數學文化對小學生數學核心素養發展作用測評模型構建與實證研究

蒲 淑 萍

(1.重慶師范大學 初等教育學院;2. 重慶市兒童發展與教師教育研究中心,重慶 400700)

突出數學等自然科學的文化價值,是當下中小學數學教育教學的重要目標追求之一。一般來說,數學文化是指數學知識、數學精神、數學思想、數學方法、思維方式等傳播文明的總和。而以發展學生關鍵能力與必備品格的學科核心素養,是當下世界各國教育目標的一致追求與重點關注。數學文化助力于數學教育、教學,學生認知、情感、品格等的發展,其對數學核心素養的提升具有重要意義。然而,數學文化在哪些層面、何種程度影響了學生數學核心素養的發展?我們需要理論探索,更需要走進教學實踐,深入分析與探究。當前不少學者對此的認識多停留在思辨分析與實踐總結階段,如林偉[1]、張春輝[2]等人的研究僅停留在對意義和策略的思辨層面,缺乏深入的實證探究與理論概括與總結。這在很大程度上也制約了基于數學文化的中小學數學教育教學的深入開展。鑒于此,本研究將定量和定性相結合,嘗試構建數學文化對小學生數學核心素養發展作用的指標體系與測評模型,為不同方式教學對數學核心素養的發展提供借鑒和測評工具支持。

一、數學文化對學生數學核心素養發展作用的內涵與價值

厘清數學文化對學生數學核心素養發展作用的維度,是構建測評指標體系的邏輯起點。為此,研究者通過文獻分析等,嘗試闡明和廓清數學文化對發展學生數學核心素養作用的內涵意蘊與價值表征。

(一)數學文化對小學生數學核心素養發展作用的內涵意蘊

2017年我國普通高中數學課程標準給出了對數學文化的定義:“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點,以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義,以及與數學相關的人文活動。”[3]10自此,學界對數學文化的內涵有了較為統一、清晰的認識。《普通高中數學課程標準(2017 年版2020修訂)》對數學核心素養也給出了明確的界定,“是數學課程目標的集中體現,是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現,是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。”[4]4,104-106《義務教育數學課程標準(2022年版)》以核心素養導向的課程總目標概括為“三會”。通過數學學習,學生能獲得適應未來生活和進一步發展所必需的“四基”和“四能”,養成對數學良好的“情感態度價值觀”[5]5-7。

我國課程標準關于數學文化對學生數學核心素養發展作用主要體現在三個方面:價值觀念、必備品格和關鍵能力,三者缺一不可[6]。以此三個維度為基礎,研究者進一步梳理其在小學數學教育教學實踐中的具體表現形式,形成每一維度下的評價指標,進而開展數學文化的測評研究。

(二)價值觀念、必備品格和關鍵能力的相互關系與價值體現

1.必備品格

首先,品格是個人成長的重要影響因素[7]。品格與能力共同支撐著學科素養的發展,必備品格與關鍵能力同等重要[8][9]。其次,數學的工具性與人文性可塑造學科品格。朱德全等認為數學教育的人文性價值取向,以數學獨有的品性來“化”人,培養學生的理性精神,練就一種數學的頭腦與眼光,能“數學地”觀察世界[10]。再次,數學學科必備品格具有學科特質。徐文彬認為“數學自有其必備品格”,既具有數學的特性,又必須擁有教育的品格[11]。數學教學三種最需關注的必備品格:求真的品格、堅持的品格、誠信的品格[12]。必備的數學品格是促進兒童發展的重要力量,其核心價值在于培養兒童的理性精神[13]。數學文化融入數學學科教學,可使學生數學意識、理性精神、質疑、批判精神、探索熱情、人文精神等方面的品格獲得提升。

2.關鍵能力

目前,普通高中數學課程標準所確立的數學抽象等6個方面的數學學科核心素養,以及對每一個方面給出的3個水平描述,主要就是從關鍵能力方面提出的。喻平認為高中課程標準給出了每種核心素養的水平劃分,但對日常的學習評價沒有直接的指導意義,他建立了基于知識的數學核心能力框架[6]。考慮到小學階段的基礎性與發展性,更應從質量內涵出發構建數學文化對關鍵能力的測評指標。

