信息,幫助決策者在綜合考慮當前調度風險的基礎上更為靈活地確定調度目標和進行方案決策,而確定性預報只能提供確定的水位預報過程線,若預報存在較大誤差時,決策者依據確定性預報進行決策可能會導致決策失誤。

5 結 論

本文基于長江水利委員會水文局發布的預見期12～72 h確定性預報流量數據,利用Copula-CBF方法實現丹江口水庫入庫流量概率預報,從概率預報期望值的精度、預報區間的優良性以及概率預報的整體性能等3個方面對概率預報結果進行評價,最后進行了丹江口水庫風險調度案例分析。得到以下結論:

(1) 隨著預見期的延長,丹江口水庫入庫流量概率預報平均相對帶寬和誤差逐漸增大,表明入庫流量的不確定性隨著預見期的延長而增加,概率預報期望值的精度相應降低。

(2) 丹江口水庫入庫流量概率預報在各預見期上預報區間的覆蓋率CR值均超過0.87,均接近指定的置信水平95%,表明計算得到的流量概率預報區間是合理可靠的。

(3) 丹江口水庫入庫流量的概率預報期望值較確定性預報結果的各項指標均有所提升,其中概率預報CRPS值始終小于相應的確定性預報的MAE值,CRPS值在各預見期上較MAE降低幅度均超過25%,彰顯了概率預報的有效性。

(4) 當概率預報的流量水位區間能包含確定性預報時,可認為水庫調度風險可控,反之則存在風險不可控的情況;對于具體方案的概率預報,在確定當前的預報調度目標后,可以通過概率預報區間判斷水位和流量量級超過調度目標的風險,為科學調度決策提供風險參考信息。

(5) 概率預報可靠度依賴于確定性預報精度。漢江流域內水庫、閘壩、行滯洪區等工程眾多,調度運用頻繁,給洪水預報帶來了更大的不確定性,可以考慮從降水校正、參數校正以及終端校正等方面來控制和降低預報的不確定性。