利用動態幾何軟件對大學生數學建模能力的影響分析研究

唐 冶，李 穎

（1.安徽工程大學機械工程學院，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學藝術學院，安徽 蕪湖 241000）

0 引 言

隨著科學技術的進步，數字工具在大學教學中變得越來越重要，對數學建模[1]來說更是如此。現有文獻普遍假設，建模活動中所使用的模型不但受學生數學知識與能力的影響，而且會被建模工具所影響[2]。因此，該方向的研究具有較大的現實價值。

目前已有一些研究成果，如章小童[3]提出了應該如何針對不同教育程度的學生使用信息化技術，以有效發展學生的建模能力的問題。但該問題迄今尚未得到令人滿意的答案，解答該問題需要進行廣泛的研究和理論分析。吳開琪[4]在基于現實問題的背景下，認為計算機和其他工具，有助于提升學生建模能力或構建適當的數學建模基礎概念，其還指出，動態可視化在數字化教學背景下尤為重要。Blum 等人[5]分析了在建模周期中執行建模步驟所需的不同能力，并與例如簡化、數學化、數學計算、解釋和驗證等子能力相對應。相關研究表明[6,7]，數字工具提供的可視化功能，會影響甚至可能會增強一般數學能力的開發。例如GeoGebra 等DGS 被認為有助于提高學生對建模背景的理解和建模能力的提高[8]。GeoGebra可以為建模時的各個過程提供支持，特別是其中的圖形表示[9,10]。

迄今為止，很多問題尚無定論，例如在使用數字工具時，學生受教育程度的不同，會對其建模能力包括簡化、數學化、解釋或驗證等子能力的有效獲得產生怎樣影響？為此，本文討論了動態幾何軟件（Dynamic Geometry Software, DGS）的使用在開發學生建模能力中的促進作用。首先考慮數學工具在整個數學建模過程中的應用，討論利用數字工具來描述建模過程的各種方式。然后，重點研究建模時的DGS 使用，并分析在利用DGS 執行數學建模時，學生可獲得特定方面的能力提升。

1 研究的問題

為深度分析，本文將研究范圍限制在數學化子能力的范圍內，數學化是數學建模的子能力之一，因此DGS的使用可能會影響到相應過程的效果。

因此，本文的第一個研究問題為：當學生在利用DGS，或不使用DGS 進行數學建模的學習時，其數學化子能力的發展會不會存在差異？

另一個影響因素是學生對利用軟件進行學習所持的態度。若學生不認可軟件，其可能會拒絕進入深度學習狀態。這引發了本文的第二個研究問題：程序相關的自我效能感（Self-Efficacy, SEF），與學生在使用GeoGebra進行學習時的態度，以及利用DGS 進行建模學習時的數學化子能力的開發是否存在關系？

2 提出的方法與實施過程

2.1 方案設計

SEF 的概念對應于自身完成某項任務的信心[11]。SEF被認為會對人們的行為產生很大影響。

為了回答上述問題，選取150 名大二學生進行對照研究。提供容量足夠的計算機教學場地，在連續四節課中分析了利用數字工具進行教學，以及教師在教學單元中使用DGS 的不同情況。將30 個參與班級隨機分配到一個DGS 組或一個紙筆組中。鑒于現實約束，本文研究中使用了便利樣本（而非隨機對照實驗）。在每堂45 分鐘的4 堂數學課過程中，學生成對地完成不同的開放式建模任務，任務難度不斷增加且以空間幾何內容為基礎。向兩個組提供相同的練習，區別在于：DGS 組被要求在進行4 項建模任務時使用DGS-GeoGebra，數字工具在建模過程中的使用如圖1所示。DGS組和紙筆組接收幾乎相同的學習任務。

圖1 數字工具在建模過程中的使用

實驗中的開放式建模任務被設計為包含各種各樣的解，重點在于檢驗學生在簡化、數學化、解釋和驗證步驟中的能力。利用傳統工具和DGS均可解決該任務。相對于分類方案，本文實驗中采用所有任務均側重于建模過程的所有步驟，且存在數據冗余和缺失情況，以接近現實問題。DGS-GeoGebra 的典型用途包括構建、繪制、測量，圖2 給出了DGSGeoGebra 所有可能的使用方式。為確保學生能夠掌握操作GeoGebra 的基本技能，DGS 組在教學單元開始時首先進行簡短練習，其中還給出了軟件的不同按鈕功能的解釋。學生可以通過該練習記住軟件的重要功能。

圖2 定性分析結果的方式

2.2 測試工具和調查問卷

下面簡要描述測試工具的開發步驟。圖3給出了對數學化子能力進行評估的測試項目樣例。該任務基于“草捆任務”，向學生展示田間的草捆堆的真實情況。假設所有草捆均具有相同大小，并且是均勻和精確的圓形。此外，草捆的直徑為1.50m，草捆向下一層陷入的深度為20cm。“數學化”指的是從簡化的實際情況中建立數學模型的能力，因此學生的任務是將該情境轉換為數學表示。

圖3 草捆任務圖例

為分析不同變量所造成的學生能力水平的變化，本文選擇了加權似然估計法[12]（Weighted Likelihood Estimation, WLE），其通常被視為最精確的點估計法。如擬合指數（0.92≤WMNSQ≤1.07，t≤1.6）和圖形模型測試所示，Rasch模型在數據上有著較好擬合。在對實驗組之間的差異進行測試時，未發現項目功能上的顯著差異。這表明本文實驗中使用的測試工具能夠較好地檢測各組學生在能力上可能存在的差異。如研究問題2 所示，本文希望分析影響到DGS組中數學化能力發展的變量，例如學生運用程序相關的SEF。為測量程序相關SEF，要求DGS 組在第二個測量點完成一份調查問卷。對于數學化能力發展，程序相關的SEF 預計會比通用計算機SEF 產生更大影響，因此本文僅分析程序相關SEF的影響。

3 實驗結果與分析

一般可以對DGS 處理的影響進行獨立分析，而不受在預測試中已經存在的數學化能力的影響。所有測量點處的描述性數據如表1 所示，其中N表示參與者人數，M表示均值，SD表示標準偏差。

表1 數學化子能力的統計結果

回歸模型中變量的相關性如表2 所示，其中，***p＜0.001；**p＜0.01；*p＜0.05。實驗組結果中，DGS 的使用與不同測量點處的數學化能力之間沒有顯著相關性。3 個測量點的數據與媒介效應量相關。從第2 個點和第3 個點的測量值可知，協變量“實驗組”均不是數學化能力的重要預測因子，也可以從表3 回歸模型系數中看出這一點。在第3 個測量點處，實驗組之間的差異不具顯著性。這種情況下，DGS 組的預試估計值稍高。但需要謹慎對待這些結果，因為從第2 個測量點到第3 個測量點的數學課程是不受控的。

表2 回歸模型中變量的相關性

4 結 論

本文旨在利用相關技術促進學生的建模能力，比較了在數學建模課程中使用DGS 和傳統紙筆的兩組學生的數學能力展現。結果表明，在實驗后立即進行的測試和延后3 個月的測試中，兩組學生均表現出顯著差異。與不使用數字工具相比，學生利用DGS建模可能會改變建模過程，但不一定會影響到建模能力的發展。