3.數學情感、價值、觀念

運用數學文化于數學教學,它所帶有的信念、價值觀、組織文化等隱性特征得以潛移默化地影響學生認識。如,原本認為數學是符號公式的集合靜態數學觀會發生改變,可以看到數學和其他學科一樣是一直在發展變化的;原本認為數學是枯燥乏味、缺乏人文情懷的,通過數學文化的融入,學生必然會對數學學科的人文性認識更到位。數學文化著力于體現數學學科、科學的發展特征、人文特征,從而促進學生數學科學的數學觀、數學教學觀、數學學習觀念更科學、客觀、正確;對數學的理論與應用價值認識更清晰。通過數學文化教學,促進學生的數學情感——興趣與信心、動機,以及數學觀念——數學觀、數學學習觀、數學價值觀等的發展。

二、數學文化對數學核心素養作用的評價指標與結構模型建構

基于上述分析,參照已有的關于測評模型構建的范式,研究者對數學文化于數學核心素養發展作用的測評模型進行開發研究。研究者將從考察已確定的數學文化對學生數學核心素養發展作用的三個維度出發,確定各個維度下的具體指標及其要義,進而收集、分析指標數據與生成測評模型。

1.數學文化對學生數學核心素養發展作用的評價指標

(1)關于必備品格的測評

目前,關于數學必備品格的測評研究并不多見。關于必備品格的相關研究,多是結合實踐教學進行的思辨分析,內容聚焦于必備品格培養的意義、必備品格的內涵與構成、如何培育必備品格等方面。本研究將以此為基礎,考察學生在數學學習過程中的數學意識、理性精神、批判、質疑精神和探索精神、人文精神,以及其對學生關鍵能力的促進作用。

(2)關于關鍵能力的測評

數學文化促進數學認知發展。在知識上,通過跨學科等,可以更好地建立知識之間的聯系,順利、高效實現遷移,甚至創造;在技能上通過古今方法對比、學科聯系等獲得拓展與延伸;在思維及思想方法上,明了思維過程,抓住思想起源與發展脈絡,掌握思想方法的本質與精髓,獲得更多的智慧啟迪。以《義務教育數學課程標準(2022年版)》對核心素養的界定為依據,借鑒喻平教授對以知識為基礎的數學關鍵能力的框架[6],本研究構建起數學文化對數學關鍵能力發展評價框架,詳見表1。

表1 數學文化對數學關鍵能力發展評價框架

(3)關于情感、態度、價值觀的測評

美國心理學家馬森(Mussen P. H.)指出:“兒童在學校的成績和成年后的成就,不僅依賴于他們的能力,而且也依賴于他們的動機、態度和對學校及其他成就情境和情緒的反應。”[14]然而,由于情感、態度、價值觀念的內隱性、情境性等典型特征,使得測評學生的數學情感、態度、價值觀念并不是一件容易的事情。同時,情感、態度、價值觀念雖然作為課程目標的一個維度,但對于認知領域的評價,基本上是對知識學習不同結果的評價,即圍繞知識學習開展的,與中國目前課程標準中的“知識與技能”“過程與方法”相對應,只是把這兩個要素作為認知領域中不同的水平來表述。對于情感領域的評價,是針對非智力因素開展的,與課程標準提出的三維目標中的“情感、態度與價值觀”相對應。相比之下,布盧姆對評價目標有清晰的劃分,兩個目標指向明確,具有實踐層面的可操作性,而中國課程標準提出的三維目標,將三者作為一種并列關系卻又捆綁在一起,在實踐中是難以操作和實現的。

克拉斯沃爾(Krathwohl)關于情感領域的目標分類,依據價值內化(指由外在的學習轉化為個人內在的興趣、態度、價值等心理特質)的程度,從低到高分為5級:接受、反應、價值化、組織、價值與價值體系的性格化。各個級別的具體表現見表2。

表2 克拉斯沃爾(Krathwohl)興趣、態度、價值的目標分類細目表

Fennema-Sherman數學態度量表是用于研究學生對數學態度的最流行的工具之一。這一量表已被廣泛用于評估學生對學習數學的態度。量表有12個項目,并使用5點李克特量表(從“非常不同意”到“非常同意”)來衡量回答[15]。劉曉惠等研究針對“對初中二年級超常與常態兒童學業情感態度的研究,其特點是詳細考察學生對于學習課程(特別是數學課程)的情緒感受范圍和層次”。他們使用吳武典提供的四項標準化問卷測量,從對數學課程的態度、數學焦慮、學業經驗、動機信念等方面進行問卷調查。這對我們進一步完成對于學生更詳細的情感態度分析提供了借鑒[16]。

柳笛以小學數學為例,就特質情緒智力如何影響學生的學業成就開展研究。她對326名小學生進行調查,探索特質情緒智力總體及其各維度對計算流暢性、數值運算、數學推理等數學任務的影響。研究結果顯示,不同特質情緒智力水平的學生在計算流暢性、數值運算、數學推理這三個任務總均分上都呈現顯著差異;“自尊”“自我激勵”對計算流暢性具有顯著的預測作用,“自尊”“情緒覺知”和“低沖動性”對數值運算具有顯著預測力,“自尊”“自我激勵”“低沖動性”和“適應性”能有效預測數學推理。為提高學生的學業成就,應從培養學生情緒智力和構建情緒智力干預機制兩方面采取措施[17]。

本研究將借鑒上述研究與本研究的密切相關因素,從數學文化對學生情感、態度、價值觀念三個維度開展研究,建立具體指標,明確其對應要義。以此為基礎進一步構建數學文化對數學核心素養發展作用的測評模型。

2.數學文化對學生數學核心素養發展作用三維度結構模型初建

(1)數學文化對學生數學核心素養發展作用的測評模型假設

基于上述的文獻研究結果和實踐認識,本研究提出數學文化對小學生數學核心素養發展作用的測評模型假設:數學文化對小學生數學核心素養的發展作用是必備品格、關鍵能力和情感觀念價值的綜合體現。我們認為,數學文化對小學生數學核心素養的影響,不僅表現在有意識的數學意識、數學表達,以及理性精神、批判精神、人文精神等數學必備品格方面;也表現在學生對知識的理解、遷移與創新方面;更表現在學生的情感、數學觀、數學價值等方面的認識上。因此,本研究在構建該測評模型時,需從必備品格、關鍵能力和情感觀念價值等因素進行考量。

(2)三個維度及其具體指標、要義

為了更具操作性,我們對數學必備品格分解為四個具體指標:數學意識、理性精神、批判精神、人文精神四個方面;數學關鍵能力分為三個具體指標:知識理解、知識遷移、知識創新;數學情感觀念價值分為數學情感、數學觀念、數學價值,形成數學文化對核心素養發展作用的三維度結構體系(表3)。對各項指標的具體內容與要義描述詳見表中。

表3 數學文化對核心素養發展作用的三維度結構

(3)3個維度10個指標組成的結構

圖1是三個因素之間的關系圖,其中V1-V10分別表示各因素的內容。V1:數學意識;V2:理性精神;V3:批判精神;V4:人文精神;V5:知識理解;V6:知識遷移;V7:知識創新。V8:數學情感;V9:數學價值;V10:數學觀念。

圖1 數學文化對數學核心素養發展3維度10因素結構圖

這個結構的完全建立,將在作了驗證性因素分析后完成。

三、數學文化對數學核心素養發展作用測評模型的驗證性分析

對三維度結構模型的探索與驗證分析,采用結構方程模型( Structural Equation Model,SEM)方法。驗證性因子分析( confirmatory factor analysis)是對社會調查數據進行的一種統計分析,它測試一個因子與相對應的測度項之間的關系是否符合研究者所設計的理論假設。

1.研究設計

根據前文的理論分析,本研究提出兩條數學文化對小學生數學核心素養發展的測評模型假設:

假設一:數學文化對小學生數學核心素養發展作用主要體現在必備品格、關鍵能力與情感態度觀念3個維度。

假設二:數學文化對小學生數學核心素養發展作用在品格、能力與價值觀念等方面都有不同程度的促進作用。

(1)被試選擇

利用一年一度的重慶市數學文化教學比賽和全國小學數學培訓工委年會觀摩課的準備機會,分別選取四所小學學生共199名(其中A、B兩所小學98名學生被試用于探索性因素分析;C、D兩所小學101名學生被試用于驗證性因素分析)參加調查,其中A小學46名學生(男生25名,女生21名)、B小學52(男生27名,女生25名),C小學53名學生(男生27名,女生26名)、D小學48名學生(男生25名,女生23名)。A、B兩所小學收回學生有效問卷98份;C、D兩所小學收回學生有效問卷100份,問卷回收有效率分別為100%和99%。

(2)研究工具

自編《數學文化對學生數學核心素養發展作用測評量表》初測版。量表包括3個維度:必備品格、關鍵能力、情感價值觀念。必備品格共12個題項,關鍵能力12個題項,情感價值觀念12個題項,量表最初設計一共36個題項。每個項目均使用利克特(Likert)5點記分法,1表示“很不贊同”,2表示“不贊同”,3表示“不贊同也不反對”;4表示“基本贊同”,5表示“完全贊同”。分別賦值1分、2分、3分、4分、5分,反向題目分別賦值5分、4分、3分、2分、1分。

為了方便項目分析,首先對所有初測數據進行編碼和錄入。將《數學文化對學生數學核心素養發展作用測評量表》的3個因素的題目依次用Va、Vb、Vc表示,Va維度之下不同項目分別用序號1,2,3,……12表示;Vb維度之下不同項目分別用序號13,14,15……24表示;Vc維度之下不同項目分別用序號25,26……36表示。Va、Vb、Vc題項分布情況見表4。

表4 題項分布與計分表

項目選編主要依據已有的相關研究結論以及數學文化對數學核心素養發展作用系統的理論維度。在編制過程中,兼顧必備品格、關鍵能力、情感價值觀念的內容與特點。在項目表述上注意做到語句簡單、通俗明了,用詞準確。在量表的項目內容上突出體現數學學科以及數學文化的特點,并注意貼合我國小學數學學科教學實際。

項目初步擬定后,邀請重慶師范大學小學數學教育專業的教師和另外一所大學數學教育專業部分研究生評價這些項目。最后綜合評價意見,依次對其進行增刪或修改。評估的內容主要包括兩個方面:一是參照各指標的含義,評價每一個項目是否準確反映了因素的內涵;二是根據量表或量表的語言要求,分析每一個項目的語言表述和可讀性,其中特別注意分析題項是否存在歧義,表達是否能夠讓小學生看懂等。通過對項目的修訂,最終確定了《數學文化對學生數學核心素養發展作用測評量表》的初測版。

2.量表結構的數據分析

(1)項目鑒別度分析

項目鑒別度分析的主要考察指標是臨界比( critical ratio,CR值)。具體操作方法為按被試數學文化對數學核心素養三維度量表總分排序,取其前、后各27%作為高分組和低分組,然后進行高分組和低分組在各項目上分數差異的獨立樣本T檢驗,如項目的CR值達到顯著性水平(p<0.05),表明此項目能較好地鑒別不同被試的反應程度。同時,本研究還對題項與量表總分進行相關分析,若題項與量表總分的相關沒有達到顯著性水平(即p<0.05),表明此題項須剔除。使用上述兩種分析方法,刪掉不合適的項目共10個。分別是:3,5,8,9,12;15,16 ,19;25,29,31。量表中余下26個題目(見表5)。

表5 修正后量表的題項分布與計分表

將經項目鑒別度分析、修改后的初測項目編排成量表,請重慶師范大學初等教育學院附屬小學10名小學生和5名小學數學教師對量表初稿的適宜性及項目的可讀性作出評價并填寫可讀性評價表。評價表中,對每個項目采用 Likert 5點計分法,其中,1表示“完全明白”、2表示“基本明白、3表示“不確定”、4表示“基本不明白”、5表示“完全不明白”。可讀性評估匯總結果表明,10名小學生和5名教師的選擇基本集中于“完全明白”和“基本明白”兩點,其中“完全明白”占70.3%,“基本明白”占22.7%、“不確定”占6.67%,“基本不明白”占0.33%。對于小學生領會程度較低的項目,作了用詞方面的進一步修改。

(2)量表信度分析

信度( reliability)指測量結果(數據)一致性或穩定性的程度。一致性主要反映的是測驗內部題目之間的關系,考察測驗的各個題目是否測量了相同的內容或特質。穩定性是指用一種測量工具(譬如同一份問卷)對同一群受試者進行不同時間上的重復測量結果間的可靠系數。如果問卷設計合理,重復測量的再次分數間應該高度相關。由于本案例并沒有進行多次重復測量,所以主要采用反映內部一致性的指標測量數據的信度。本研究采用了SPSS 19.0分析數據的內部一致性。

《數學文化對學生數學核心素養發展作用測評量表》的信度分析結果見表6。數學文化對學生數學核心素養發展作用系統各維度與指標內部一致性系數為0.698～0.922,總量表內部一致性系數為0.843。可見,數學文化對學生數學核心素養發展作用系統量表的α系數信度指標基本達到了測量學要求,適宜作為測量工具使用。

表6 數學文化對學生核心素養發展作用系統量表信度分析結果( Cronbach’s Alpha系數)

(3)量表效度分析

效度即有效性,它是指測量工具或手段能夠準確測出所需測量事物的程度。本研究主要進行《數學文化對學生數學核心素養發展作用測評量表》的內容效度和結構效度分析。

我們對內容效度常采用邏輯分析與統計分析相結合的方法進行評價。本研究是在梳理國內外數學文化對學生數學核心素養發展作用相關研究文獻基礎上提出來的。理論維度框架的確定綜合考慮了它的核心內涵,確定的因素有其堅實的理論基礎。項目初步擬定后,請重慶師范大學小學教育專業的教師和另外一所大學部分研究生評價這些項目,并根據他們的意見對題目做了相應的調整。同時,我們還請部分小學教師和小學生對項目的適宜性及可讀性進行了評價,對評價結果進行統計分析和進一步訪談,并再次對量表項目進行修改。因此,從整個量表的修編過程來看,《數學文化對學生數學核心素養發展作用測評量表》具有較高的內容效度。

結構效度(construct validity)是指測量結果體現出來的某種結構與測值之間的對應程度。即指測驗分數能夠說明心理學理論的某種結構或特質的程度。結構效度分析可以采用多種方法來實現。我們主要采用相關系數分析方法檢測量表的結構效度。

考察各因素之間的關聯性,除了關鍵能力與情感態度觀念達到顯著性相關外,其余的組間相關不顯著,表明各因素方向一致,但有所差異不可互相替代。四個分量表與總量表之間的相關系數為0.624～0.896,均達到顯著性相關水平或非常顯著性相關水平,表明各因素與總體概念一致。而且滿足分量表與總量表之間的相關,大于各分量表之間的相關。

我們再分別考察每一個子量表之間以及每一個子量表與其分量表的結構效度表7～9的結果。

表7 必備品格各子量表之間的相關及與分量表的相關分析(r)

表8 關鍵能力各子量表之間的相關及與分量表的相關分析(r)

表9 情感價值觀念各子量表之間的相關及與分量表的相關分析(r)

表8～10的結果可以看到,各子量表之間的相關均小于它們與各自的分量表之間的相關,因此,量表有較高的結構效度。

(4)驗證性因素分析

研究使用SPSS19.0和Amos19.0對量表進行驗證性因素分析。按照我們的理論框架,數學文化對小學生數學核心素養發展作用分為3個維度:必備品格、關鍵能力、情感價值觀念,分別命名為Va,Vb,Vc。必備品格(Va)的觀測變量有4個,設為:V1,V2,V3,V4;關鍵能力(Vb)的觀測變量有3個,設為:V5,V6,V7;情感價值觀念(Vc)的觀測變量有3個,設為:V8,V9,V10。ei( i=1,2,…,10)表示對應變量Vi(i=1,2,…,10)的殘差變量。將數據載入的初始模型后,得到圖2結果。

圖2 參數估計結果圖

(5)模型擬合評價

本研究中,我們選用了能反映驗證性因素分析結果的有效性的標準擬合指數NFI、相對擬合指數TLI、比較擬合指數CFI、近似誤差均方根指數RMSEA四項指標加以考察。本研究中TLI為0.835,如果TLI0.8,則認為模型擬合較好;CFI為0.916,一般認為CFI0.9模型擬合較好;RESEA為0.046,一般認為RESEA<0.05,表示模型擬合非常好(如表10所示)。

表10 數學文化對學生數學核心素養測評模型的擬合度

模型與數據之間的擬合情況良好。通過驗證,采用該模型。

(6)測評模型專家評價

為確保測評模型的科學性,本研究編制了“數學文化對數學素養發展作用的測評模型認同度調查問卷”。問卷采用李克特五級量表記分方式,邀請20名專家(包括高校教育學教授5名、小學數學教研員7名、長期從事數學文化研究、數學核心素養研究的人員8名)對本研究構建的數學文化對學生數學核心素養發展作用的測評模型進行評價。結果顯示(如表15所示),專家對各維度能有效反映數學文化對學生數學核心素養發展作用的認同度為86%～100%,對所構建的測評模型的認同度為86%。因此,專家們認為,本研究構建的數學文化對學生數學核心素養發展作用測評模型能對數學文化對學生數學核心素養發展作用進行有效測評。

調查結果表明,該測評模型由三個維度構成,貢獻率依次為:情感觀念價值維度>關鍵能力維度>必備品格維度。三個維度與數學文化對數學核心素養發展作用總分顯著相關,測評模型擬合指數均符合要求,這一結論具有理論意義。其中,情感觀念價值的解釋率最高,這可能是因數學的歷史發展、數學與生活、數學與藝術等的聯系與價值等數學文化的鮮明人文特征與應用價值等,對打破小學生以往對于數學的情感態度、數學觀、數學價值的認識,產生了顯著影響,即小學生對數學的發展、數學與其他學科的跨學科聯系的了解,深刻改變了小學生的數學情感態度和價值觀念。而數學與數學家的精神、思想、方法等對發展小學生的數學關鍵能力和品格塑造也起到了重要的積極影響。

表11 數學文化對學生數學核心素養發展作用測評模型認同度調查情況

通過以上的項目分析,最終確定了《數學文化對學生數學核心素養發展作用測評量表》。再次對C、D兩所小學的101名小學生進行測試。最后,通過因素分析中因子得分,以三個因子的方差貢獻率占總方差貢獻率的比重作為權數進行加權計算,得出三個因子的權數是26.31%(必備品格)、31.28%(關鍵能力)、42.37%(情感觀念價值),分別通過3個一級維度綜合反映數學文化對小學生數學核心素養的發展作用。即數學文化對小學生數學核心素養發展作用的測評模型為:

Y=0.26X1+0.31X2+0.42X3

其中,Y為數學文化對小學生數學核心素養發展作用,X1為必備品格維度,X2為關鍵能力維度,X3為情感觀念價值維度。

綜上所述,本研究建立的數學文化對學生數學核心素養發展作用測評模型既通過了信效度檢驗,具有科學性和有效性,也獲得了相關專家的認可,可以對數學文化作用下小學生的數學核心素養進行有效測評。

本研究首次構建出數學文化對學生數學核心素養發展作用的指標體系與測評模型,經過初步試驗證實該模型可操作并有效,為評價數學文化對學生核心素養發展提供了比較科學的測量工具,比較科學地回答了“數學文化對學生數學核心素養的發展作用”“從哪些維度評價數學文化對學生數學核心素養發展的作用”等問題。為驗證該測評模型的外部效度與實用性,本研究還運用該模型對重慶市多所小學的學生進行了更大規模地實地測評、課堂觀察等,進一步完善并量化了該測評模型。當然,由于自身能力及時間、地區等主客觀條件的限制,我們所建構模型仍需進一步完善。